1 / 59

Presentatie titel

Computer Graphics. Presentatie titel. Technische Informatica www.hogeschool-rotterdam.nl/cmi. Rotterdam, 00 januari 2007. Les 4. Les 4 gaat over de hoofdstukken: 6.1 Meetkundige 3D transformaties 6.2 3D transformaties van coordinaten 6.3 Samengestelde 3D transformaties

dafydd
Download Presentation

Presentatie titel

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Computer Graphics Presentatie titel Technische Informatica www.hogeschool-rotterdam.nl/cmi Rotterdam, 00 januari 2007

  2. Les 4 • Les 4 gaat over de hoofdstukken: • 6.1 Meetkundige 3D transformaties • 6.2 3D transformaties van coordinaten • 6.3 Samengestelde 3D transformaties • 6.4 Instantie 3D transformaties • 7.1 Indelingen van Projectie • 7.2 Perspectief projectie • 7.3 Parallelle projectie

  3. Inleiding • Manipulatie en constructie van 3-dimensionale grafische beelden vereist het gebruik van 3 dimensionale meetkundige en coordinaat transformaties • Gevormd door basis transformaties: • Translatie • Rotatie • Verschaling • Directe manipulatie met meetkundige transformaties • Stationair via coordinaat transformaties

  4. Meetkundige transformaties • Een object Obj in hetvlakkanwordenbeschouwdalseenverzamelingpunten Obj= {P(x,y,z)} • Alshetverplaatstwordt , wordtheteennieuw object Obj’ , waarinallepunten P’(x’,y’,z’) verkregenkunnenwordenuit P(x,y,z) door middel van meetkundigetransformaties

  5. Translatie • Bijeentranslatiewordteen object verplaatst over eengegevenafstand van de orginelepositie • De verplaatsing is gegeven door de vector v=aI +bJ+cK • Hetnieuwe punt P’(x’,y’,z’) kangevondenworden door de transformatieTvvanuit P(x,y,z ) • P’= Tv(P) (zie fig 6-1)

  6. Translatie • Om transformatiesmogelijktemakenzijnhomogenecoordinatennodig:

  7. Verschalen t.o.v. oorsprong • Bijverschalingveranderen de afmetingen van het object • De schaalfactor s bepaald of de verschalingeenvergroting is, s>1 of eenverkleining s<1 • De volgendetransformatie:

  8. Verschalen t.o.v. oorsprong • In matrix vorm • Met homogenecoordinaten:

  9. Rotatie om de oorsprong • Rotatie in 3 dimensies is veelcomplexerdanbij 2 dimensies • Bij 2 dimensieshebjeeenrotatie met rotatiehoekθ en eenrotatiecentrum P • Bij 3 dimensieshebjeeenrotatiehoek en eenrotatieas • De canoniekerotatieszijngedefinieerdalséén van de positievex,y,z-assen is gekozenalsrotatieas • Dan wordt de constructie van de transformatiegelijkaan die in 2 dimensies (zie fig 6-2)

  10. Rotatie om de oorsprong • Rotatieom de z-as • Hierin is θ de rotatiehoek • En K de rotatie as (z-as)

  11. Rotatie om de oorsprong • Rotatieom de x-as • Hierin is θ de rotatiehoek • En J de rotatie as (y-as) • Deze wordt verkregen door cyclische permutatie vanuit rotatie om z-as: • Verwissel • x met y (overal waar x staat vul je y in) • y met z (overal waar y staat vul je z in) • z met x (overal waar z staat vul je x in)

  12. Rotatie om de oorsprong • Rotatieom de y-as • Hierin is θ de rotatiehoek • En I de rotatie as (x-as) • Deze wordt verkregen door cyclische permutatie vanuit rotatie om z-as: • Verwissel • x met z (overal waar x staat vul je z in) • y met x (overal waar y staat vul je x in) • z met y (overal waar z staat vul je y in)

  13. Rotatie om de oorsprong • De richting van de positieverotatiehoek is overeenkomstig de rechterhand-regel met betrekking tot de rotatieas (zie appendix 2)

  14. Rotatie om de oorsprong • Rotatieom de z-as • In matrix vorm • Met homogenecoordinaten:

  15. Rotatie om de oorsprong • Rotatieom de y-as • In matrix vorm • Met homogenecoordinaten:

  16. Rotatie om de oorsprong • Rotatieom de x-as • In matrix vorm • Met homogenecoordinaten:

  17. Rotatie om de as L • Dezekanbepaaldwordenuit de canoniekerotaties • Gegeven: De rotatieas L heeft de richtingsvectorV en eenlokatie punt P op L (zie fig 6-5) • Gevraagd de transformatievooreenrotatie van θom L

