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第十五章 傅里叶级数

一、 三角级数 正交函数系. 二、以 为周期的函数的傅里叶级数. 第十五章 傅里叶级数. §15.1 傅里叶级数. 三、收敛定理. 一、三角函数 正交函数系. 单的周期运动，可用正弦函数 来描写。. 所表达的周期运动也称为 简谐运动 ，其中 为 振幅 ， 为 初相角 ，. 为 角频率 ，于是简谐振动 的周期是. §15.1 傅里叶级数. 在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一种周期运动，最简. 较为复杂的周期运动，则常是几个简谐振动的叠加. 1. 三角级数.

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第十五章 傅里叶级数

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  1. 一、 三角级数 正交函数系 二、以 为周期的函数的傅里叶级数 • 第十五章 傅里叶级数 §15.1 傅里叶级数 三、收敛定理

  2. 一、三角函数 正交函数系 单的周期运动，可用正弦函数 来描写。 所表达的周期运动也称为简谐运动，其中 为振幅， 为初相角， 为角频率，于是简谐振动 的周期是 §15.1 傅里叶级数 在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一种周期运动，最简 较为复杂的周期运动，则常是几个简谐振动的叠加

  3. 1.三角级数 三角级数

  4. (4) 定理15.1 若级数 收敛, 则级数(1)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.

  5. (5) 2.三角函数系的正交性 构成三角级数的基本要素: 性质: (7)

  6. 任一个函数平方在 上的积分为不为零. 正交 (8) 具有正交性的三角函数系是正交函数系。

  7. 二、以 为周期的函数的傅里叶级数 (9) (10a) 定理15.2 若在整个数轴上 且等式右边级数一致收敛 则 (10b)

  8. 证: 由定理的条件, f(x)在[-π, π]上连续且可积, 对(9)式逐项积分, 得 以coskx乘(9)式两边, 得 同理可得:

  9. 若 是以 为周期且在 可积的函数, 则称按上述公式确定的 和 为 的傅里叶系数, 相应的三角级数称为 的傅里叶级数, 记作 定理15.2 若在整个数轴上 (9) 且右边的级数一致收敛, 则有以下关系式: (10a) (10b) (11)

  10. 定义：若 的导函数 在 上连续，则称 在 上光滑。 若函数 在 上至多有有限个第一类间断点，且 仅在 上 有限个点处不连续且为第一类间断点, 则称 是 上的按段光滑函数。 设函数 在区间 是按段光滑，则 三、收敛定理 １. 按段光滑函数: 按段光滑函数的性质:

  11. ２．收敛定理: 推论：

  12. 注: (1) 收敛定理只是对周期函数而言的； (2) 若f(x)为以2π的周期函数，则有 (3) 具体讨论函数的傅里叶展开式时，常只给出函数在一个周期的表达式，此时要把其视为在整个数轴上的周期函数 (4) 当只给出一个周期的表达式时，傅里叶级数在两端点的值 可用 上述公式求之.

  13. 例1：设 求 的傅里叶级数展开式. 显然 是按段光滑的,故由收敛定理，它可以展开成傅里叶级数。 解： 由于

  14. 所以在开区间 上

  15. 于是，在

  16. 例2 把下列函数展开成傅里叶级数 解： 及其周期延拓的图形如图所示，显然 是按段光滑的， 因此它可以展开成傅里叶级数。

  17. 由 或 都可推得 所以 (1) 所以 因此 (2)

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