スポーツスケジューリング

1. スポーツスケジューリング 東京大学大学院 情報理工学系研究科 松井 知己 東京大学 今堀慎治 筑波大学　鈴鹿順美 東京大学 藤原伸友 東京農工大学　宮代隆平 筑波大学　吉瀬章子

2. スポーツスケジューリング 中央大学　理工学部 松井 知己 東京大学 今堀慎治 筑波大学　鈴鹿順美 東京大学 藤原伸友 東京農工大学　宮代隆平 筑波大学　吉瀬章子

3. 発表の概要 • はじめに • スケジュール • スケジュール＋試合場所 • スケジュール→HAT • HAT→スケジュール • 応用と実用

4. スポーツ・スケジューリング • スポーツ・スケジューリング （対戦日程計画） • Timetabling の一分野 • スポーツ競技などの最適な対戦日程を決める • スケジュール作成アルゴリズムの構築 • 初期の研究： 1970 年代後半 ここ数年で研究が活発化 Timetabling の中でも大きな分野に

5. Bibliography on Practice and Theory of Automated Timetabling • http://liinwww.ira.uka.de/bibliography/Misc/timetabling.html ～1995まで論文数の推移

6. はじめに • はじめに 読売新聞 2004/11/9 はじまりは，６年前 ．．．．．

7. スケジューリングの実務における現状 (アメリカ) MLB: 26週間の間に30球団による2430試合を開催 公募採用の外部業者が受託 1982--2004は，マサチューセッツ在住の夫婦に依頼． 2005年はカーネギーメロン大学のグループが作成． ~~~(2004年にスケジュール作成会社を起業) NFL： 17週間の間に32チームが16試合ずつ， 年間256試合以上を開催． TV中継の視聴率は40%超で， 1億3000万人以上が観戦していると言われている． 2003年より最適化技術（ILOG社)を用いて開発された システムで作成．

8. スケジューリングの実務における現状 (日本) プロ野球 セリーグ： 6球団，年間420試合 球団の営業担当者と連盟職員で構成される「日程編成会議」で作成．リーグ理事会の承認を経て前年秋ごろに発表．詳細は非公開 (計算機は用いているらしい)． サッカー J1リーグ：10チーム(1993年)から18チーム(2005年)の総当り戦．スケジュール作成の詳細は完全非公開． アイスホッケー アジアリーグ：9チーム各4回戦総当たりとグループゲームを含め、全171試合1チーム38試合。 （中国(3)，日本(4)，韓国(2)） 海外遠征が頻繁にあり移動コスト削減が課題．航空機運行日程がきつい制約．自由度はかなり低い．特異な制約が多い． アメリカンフットボール 社会人リーグ：18チーム(6チーム×3ディビジョン)による総当たり戦．年間45試合 子問題に分割可能，比較的簡単．事務局長が作成．

9. スポーツ・スケジューリングの実例 • スケジューリングの目的 • 移動距離最小化，観客数最大化， 公平性最大化，… → 収益最大化 • スケジュールへの要求 • 試合開催場所，固定された試合， TV中継，各チームの強さ，予備日，… 現実問題から発生した研究分野

10. 現在の手法 • スケジューリング問題の理論的研究 • 抽象化された問題，先行研究ともに少ない • グラフ理論，デザイン理論，実験計画法，… • スケジューリングに用いている数理手法 • 数理計画法 • 整数計画，分枝限定法，組合せ多面体論，… • メタ・ヒューリスティクス • SA, GA, ローカルサーチ，タブーサーチ，… • 制約論理法

11. Section 1 スケジュール

12. スケジュール ① ② ③ ④ ⑤ （スロット） 巨人：中 阪 横 広 ヤ 阪神：ヤ 巨 中 横 広 広島：横 中 ヤ 巨 阪 中日：巨 広 阪 ヤ 横 横浜：広 ヤ 巨 阪 中 リーグ戦のスケジュール ﾔｸﾙﾄ：阪 横 広 中 巨 ・ チーム数：2n (チーム) ・ スロット（試合日）：2n－1 チーム数が奇数の時はダミーのチームを加える

