제 5 장 확률이론

1. 제5장 확률이론

2. 기본용어 실험(experiment) 또는 관찰(observation) 어떤 현상(phenomenon)에 관한 정보를 유도하기 위한 방법 [ex] 동전던지기(coin tossing) 주사위던지기(dice tossing) 표본추출(sampling) 단순사상(simple event) 더 이상 작거나 낮은 상태로 분할할 수 없는 실험의 결과 = (indecomposable event), 표본점(sample point) [ex] 실험 단순사상 동전던지기 h, t (h, h), (h, t), (t, h), (t, t) 동전2개 던지기 주사위던지기 1, 2, 3, 4, 5, 6

3. [질문] 동전 3개 던지기 실험에서 가능한 모든 단순사상을 나열해 보시오. 주사위 2개 던지기 실험에서 가능한 모든 단순사상을 나열해 보시오.

4. 표본공간(sample space) 실험에서 발생 가능한 모든 단순사상의 집합 기호 : [질문] 동전 1개 던지는 실험의 표본공간을 나타내시오. 동전 2개 던지는 실험의 표본공간을 나타내시오.

5. 사상(event) 표본공간의 임의의 부분집합 단순사상(simple event) = indecomposable event 복합사상(compound event) =decomposable event 표기 : alphabet 대문자 [ex] 주사위 던지기 실험에서 A = 짝수인 사상 B = 홀수인 사상 동전2개 던지기 실험에서 A = 첫번째 동전 위가 앞면인 사상 B = 첫번째 동전 또는 두번째 동전의 위가 앞면인 사상

6. 사상의 발생 실험의 시행에서 결과가 사상 A에 속하면 사상 A가 발생했다고 함 [ex] 주사위 던지기 실험에서 A = 짝수인 사상 B = 홀수인 사상 주사위의 눈이 3이면 사상 B가 발생

7. 사상 의 확률은 으로 표기 확률의 정의 확률(probability) 사상이 발생할 가능성을 0과 1사이의 수치(0은 사상이 발생하지 않음, 1은 사상이 확실하게 발생함을 나타냄)로 표현한 것임 는 집합(사상) 에 0에서 1사이의 확률을 대응시키는 함수이며 이를 확률집합함수(probability set function)라 함 우리는 경험으로부터 주사위의 눈이 1이 될 확률이 1/6임을 알고 있음 수치로 표현하는 근거 즉 어떻게 수치를 부여했는가에 대한 답변 (확률 1/6이 어떤 의미인가)에 따라 다음의 3가지로 구분할 수 있음 이론적 정의(theoretical definition) 객관적 확률 (objective probability) 상대도수 정의(relative frequency definition) 주관적 확률(subjective probability)

8. 이론적 정의 사상 A가 발생할 확률 사상 A에 속하는 단순사상의 수 동등발생정의 발생가능성이 같은 모든 사상의 수 (= 표본공간의 모든 단순사상의 수) 동전을 던졌을 때 앞면이 나올 확률 ½을 이론적 정의로 해석하면 표본공간 앞면이 나오는 사상

9. 상대도수 정의 사상 A가 발생할 확률 사상 A가 발생한 회수 총관찰(시행) 회수 동전을 던졌을 때 앞면이 나올 확률 ½을 상대도수 정의로 해석하면 다음 그림과 같음 (Excel에 의한 동전 200회 던지기 실험) 누적 상대 도수

10. 주관적 확률 개인의 경험이나 지식을 근거로 판단한 개인의 신념(belief)수준의 표현 동전을 던졌을 때 앞면이 나올 확률 ½을 주관적 확률로 해석하면 동전을 던져 앞면이 나오면 만원을 주는 복권에 대하여 어떤 사람이 오천원을 지불할 의도가 있음을 의미함.

11. 확률의 공리 확률의 공리가 만들어진 배경 현실의 다양하고 복잡한 문제를 확률개념을 사용하여 해결하려면 객관적/주관적 확률개념과 모순되지 않으면서 논리적으로 엄격하게 공리(axioms)를 사용하여 확률개념을 정의할 필요가 있음. 이를 공리적 확률(axiomatic probability)라고 하자. 객관적 확률 주관적 확률 공리적 확률

12. 공리적 확률 공리적 확률(axiomatic probability) 사상 의 확률 이 다음의 3가지 공리를 만족하면 를 공리적 확률이라 함 1. 2. 3. ☞ 교재와 달리 나타낸 기호는 강의노트를 기준으로 함 여기서 는 표본공간 는 의 여사상 앞으로 확률이라 함은 공리적 확률을 의미함 (참조) 공리적 확률은 A. N. Kolmogorov가 제시

13. 사상의 합과 곱 합사상(union of events) 발생 가능한 다수의 사상 중 적어도 하나 이상이 발생하는 사상 사상 와 의 합사상 : [질문] { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } { 1, 4, 5 } { 4, 5, 6 } { ? }

14. 곱사상(intersection of events) 둘 또는 그 이상의 사상이 동시에 발생하는 사상 사상 와 의 곱사상 : [질문] { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } { 1, 4, 5 } { 4, 5, 6 } { ? }

15. 여사상(complementary event) 어떤 사상의 여사상은 그 사상이 발생하지 않는 사상을 말함 사상 의 여사상 : [질문] { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } { 1, 4, 5 } 의 여사상은? { ? }