  18. Rotatie om de as L • Erdienen de volgendestappentewordenuitgevoerd: • Eentranslatie van P naar de oorsprong (T-P) • Laat de richting van Vsamenvallen met die van K (Av) (A=alignment =uitlijning) • Roteerθom de as K (Rθ,K) • Maak de richting van KweergelijkaanV (Av-1) • Eentranslatieterug van de oorsprongnaar P (T-P-1)

  19. Rotatie om de as L • De transformatiewordtdan: • Rθ,L= T-P-1.Av-1.Rθ,K.Av.T-P • De transformatie Av is beschreven in oefening 6.2 ( zie fig 6-4a en 6-4b en 64-c) • Gegeven is de vector V=aI+ bJ +cK • De volgendetransformatiesmoetenwordenuitgevoerd: • Roteerom de X-as over eenhoekθ1 zodat V roteert in het bovenste xz vlak (vector V1) (fig 6-4b) • Roteer V1 om de Y-as met een hoek –θ 2 zodat V1 roteert naar de positieve z-as (vector V2) (fig 6-4c)

  20. Rotatie om de as L • Fig 6-4a

  21. Rotatie om de as L • Fig 6-4b

  22. Rotatie om de as L • Fig 6-4c

  23. Coordinaten transformatie • We kunnenookhet object stilhouden en hetcoordinatensysteemveranderen • We plaatseneencoordinatensysteembij de observator • We bewegen de observator en hetcoordinaatsysteem • We berekenen de coordinaten van het object t.o.v. hetnieuwecoordinatensysteem ( zie fig 6-3) • De verplaatsingbeschrevenwordt door vector V=aI+bJ+cK • Een P(x,y,z) uit het orginelesysteemgaatnaar P’(x’,y’,z’)

  24. Coordinaten transformatie • Dan is:

  25. Coordinaten transformatie • De afleiding is identiekbij 2 dimensies • Gelijkeafleidingenzijnervoorrotatie en verschaling • De relatietussencoordinaat en meetkundigetransformaties CoordinatenMeetkundig • Translatie: vT-v • Rotatie: θ R-θ • Verschalen:sx,sy,szS1/sx,1/sy,1/sz • De inverse operaties:

  26. Samengestelde transformaties • Meercomplexetransformatieswordengebouwdvanuit de basis transformaties met compositie van functies( zie appendix 1) • Voor matrix functies is compositiegelijkaan matrix vermenigvuldiging • De standaard 3*3 matrix kanomgezetworden in een 4*4 matrix ( homogeen)

  27. Instantie transformaties • Alseen object gecreerd is met eigencoordinatensysteemkunnen we eencopie of eeninstantieplaatsen in eengrotere scene • Die scene is beschreven in eenonafhankleijkcoordinatensysteem • We kunnendaneencoordinatentransformatieuitvoeren. Ditnoemen we eeninstant transformatie

  28. Wiskunde van projecties • Erzijnfundamenteleverschillentussen de echte 3D-wereld en de beschrijving van een 2D plaatje ( projectie) • Projectie is gedefinieerdalseenafbeelding van punt P(x,y,z) op zijnbeeld P’(x’,y’,z’) in hetprojectievlak (view plane) (zie fig 7-1)

  29. Wiskunde van projecties • De afbeeldingwordtbepaald door eenprojectielijngenaamdprojector die door P gaat en hetprojectievlaksnijdt in P’ • Hetresultaat is afhankelijk van de ruimtelijkerelatietussen de projectors (zie de klassificatie van projectie) • De 2 basismethodenperspectiefen parallel zijnontworpenomhet basis probleem van presentatie op telossen • Weergevenzoalshet object zichvoordoet en hetbehouden van echtegrootte en vorm

  30. Classificatie van projectie • Men kanverschillendeprojectiesmakenafhankelijk van hetbeelddatgewenstwordt • In fig 7-2 is eenclassificatiegegeven van families van perspectieve en parallelleprojecties • Sommigehebbennamen: cavalier, cabinet, isometrisch, enz • Andereprojectieskwalificeren het hoofdtype van eenprojectie ( verdwijnpuntvoor 1 as)

  31. Classificatie van projectie

  32. Perspectief projectie • Basis principe • De techniek van perspectieveprojectieszijngeneralisaties van hetprincipedat door kunstenaars is gebruiktom 3D weertegeven • Hetoog van de kunstenaarwordtgeplaatst in hetcentrum van projectieen hetdoek ( hetvlak van hetdoek) wordthetview plane • Eenbeeldpuntwordtgevormd door een projector die vanuithet object punt (P1) gaatnaarhetcentrum van projectie (C) (zie fig 7-3)

  33. Perspectief projectie

  34. Perspectief projectie • Perspectieftekeningenwordengekarakteriseerd door 2 elementen: • Verkorting: Dit is de illusiedatobjecten en lengtenkleinerzijnals de afstand van hetprojectiecentrumtoeneemt ( fig. A geenverkorting, fig. B wel)