13. F A E D B C 総当りリーグ戦とグラフ • 各チームを頂点とする完全グラフ． • 各枝は試合に対応する． • 各試合日には，全てのチームが１試合を戦う． • 各試合日の試合は，グラフ上の完全マッチング． F A E D B C

14. A A A A E E E B B B B E F F F F D C D C D C D C A E B 12チームの場合 F D C スケジュールの存在性　[Kirkman 1847 or earlier] • 以下のような円盤を回して，試合を決める． １２３４５ A：F C E B D B：E F D A C C：D A F E B D：C E B F A E：B D A C F F：A B C D E このまま回転を続ける‥‥. 実際のスケジュールは？

15. 同一性判定 • 与えられた２つのスケジュールがチーム名の付け替えで、一致するか？ O(n3) 　　（2n :チーム数） • スロットの順も入れ替えてよいときは？　NP完全？ O(n2) × n １２３４５ 巨人：中 阪 横 広 ヤ 阪神：ヤ 巨 中 横 広 広島：横 中 ヤ 巨 阪 中日：巨 広 阪 ヤ 横 横浜：広 ヤ 巨 阪 中 ﾔｸﾙﾄ：阪 横 広 中 巨 １２３４５ A：F C E B D B：E F D A C C：D A F E B D：C E B F A E：B D A C F F：A B C D E 巨広阪ヤ横中 ：中 阪 横 広 ヤ 巨 広 阪 ヤ 横

16. 部分スケジュール完成問題 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ Ａ：Ｊ Ｆ Ｇ Ｃ Ｈ Ｂ Ｂ：Ｉ Ｇ Ｄ Ｆ Ｅ Ａ 10チームのリーグ戦 Ｃ：Ｈ Ｄ Ｅ Ａ Ｆ Ｇ 6日目まで作成済み Ｄ：Ｇ Ｃ Ｂ Ｊ Ｉ Ｅ 7日目以降の Ｅ：Ｆ Ｊ Ｃ Ｈ Ｂ Ｄ 対戦を組みたい Ｆ：Ｅ Ａ Ｉ Ｂ Ｃ Ｈ Ｇ：Ｄ Ｂ Ａ Ｉ Ｊ Ｃ Ｈ：Ｃ Ｉ Ｊ Ｅ Ａ Ｆ Ｉ：Ｂ Ｈ Ｆ Ｇ Ｄ Ｊ Ｊ：Ａ Ｅ Ｈ Ｄ Ｇ Ｉ

17. スケジュール完成問題のNP完全性 NP完全な問題 • ３つのスロット以外がすべて埋められているとき、残りの３スロットを上手に埋めて、スケジュールを完成できるか？　 [Easton, 2003] • 禁止集合P：(i,j,k) ∈P ⇔チームiとjの戦いはスロットkで行ってはいけない。Pで与えられる禁止制約を守るスケジュールが存在するか？　[Schaerf, 1999]

18. Premature Sets [Rosa and Wallis] • いくつかのスロットを埋めた時、それを満たしてスケジュールを完成できるか？ premature set：スケジュールを完成できない, 部分割当 定理[Rosa and Wallis] nスロットの premature set は存在する。 ２n＞６ならば、3スロット以下のpremature set は無い。 3スロットまでは、どう決めても大丈夫 Open Problem: 最小 premature set のサイズは？

19. Carry Over Effects　（COE) １ ２ ３ ４ ５ 巨人：中 阪 横 広 ヤ 阪神：ヤ 巨 中 横 広 広島：横 中 ヤ 巨 阪 中日：巨 広 阪 ヤ 横 横浜：広 ヤ 巨 阪 中 ﾔｸﾙﾄ：阪 横 広 中 巨 COEは、できるだけ均等に分散している方が良い。 阪神は横浜にcoeを与える … 阪神はヤクルトにcoe を与える ヤクルトは横浜にcoeを与える 横浜は巨人にcoeを与える …

20. COEを均等に分布させる • 完全に均等になるか？ • 2n = 2kならば、完全に均等にできる　[Russell (1980)] • 予想：2n≠2kの時, 完全に均等にできない？ 1:4567823 2:5483617 3:8652471 4:1276358 5:2138746 6:7314285 7:6841532 8:3725164 8チームの場合

