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Modulo 연산

Modulo 연산. modulo 연산 정의. modulo 연산은 나누기 (division) 과 나머지 (remainder) 에 대한 연산이다 . 다음과 같이 정의한다. a, n, r, q ∈ Z ( 정수의 집합 ) a mod n = r 혹은 r mod n = a iff ∃q, a = qn + r, 0≤r<n. 2. “ Clock” 연산. 0. 예 7 mod 6 = 1 33 mod 5 = 3 33 mod 6 = 3 51 mod 17 = 0

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Modulo 연산

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  1. Modulo 연산

  2. modulo 연산 정의 • modulo 연산은 나누기(division)과 나머지(remainder)에 대한 연산이다. 다음과 같이 정의한다. a, n, r, q ∈ Z (정수의 집합) a mod n = r 혹은 r mod n = a iff ∃q, a = qn + r, 0≤r<n 2

  3. “Clock” 연산 0 • 예 • 7 mod 6 = 1 • 33 mod 5 = 3 • 33 mod 6 = 3 • 51 mod 17 = 0 • 17 mod 6 = 5 1 5 arithmetic mod 6 2 4 3

  4. 11 mod 7 = 4, 왜냐하면 11 = 7X1 +4 4 = 7 X(-1) + 11 , 따라서 4 mod 7 = 11 4 mod 7 = ? -11 mod 7 = ? -11 = 7X(-2) + 3, 따라서 -11 mod 7 = 3 3 mod 7 = ? 3 = 7X2 -11, 따라서 3 mod 7 = -11

  5. 정리 • ((a mod n) + (b mod n)) mod n = (a + b) mod n • ((a mod n) - (b mod n)) mod n = (a - b) mod n • ((a mod n)(b mod n)) mod n = ab mod n • a = b mod n ⇔ 0 = (a-b) mod n • a = a mod n • (a+b)  (a+c) mod n ⇔ b  c mod n • (a*b)  (a*c) mod n ⇔ b  c mod n (단, a와 n은 서로 소)

  6. Modular 덧셈 • 예 • 3 + 5 = 2 mod 6 • 2 + 4 = 0 mod 6 • 3 + 3 = 0 mod 6 • (7 + 12) mod 6 = 19 mod 6 = 1 mod 6 • (7 + 12) mod 6 = (1 + 0) mod 6 = 1 mod 6

  7. Modular 곱셈 • 예 • 3  4 = 0 mod 6 • 2  4 = 2 mod 6 • 5  5 = 1 mod 6 • (7  4) mod 6 = 28 mod 6 = 4 mod 6 • (7  4) mod 6 = (1  4) mod 6 = 4 mod 6

  8. Modular 역(Inverse) • -x mod n: x mod n의 덧셈 역 • 0 mod n가 되기 위해서 x에 더해야 하는 수 • -2 mod 6 = 4, 왜냐하면 2 + 4 = 0 mod 6 • x-1 mod n: x mod n의 곱셈 역 • 1 mod n이 되기 위해서 x에 곱해야 하는 수 • 3-1 mod 7 = 5, 왜냐하면 3 5 = 1 mod 7 • x와 n이 “서로 소”일 때 만 존재

  9. 지수 연산 => 곱셈의 반복으로 수행가능 • 예) 117 mod 13 112 = 121 = 4 mod 13 114 = 42 = 3 mod 13 117 = 11*4*3 = 2 mod 13

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