Matroides paving I

1. Matroides paving I C.M., S.Noble, M. Ramírez, R. Villarroel

2. Matroides Un matroide M es un par (E,I), donde Ees finito, I es una colección de subconjuntos de E, llamados independientes, tal que El vacío es independiente Cerrada hacia abajo Axioma de incremento

3. Matroides Para un matroide M=(E,I)tenemos • BE es una base si es un independiente maximal. (Si B y B’son bases, |B|=|B’|) • CE es un circuito si es minimal con la propiedad de no ser independiente. • El rango de M es el tamaño de una base y lo denotamos r(M).

4. Matroides E 

5. U2,4 U3,5 Ejemplo:Matroides Uniformes Ur,n=( {1,2…n} , {A: |A|r}).

6. Ejemplo:Matroides Uniformes E dependientes independientes 

7. Matroides Paving Un matroide Mes paving sitodos sus circuitos tiene tamaño al menos r(M). r(M)+1 r(M)

8. Matroides Paving D.J.A. Welsh propone en 1976 el problema de determinar si “la mayoria de los matroides” son paving. Esto basado en la tabla de matroides que publica Blackburn, Crapo y Higgs en 1973. En 2008 la tabla se actualizo hasta 9 elementos por Mayhew y Royle. En 2010, Mayhew, Newman, Welsh y Whittle conjeturan que asintóticamente todos los matroides son paving.

9. Complejos Simpliciales Sea  un complejo simplicial de dimensión d-1 con todas sus facetas de la misma cardinalidad (puro). Asociado a  esta su f -vector ( f0, f1, . . . , fd). La podemos codificar en una función generatriz. (1, 6, 12, 8)

10. Complejos Simpliciales El h –vector de  , (h0, h1,…, hd), lo definimos usando f(x) como los coeficientes que satisfacenh(x+1)=f(x) para el polinomio Notar que ho+...+hd= fd O sea, En nuestro ejemplo (1,3,3,1).

11. Complejos Matroidales La familia de conjuntos independientes de un matroide forma un complejo simplicial de dimensión r(M)-1, (M). Las facetas de (M)son las bases del matroide y (M) es pure. A estos complejos los llamamos complejos matroidales. (U3,3)2

12. H-vector para paving Nuestra pregunta es sencilla. ¿Cómo es el h-vector de matroide paving? La respuesta es casi sencilla y casi hermosa. Como todo conjunto de cardinalidad a lo más r-1 es independiente, el vector de caras es donde b(M) es el número de bases de M

13. H-vector para paving Usando la relación entre las fi y las hi ,el h-vector es Listo. Sólo necesitamos determinar b(M) para encontrar

14. H-vector para paving Pero hay que notar algo, cada hk es de la forma Y la expresión corresponde al número de monomios sobre n-r variables de grado k, para 0<=k<=r-1.

15. Multicomplejos Los monomios sobre d variables de grado ptienen un COPO asociado mediante la relación de divisibilidad. Un ideal de orden en este COPO se le conoce como multicomplejo.

16. Multicomplejos Un multicomplejo es un conjunto de monomios sobre z1 …zd ordenados por divisibilidad y tal que es cerrado hacia abajo, o sea, x y yx, implica y . El rango de un elemento en  es su grado. x3 x2y y3

17. Multicomplejos Si todos los monomios maximales de  tienen el mismo grado se dice que es puro. Un vector (h0, . . . , hd) se le llama O-sucesión si existe un multicomplejo  con tal vector de monomios de grado i. Es pura la O-sucesión si lo es . Asociado a  tenemos el vector de monomios de grado i, (h0, . . . , hd).

18. Conjectura En 1977, Richard Stanley probó que el h-vector de un complejo matroidal (shellable) es una O-sucesión e hizo la siguiente conjetura. Conjectura. El h–vector de un matroide es una O-sucesión pura.

19. Ideas para prueba Para probar la conjetura para matroides paving falta sólo ver que hay un multicomplejo puro para el cual la cantidad hr(M) siempre se ajusta al multicomplejo que tenemos construido con h0, h1,…,hr-1.

20. Ideas para prueba h0,h1,…hr-1 forman un multicomplejo f(r,n-r) es el mínimo número de monomios que faltan para completar un multicomplejo puro con grado r sobre n-r variables

21. Resultados Teorema: Para todo matroide paving M de rango r con n elementos ninguno de ellos lazo o isthmus se tiene que hr(M) es por lo menos f(r,n-r). Prueba: Los matroides paving son cerrados bajo menores y podemos aplicar inducción. Cierto cuidado al llegar a los casos base y con el manejo de la función f(p,d).

22. Resultados Teorema: Si (p,d)=1, entonces f(d,p) es menor o igual al número de collares aperiodicos con d cuentas negras y p blancas.

23. Collares aperiodicos Collares

24. Collares aperiodicos El número de palabras binarias de Lyndon de longitud n=p+d. El número de polinomios irreducibles de grado n=p+d sobre GF(2).

25. Collares aperiodicos El total de collares aperiodicos con n cuentas es El total de collares aperiodicos con n cuentas, p de ellas blancas es  es el número enteros k, 1kn, con (k,n)=1 (función de Euler)

26. Nuestra conjetura Conjetura: f(p,d) es igual al número de collares aperiodicos con p cuentas blancas y d negras.

27. Gracias!