21. COE値最小化の現状 2n Value　（チーム順序対毎のCOE数の2乗和） 6 60 (optimal Henz, Mueller, Thiel) 8 56 (optimal Russell) 10122 (Trick) 12 188 (HMT and van Brandenburg) 14 260 (Russell) 16 240 (optimal, Russell) 18 428 (Russell) 20 520 (Russell)

22. Kirkmanスケジュールを用いる [宮代・松井2006] ① ② ③ ④ ⑤ ① ② ③ ④ ⑤ １：６ ３ ５ ２ ４ １：１ ３ ５ ２ ４ ２：５ ６ ４ １ ３ ２：５ ２ ４ １ ３ ３：４ １ ６ ５ ２ ３：４ １ ３ ５ ２ ４：３ ５ ２ ６ １ 仮想的に ４：３ ５ ２ ４ １ ５：２ ４ １ ３ ６ 変形 ５：２ ４ １ ３ ５ ６：１ ２ ３ ４ ５ ６：１ ２ ３ ４ ５ • チーム n以外は，1, 3, …, n-1, 2, 4, …, n-2 の対戦順 → 非常に coe値 が大きくなる • 置換σをランダムに発生させ， coe値 が小さいスケジュールを求めた • 計算時間 10万秒

23. COE値最小化の現状 2n Value　（チーム順序対毎のCOE数の2乗和） 6 60 (optimal Henz, Mueller, Thiel) 8 56 (optimal Russell) 宮代・松井(2006) 10122 (Trick) →108 12 188 (HMT and van Brandenburg) →176 14 260 (Russell) →254 16 240 (optimal, Russell) 18 428 (Russell) →400 20 520 (Russell) →488

24. Section 2 スケジュール + 試合場

25. 場所付き総当りリーグ戦 各チームに本拠地があり，どちらかの本拠地で試合 • 本拠地での試合：ホームゲーム • 遠征先での試合：アウェイゲーム １ ２ ３ １：３ ２ ４← 1対4 （1の本拠地） ２：４ １ ３ ３：１ ４ ２ 対応 ４：２ ３ １ ← 1対4 （1の本拠地） スケジュール（4チーム）

26. 試合場所の割当（HAT) ① ② ③ ④ ⑤ ① ② ③ ④ ⑤ 巨人：中 阪 横 広 ヤ 巨：ＡＡ Ｈ Ａ Ｈ 阪神：ヤ 巨 中 横 広 阪：Ａ Ｈ Ａ Ａ Ｈ 広島：横 中 ヤ 巨 阪 → 広：Ｈ Ｈ Ａ Ｈ Ａ 中日：巨 広 阪 ヤ 横 中：Ｈ Ａ Ｈ Ａ Ｈ 横浜：広 ヤ 巨 阪 中 横：Ａ Ｈ Ａ Ｈ Ａ ﾔｸﾙﾄ：阪 横 広 中 巨 ヤ：Ｈ Ａ Ｈ Ｈ Ａ Home-Away Table (HAT) • 各試合をどちらの本拠地で行う？ Ｈ：ホーム Ａ：アウェイ

27. ブレーク • ＨＡ割当の質の指標：「ブレーク」 • チーム tがスロット sに ブレーク を持つ ⇔ …s－1 s……s－1 s… t： …ＡＡ…もしくは t： …Ｈ Ｈ… t： Ａ ＡＡＡ Ｈ ＨＡ → （チーム tのブレーク数）＝ 4 • HHブレークとAAブレークは，（スロット毎に）同じ数． AA AA AH HA HH HH

28. ブレーク数の下界[de Werra] ブレーク数の意味で最も良いHATは？ (ブレーク数が少ない方が良い.) ブレーク最小 HAT[de Werra’80] 補題：ブレーク数の最小値 ≧ チーム数－2 証明：ブレークの無いHA-パターンは２つ AHAHAHAHAHAHA HAHAHAHAHAHAH （HAHAHAHAHAHAH） 許容HATの行は互い異なるHAパターンを持つ． 2チームはブレークを持たない. 他のチームは１つ以上のブレークを持つ.

