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第五节 傅立叶级数

第五节 傅立叶级数. 一、三角函数系的正交性. 二、周期为 2 π 的周期函数的傅立叶级数. 三、正弦级数与余弦级数. 四、以 2 l 为周期的函数展开成傅立叶级数. 在物理学、电工电子学和工程技术等问题中，经常会遇到周期函数，而正、余弦函数是最简单的周期函数，在弹簧振动、单摆运动以及交流电路等许多问题中夺回遇到。因此，我们自然就会想到：任何一个周期函数能否用下列无穷三角级数 来表示？把函数展开成三角级数的理论对数学和其他学科与领域的发展起着极为重要的作用。下面我们就来研究。. 问题的背景：. 如果 是 [a,b] 上两个不同的可积函

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第五节 傅立叶级数

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  1. 第五节 傅立叶级数 一、三角函数系的正交性 二、周期为2π的周期函数的傅立叶级数 三、正弦级数与余弦级数 四、以2l为周期的函数展开成傅立叶级数

  2. 在物理学、电工电子学和工程技术等问题中，经常会遇到周期函数，而正、余弦函数是最简单的周期函数，在弹簧振动、单摆运动以及交流电路等许多问题中夺回遇到。因此，我们自然就会想到：任何一个周期函数能否用下列无穷三角级数在物理学、电工电子学和工程技术等问题中，经常会遇到周期函数，而正、余弦函数是最简单的周期函数，在弹簧振动、单摆运动以及交流电路等许多问题中夺回遇到。因此，我们自然就会想到：任何一个周期函数能否用下列无穷三角级数 来表示？把函数展开成三角级数的理论对数学和其他学科与领域的发展起着极为重要的作用。下面我们就来研究。 问题的背景：

  3. 如果 是[a,b]上两个不同的可积函 数，且满足 ，那么称 在 上是正交的。 三角函数系 在区间 上是正交的，也即 以上任意两个不同函数在 上的积分等于零 一、三角函数系的正交性 1、正交的定义： 2、三角函数系的正交性 .

  4. 以上都可以通过有关积分运算来验证。

  5. 设 是以2π为周期的函数，所谓 的傅立 叶级数，就是寻找一个三角级数 使得该级数以 为和函数，即 （1）若能展开, 是什么? 二、周期为2π的周期函数的傅立叶级数 需解决的问题是： （2）展开的条件是什么?

  6. 如果有 来求傅立叶系数 ( 1 ) a 求 0 故得 1 傅立叶系数

  7. ( 2 ) a 求 n ¥ p p å ò ò + + [ a cos kx cos nxdx b sin kx cos nxdx ] k k - p - p = k 1 则 ( 3 ) b 求 n

  8. 则 由上面公式计算出 所构成的三角级数 称为函数 的傅立叶级数。 综上知，傅立叶系数为

  9. 函数 的傅立叶级数在什么条件下收敛？如 果收敛，是否收敛于 呢？ p f ( x ) 2 . 设 是以 为周期的周期函数, 如果它满足： 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 , 并且 f ( x ) , 则 的傅里叶级数收敛 , 至多只有有限个极值点 并且 x f ( x ) f ( x ) (1) 当 是 的连续点时 , 级数收敛于 ; - + + f ( x 0 ) f ( x 0 ) x f ( x ) (2) 当 是 的间断点时 , 收敛于 ; 2 2 展开的条件 收敛定理：

  10. 当 x 为端点 时 , 收敛于 . 例1 将以 为周期的函数（如图） x = ± p p 2 展开为傅立叶级数。 解：函数 满足收敛定理的条件，其傅立叶 级数在点 处收敛于 - p + + p - f ( 0 ) f ( 0 ) 2 特别地，

  11. 当 时， 的傅立叶级数收敛于 ， 和函数的图形如图所示： = = 2 , ) 0 ( n 0 , 1 , L 傅立叶系数为

  12. 所以 的傅立叶级数展开式为

  13. 例2 设 是周期为2 的周期函数，函数在 上的表达式为 π 将 展开成傅立叶级数。 解：函数 满足收敛定理的条件，它在点 处不连续，因此其傅立叶级数在这些点处收敛于 在连续点 处收敛于 ，和函数如图：

  14. f(x) 傅立叶系数为：

  15. 于是 的傅立叶级数展开式为 注意：对于非周期函数,如果函数 只在区间 上有定义,并且满足收敛定理条件,也可 展开成傅立叶级数.

  16. 例3 将函数 展开成傅立叶级数。 解：所给函数满足收敛定理条件，且其周期延 拓函数在 上连续，因此周期延拓函数的傅立 叶级数在 上收敛于 ，如图。 具体作法：

  17. 傅立叶系数为：

  18. 所求函数的傅立叶级数展开式为

  19. ★利用傅立叶级数展开式还可求级数的和 如上题中的结论 则可得

  20. 三、正弦级数与余弦级数 一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项. 有关结论：

  21. ¥ 定义 å b sin nx f ( x ) 如果 为奇函数 , 傅立叶级数 n = n 1 称为 正弦级数 。 a ¥ + å 0 f ( x ) a cos nx 如果 为偶函数 , 傅立叶级数 n 2 = n 1 称为 余弦级数 。

  22. 如果函数 是仅定义在 上的偶函数， 则它是定义在 上的偶函数，称为 的偶延 拓。 的傅立叶级数是一个余弦级数。 我们构造函数 如果我们构造函数

  23. 的傅立叶级数是一个余弦级数。 综上，定义在 上的、满足收敛定理条件的函数 即可展开成正弦级数，也可以展开成余弦级数。 解 所给函数满足收敛定理条件。 例4 将函数 展开为正弦级数和余弦级数。 则此函数是定义在 上的奇函数，称为 的奇延拓。 （1）展开为正弦级数。

  24. 所以由收敛定理， 展开成正弦级数为

  25. 所以由收敛定理， 展开成余弦级数为 （2）展开为余弦级数。

  26. 设是以2l为周期、且在 上满足收敛定理条件的函数，令 x p = t , l 四、以2l为周期的函数展开成傅立叶级数 则g（t）的傅立叶级数为

  27. 由于 便得 的傅立叶级数为

  28. 则有 则有

  29. 将 展开为傅立叶级数。 系数 收敛定理条件，傅立叶 例5 设函数是周期为4的周期函数，它在[-2，2]上的表达式为 解

  30. 的傅立叶 在 的不连续点 级数收敛于 所以

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