16. 상호배타적 사상(mutually exclusive events) 사상 에 대하여 이면 사상 와 를 상호배타적 사상이라 함 두 사상이 동시에 발생할 수 없을 때 두 사상을 상호배타적 사상이라 함 [질문] 아래의 Venn diagram에서 A와 B가 상호배타적 사상을 나타낸 경우는? ① ②

17. 총체적소진 사상(totally exhaustive events) 사상 에 대하여 이면 사상 을 총체적소진 사상이라 함 는 총체적소진 사상 는 총체적소진 사상 의 분할(partitions)

18. 분할 분할(partition) 사상 에 대하여 1) 이고 2) 이면 사상 을 의 분할(partition)이라 함 [질문] { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } { 1, 4, 5 } { 2 } { ? } 이 의 분할이 되려면 { ? }

19. [질문] 주사위 던지기 실험에서 짝수가 나오는 사상 3 이상이 나오는 사상 사상 와 의 합사상 : 사상 와 의 곱사상 : 사상 의 여사상 : Yes / No 사상 와 는 상호배타적 사상인가? Yes / No 사상 와 는 총체적소진 사상인가?

20. [질문] 52장의 카드에서 1장을 임의로 선택하는 실험에서 (참고) face spades 13장 (2, 3, 4, … , 9, 10, jack, queen, king, ace) diamonds 13장 (2, 3, 4, … , 9, 10, jack, queen, king, ace) clubs 13장 (2, 3, 4, … , 9, 10, jack, queen, king, ace) hearts 13장 (2, 3, 4, … , 9, 10, jack, queen, king, ace) color black red black red 선택한 카드의 color가 black이고 종류가 ace인 사상 : 선택한 카드가 black 또는 ace인 사상 :

21. 결합확률/조건부확률/여백확률 52장 카드에 대하여 ace여부 및 color를 기준으로 분할표(contingency table) 를 작성하면 다음과 같다 B Red Black 2 2 4 ace non-ace A 24 24 48 26 26 52 A = 선택한 카드가 ace인 사상 B = 선택한 카드가 Black인 사상 라고 하자.

22. 결합확률(joint probability) 사상A와 B의 결합확률은 사상A와 B의 곱사상의 확률 [예] P(A∩B) = 2 / 52 = 1 / 26

23. 조건부확률(conditional probability) A의 B에 대한 조건부확률(conditional probability of A, given B)의 정의는 임 이는 사상 B가 발생한 사실이 알려진 상태에서 사상 A가 발생할 확률을 나타냄 [예] Black카드 중에서 Ace가 선택될 확률은? P(A|B) = 2 / 26 = 1 / 13 Ace카드 중에서 Black카드가 선택될 확률은? P(B|A) = 2 / 4 = 1/ 2

24. 여백확률(marginal probability) 분할표의 여백과 관련된 확률 B Red Black P(A) = 4/ 52 = 1 / 13 2 2 4 ace non-ace A 24 24 48 26 26 52 P(B) = 26 / 52 = 1 / 2

25. 확률의 덧셈법칙(addition rule) 사상 A와 B의 합사상의 확률은 “A의 확률 + B의 확률 – A와 B의 곱사상의 확률 “ 이다 [질문] 주사위 던지기 실험에서 짝수가 나오는 사상 3 이상이 나오는 사상 사상 와 의 합사상의 확률은?

26. 곱셈법칙(multiplication rule) 사상 A와 B의 곱사상의 확률은 “A의 확률 ⅹ B의 A에 대한 조건부확률 “ 또는 “B의 확률 ⅹ A의 B에 대한 조건부확률 “ 사상 A와 B가 독립사상이라면 A의 발생여부가 B의 발생에 영향을 주지 않으므로 B의 발생여부가 A의 발생에 영향을 주지 않으므로 따라서

27. [질문] 52장의 카드에서 1장을 임의로 선택하는 실험에서 (참고) spades 13장 (2, 3, 4, … , 9, 10, jack, queen, king, ace) diamonds 13장 (2, 3, 4, … , 9, 10, jack, queen, king, ace) clubs 13장 (2, 3, 4, … , 9, 10, jack, queen, king, ace) hearts 13장 (2, 3, 4, … , 9, 10, jack, queen, king, ace) black red black red 선택한 카드가 black일 확률은? 선택한 카드가 ace일 확률은? 선택한 카드가 black 또는 ace일 확률은? 선택한 카드가 black ace일 확률은? 선택한 카드가 black인 사상과 ace인 사상은 독립사상인가?

28. 전확률법칙(total probability rule) 사상 이 의 분할(partition)이면 임의의 사상 에 대하여 이다.

29. 베이즈정리(Bayes’ theorem) 사상 이 의 분할(partition)이면 임의의 사상 에 대하여 원인 결과 이 성립한다. 사후확률 (posterior probability) 사전확률(prior probability)

30. (연습문제 5.15) A, B, C 세 대의 기계로 제품을 생산하는 P사의 품질관리차트에 따르면 각 기계의 불량률은 A가 5%, B가 3%, C가 2%이다. 총생산량의 50%는 A, 30%는 B, 20%는 C기계에서 생산하고 있다. 검사대에서 불량품을 하나 찾았을 때 그 불량품이 A기계 제품일 확률은? [질문] 원인 ( ? ) 결과 ( ? )