29. A A A A E E E B B B B E F F F F D C D C D C D C A １２３４５ A：F C E B D B：E F D A C C：D A F E B D：C E B F A E：B D A C F F：A B C D E アウェイ ゲームチーム ホーム ゲームチーム E B F D C ブレーク最小HATのスケジュール[de Werra] • ホームゲーム･アウェイゲームを決める． １２３４５ A：F C E B D B：E F D A C C：D A F E B D：C E B F A E：B D A C F F：A B C D E 実際のスケジュールは？

30. ブレーク均等HATのスケジュール • ブレーク数 2n－2 → 若干の不公平 • 全てのチームが 1個ブレークを持つＨＡ割当 ① ② ③ ④ ⑤① ② ③ ④ ⑤ １：Ａ Ｈ Ａ Ｈ Ａ １：Ｈ ＨＡ Ｈ Ａ ２：Ｈ Ａ Ｈ Ａ Ｈ ２：Ａ Ａ Ｈ Ａ Ｈ ３：Ａ Ｈ ＨＡ Ｈ ３：Ａ Ｈ Ａ Ａ Ｈ ４：Ｈ Ａ Ａ Ｈ Ａ ４：Ｈ Ａ Ｈ ＨＡ ５：Ａ Ｈ Ａ Ｈ Ｈ ５：Ａ Ｈ Ａ Ｈ Ｈ ６：Ｈ Ａ Ｈ Ａ Ａ ６：Ｈ Ａ Ｈ Ａ Ａ ブレーク数 2n－2 ブレークが各チーム１個 ブレーク最小HAT ブレーク均等HAT （ブレーク２n個とは違う）

31. 補完パターン[de Werra] ブレーク最小HATの各行（HA-パターン）は下記のようにブレークが1つ(以下)のもの． HAHAHAHAHHAHAHA ：HA-パターン AHAHAHAHAAHAHAH ：補完パターン 補題：ブレーク最小HATが，あるHA-パターンを含むならば，その補完パターンも含む． 証明： （背理法） 　　　　　　 s あるパターン： ‥‥‥‥AHAAHA‥‥‥‥‥ ‥‥‥‥HAHAHA‥‥AA ‥ ‥‥‥‥HAHAHA ‥ HH‥‥ ‥‥AA‥AHAHAH‥‥‥‥‥ sスロットとs+1スロットのHとAの数が異なる．矛盾.

32. ブレーク最小とブレーク均等スケジュール • （ブレーク最小HAT＋スケジュール）は、ブレーク位置でユニークに表現できる • 最終スロットと開始スロットをつなげる． するとブレークがあるのはn箇所 各チームは（開始スロット含め） ブレークが丁度1個で， 補完パターン対に分かれている • 開始スロットが ブレークが有る所：ブレーク最小 ブレークが無い所：ブレーク均等 n個のブレーク最小HAT n-1個のブレーク均等HAT 　１０１０１　　　 １２３４５ A：F C E B D F：AB C D E B：E F DA C C：D A F E B D：C E B F A E：B D A C F

33. ブレーク最小化＝ブレーク最化　[Miyashiro&M] • ブレーク数最小化／最大化 • 従来は別々に議論 • でも，実は同じ問題 • 与えられた入力に対して， 「ブレーク数最大化の最適解」 ⇔ 「ブレーク数最小化の最適解」 を行う変換

34. 最小化／最大化の変換[Miyashiro&M] • ＨＡ割当Τ • 偶数スロットのHAを逆転 ① ② ③ ④ ⑤① ② ③ ④ ⑤ １：Ａ Ｈ Ａ Ｈ Ａ １：ＡＡＡＡＡ ２：Ｈ Ａ Ｈ Ａ Ｈ ２：Ｈ Ｈ Ｈ Ｈ Ｈ ３：Ａ Ｈ ＨＡ Ｈ ３：Ａ Ａ Ｈ Ｈ Ｈ ４：Ｈ Ａ Ａ Ｈ Ａ 変換 ４：Ｈ Ｈ Ａ Ａ Ａ ５：Ａ Ｈ Ａ Ｈ Ｈ ⇔ ５：Ａ Ａ Ａ Ａ Ｈ ６：Ｈ Ａ Ｈ Ａ Ａ ６：Ｈ Ｈ Ｈ Ｈ Ａ ＨＡ割当Τ ＨＡ割当Τ’