  35. Perspectief projectie • Verdwijnpunt: De illusiedatparallellelijnensamenkomen in een punt ververwijderd • Dit punt heetverdwijnpunt • Hoofdverdwijnpuntenwordengevormd door parallellelijnenevenwijdigaan de x,y of z-as • Hetaantalhoofdverdwijnpuntenwordtbepaald door hetaantalhoofdassen die het view plane snijden

  36. Perspectief projectie

  37. Wiskundige beschrijving van perspectieve projectie • Eenperspectieftransformatiewordtbepaald door eenprojectiecentrum en een view plane • Een view plane wordtbepaald door view referentiepunt R en view plane normaal N • Hetobjectpuntwordtbepaald door wereldcoordinaten in P(x,y,z) • Hetprobleem is de beeldpuntcoordinaten P’(x’,y’,z’) tebepalen ( zie fig 7-3)

  38. Wiskundige beschrijving van perspectieve projectie • Voorbeeld 1: • De standaardperspectiefprojectie is in fig 7-4 gegeven

  39. D(0,y,z) D(0,y’,z) y y’ z d B(0,0,z) O(0,0,0) C(0,0,-d) Wiskundige beschrijving van perspectieve projectie • Het view-plane is hetxyvlak • Projectiecentrum is C(0,0,-d) op de negatieve z-as • Met behulp van driehoek ABC en A’OC wordt : • Zieonderstaandfiguurvoor de verhouding van de y-waarde

  40. Wiskundige beschrijving van perspectieve projectie • De perspectieftransformatietussen object en beeldpunt is nietlineair , daaromgeen 3*3 matrix. We gebruikenhomogenecoordinaten • De factor 1/(z+d) kanweggelatenworden want de grootte van de vector is niet van belangmaar de richting • Eenalgemenetransformatie (met n=normaal op vlak en C(a,b,c)= projectiecentrum ) is in opg. 7.5 gegeven

  41. Perspectief afwijkingen • Hetproces van perspectiefintroduceertafwijkingen van grootte en vorm • Verkorting Hoe verdereen object weg hoe kleinerhetvooronsverschijnt (zie fig 7-5)

  42. Perspectief afwijkingen • Verdwijnpunt: Lijnen van projectie die niet parallel aanhet view plane zijnverschijnenaanons op enig punt op het view plane • Eenalgemenemanifestatie van dezeafwijking is de illusiedat de spoorstaveneen punt aan de horizon bereiken

  43. Parallelle projectie • Parallelleprojectiemethodenwordengebruikt door tekenaars en engineers omwerktekeningentemaken van een object , waarbij de schaal en vormbehoudenblijven • De complete presentatie van deze details vereist 2 of meeraanzichten (projecties) van het object op verschillende view planes • Bijparallelleprojectiewordenbeeldpuntengevondenals het snijpunt van het view plane met de projector die getekendwordtvanuit het objectpunt en heefteenvasterichting (zie fig 7-9)

  44. Parallelle projectie

  45. Parallelle projectie • De richting van de projectie is gelijkvooralle projectors • Orthografischeprojectiewordtgekenmerkt door het feitdat de richting van projectieloodrecht op het view plane is • Als de richtingevenwijdigaan de coordinaatas is, dankrijgen we vooraanzicht, bovenaanzicht en zijaanzicht van technischetekeningen (multiviewtekeningen) • Axonometrischeprojectie is orthografischeprojectiewaarbij de richtingvan projectienietevenwijdigis aan de coordinaatas

  46. Parallelle projectie • Nietorthografischeparallelleprojectie ( projectierichtingloodrecht op view plane ) heetOblique paralleleprojectie Multiviewtekening

  47. Wiskundige beschrijving van Parallelle projectie • Eenparallelleprojectievetransformatiewordtbepaald door de richting van de projectie vector V en een view plane • Het view plane is gespecificeerd door zijnreferentiepunt R0 en de normaal op het view plane N • Hetobjectpunt P(x,y,z) in wereldcoordinaten • Hetprobleem is omhetbeelpuntcoordinaat P(x’,y’,z’) tebepalen (zie fig 7-9) • Als de projectievectorVdezelfderichtingheeftalsNspreekt men van orthografisch ( andersoblique ( zie fig 7-10)

  48. Wiskundige beschrijving van Parallelle projectie

  49. Wiskundige beschrijving van Parallelle projectie • Subcatogorie van orthografischeprojectie: • Isometrisch: De projectierichtingheeftgelijkehoeken met alle 3 de hoofdassen • L, B en H op schaal 1/1 • assenkruis met hoeken onder 120° • eenvoudig

More Related