35. 最小化／最大化の変換[Miyashiro&M] • 対戦制約は満たされる • ブレーク ← （変換） → ブレーク無し • ＡＡ → ＡＨ or ＨＡ • ＨＨ → ＨＡor ＡＨ • ＡＨ → ＡＡor ＨＨ • ＨＡ → ＨＨor ＡＡ ∴ （元のブレーク数）＋（変換後のブレーク数） ＝定数＝2n(2n－2) ブレーク数最小化と最大化は等価

36. ブレーク最大化＋（３H，３A 禁止） [Russell & Leung] • ３連続H, ３連続Aを持たないHATが存在するスケジュールで，ブレーク数最大のものは？ 定理 [Russell & Leung] ３連続H, ３連続Aを持たず、2n(n-1)-(2n-4) 以上のブレークが存在するHATを持つスケジュールが存在する． open problem: 上記の下界は，下限なのか？

37. Section 3 スケジュール → HAT

38. スケジュールの作成方法 [Regin]等 ① ② ③ ① ② ③ ① ② ③ １：２ ４ ３ １：Ａ Ｈ Ａ １：Ｈ Ｈ Ｈ ２：１ ３ ４ → ２：Ｈ Ｈ Ａ ２：Ａ Ａ Ａ ３：４ ２ １ ３：Ａ Ａ Ｈ ３：Ｈ Ｈ Ａ ４：３ １ ２ ４：Ｈ Ａ Ｈ， ４：Ａ Ａ Ｈ，… 入力：スケジュール 出力：対応するＨＡ割当 • 制約条件： 対戦ペアの片方はＨ，片方がＡ （対戦制約） → 目的関数： “ブレーク数”

39. ＨＡ割当のブレーク数 ＨＡ割当に含まれるブレーク数 ① ② ③ ① ② ③ １：Ａ Ｈ Ａ １：Ｈ ＨＨ ２：Ｈ ＨＡ ２：Ａ ＡＡ ３：Ａ Ａ Ｈ ３：Ｈ ＨＡ ４：Ｈ Ａ Ｈ 2個 ４：Ａ Ａ Ｈ 6個 ブレーク数が小 → Ａ と Ｈ なるべく交互 ブレーク数が大 → Ａ の連続，Ｈ の連続

40. ブレーク数最適化問題 • ブレーク数最小化／最大化問題 • 入力： スケジュール （チーム数 2n） • 出力： 対戦制約を満たすＨＡ割当のうち， ブレーク数が最小／最大のもの． → 最小化，最大化の意味，先行研究

41. ブレーク数最小化の目的 • ブレーク数最小化の目的 • できるだけ Ａ と Ｈ を交互に （公平性） １ ２ ３ ４ ５ １ ２ ３ ４ ５ １：Ａ ＡＡＡＡ１：Ａ Ｈ ＨＡ Ａ ２：ＡＨ ＡＨ Ａ２：Ｈ ＨＨＡ Ｈ ３：Ｈ ＨＡ ＡＨ ３：Ａ Ｈ Ａ Ｈ Ａ ４：Ｈ ＡＨ Ａ Ａ４：Ｈ Ａ Ａ Ｈ Ｈ ５：ＡＡＨ ＨＨ ５：Ａ Ａ Ｈ Ａ Ｈ ６：Ｈ ＨＨＨＨ(14) ６：Ｈ Ａ Ａ Ｈ Ａ(8)

42. 最小化問題の先行研究 • ブレーク数最小化問題 • NP-困難?? • 先行研究 （分枝限定ベース） • Regin (1998), 制約論理，～チーム数20 • Trick (2000), 整数計画，～チーム数22 • Elf, Jünger, Rinadi (2003), MAX CUT ＋ ABACUS, ～チーム数26 • Elf et al. による予想 （後述）

43. 最小化の計算時間 チーム数Regin (CP) Trick (IP) Elf 他(MAX CUT) 16 5 34 1 18 80 43 6 20 5603 1092 9 22 7802 37 24 73 26 339 （単位：秒） CPU 200MHz 266MHz 300MHz 環境 Solver (ILOG) CPLEX (ILOG) ABACUS

44. ブレーク数最大化の目的 [Rusell&Leung]等 • ブレーク数最大化の目的： 総移動回数最小化 総移動回数＝2n(2nー1)－(1/2)(ブレーク数) （移動回数は，リーグの最初と最後の移動を含む） Ａ Ｈ ＨＡ Ｈ (ブレーク数1，移動回数4） → 経験的に，移動距離最小化問題の 良い解を与える （アメリカマイナーリーグ野球等での研究）

45. 最小(¼) –最大(¾)の存在[Miyashiro&M] （元のブレーク数）＋（変換後のブレーク数）=4n(n－1) 定理 [Miyashiro&M]任意のスケジュールは，それに対応するHATで，ブレーク数が n(n－1) 以下のものを持つ．（3n(n－1) 以上のものも持つ．） ブレーク無し スロットを, 2スロット以降を２つづ区切る． 対の後ろのスロットは，ブレークを無くす． 各対毎に，HAを(1/2)の確率で反転． ブレーク総数の期待値は n(n-1) 2n 第 i スロット 第 i +1スロット 各スロットのブレーク数の期待値 n 2n-1

46. 先行研究の予想 • ブレーク数最小化問題の計算複雑度 • NP-困難 ?? • Elf et al. (2003)； 最小化問題 最小ブレーク数が小さい入力 → 計算時間小 • 特に 「最小ブレーク数＝2n－2の例」 は 短時間で最適解が求まる （チーム数：2n） → 何らかの特殊構造，多項式時間性?? Elf らの予想： MAX CUT が多項式時間で解ける グラフのクラスと関連？

47. ブレーク数の判定問題 問題 (P) 入力： チーム数 2nのスケジュール 出力： ブレーク数 2n－2 のＨＡ割当； 存在しないなら不能． • ブレーク数最小化問題の 判定問題version; 目的関数値 2n－2 • O(n3) アルゴリズムを開発

48. 問題の変換 問題 (P) 入力： チーム数 2nのスケジュール 出力： ブレーク数 2n－2 のＨＡ割当； 存在しないなら不能． （ブレーク数 2n－2） ←（変換）→（ブレーク数 2n(2n－2) － (2n－2)） 問題(P’) 出力：ブレーク数 2n(2n－2) － (2n－2)のＨＡ割当； 存在しないなら不能．

49. ＨＡ割当の変換 ブレーク数 2n－2 ブレーク数2n(2n－2)－(2n－2) ① ② ③ ④ ⑤ ① ② ③ ④ ⑤ １：Ａ Ｈ Ａ Ｈ Ａ １：Ａ ＡＡＡＡ ２：Ｈ Ａ Ｈ Ａ Ｈ ２：Ｈ ＨＨＨＨ ３：Ｈ ＨＡ Ｈ Ａ ３：Ａ Ａ Ｈ ＨＨ ４：Ａ Ａ Ｈ Ａ Ｈ ４：Ｈ ＨＡ ＡＡ ５：Ａ Ｈ Ａ Ａ Ｈ ５：Ａ ＡＡ Ｈ Ｈ ６：Ｈ Ａ Ｈ ＨＡ ６：Ｈ ＨＨＡ Ａ • ブレーク 0個のチーム → 全てＡor 全てＨ • ブレーク 1個のチーム → 1回だけＡ→Ｈ or Ｈ→Ａ

50. 変換後の問題 ① ② ③ ④ ⑤ １：Ａ Ｈ Ｈ Ｈ Ｈ 問題 (P’)：左のような ２：ＡＡ Ａ Ｈ Ｈ ＨＡ割当が存在？ ３：Ｈ Ａ Ａ Ａ Ａ 注意：対戦制約 ４：Ｈ Ｈ Ｈ Ｈ Ｈ← 全てＨ ５：Ａ Ａ Ａ ＡＡ ← 全てＡ ６：Ｈ Ｈ Ｈ ＡＡ ← 1回だけ替わる 子問題 (Pi,j’) ( i, j = 1, 2, …, 2n, i＜j ) • チーム iが全てＡ，チーム jが全てＨと固定