Algebraische Entscheidungsbäume

1. Algebraische Entscheidungsbäume Vortrag zum Seminar über Algorithmen • Behsaad Ramez • 6.Sem. Informatik(Diplom) Behsaad Ramez

2. Übersicht • Vergleichsbäume • Algebraische Berechnungsbäume • Lineare Entscheidungsbäume • Algebraische Entscheidungsbäume • Beispiele Behsaad Ramez

3. Vergleichsbäume • Allgemeine Sortieralgorithmen • Darstellung durch Vergleichsbaum Behsaad Ramez

4. Untere Schranke • n! Blatter => Höhe • Beispiel Tennisturnier Behsaad Ramez

5. Algebraischer Berechnungsbaum • Algorithmus: Behsaad Ramez

6. Beispiel Behsaad Ramez

7. Definitionen • Problem P ist im Berechnungsbaummodell lösbar, wenn • Zeitkomplexität von ist die Höhe von T • Zeitkomplexität von P ist die minimale Höhe von allen Bäumen die P lösen. Behsaad Ramez

8. Algebraische Entscheidungsbäume • ist Entscheidungsproblem, wenn S={YES,NO} • Beispiel element uniqueness: Ein algebraischer Berechnungsbaum , der ein Entscheidungsproblem löst , wird algebraischer Entscheidungsbaum genannt. Behsaad Ramez

9. sei ein Entscheidungsproblem • Ein Punkt wird YES-Instanz genannt , falls • sei die Menge aller YES-Instanzen. • Beispiel element uniqueness: BehsaadRamez

10. Untere Schranke • Untere Schranke kann über Topologie von gefunden werden • ist die Anzahl der Zusammenhangskomponenten von • Untere Schranke im linearen Entscheidungsbaummodell: • Untere Schranke im algebraischen Entscheidungsbaummodell: Behsaad Ramez

11. Lineare Entscheidungsbäume • Jeder Berechnungsknoten u ist mit beschriftet: • Z(u) ist lineare Funktion auf den Eingabevariablen Behsaad Ramez

12. R(w) • R(w) sei die Menge aller Eingaben ,für die im Blatt w terminiert • seien die Knoten ,auf dem Weg zu w ,die zwei Kinder haben. • R(w) ist dann die Menge aller Punkte für die gilt: falls man bei nach links geht falls man bei nach rechts geht Ist lineare Funktion auf der Eingabe BehsaadRamez

13. Konvexität von R(w) • R(w) ist konvex Behsaad Ramez

14. Untere Schranke für Höhe h • A,B seien zwei verschiedene Zusammenhangskomponenten eines Problems P • ,Blätter in denen terminiert sind verschieden Anzahl Blätter von T Behsaad Ramez

15. Element Uniqueness • seien verschiedene Permutationen von 1..n • Punkte sind in verschiedenen Zusammenhangskomponenten von Behsaad Ramez

16. Allgemeine Untere Schranke Im algebraischen Entscheidungsbaummodell ist R(w) nicht immer konvex Behsaad Ramez

17. Satz • Seien , Polynome auf n Variablen • Der Grad von sei kleiner oder gleich g Die Menge W hat höchstens Zusammenhangskomponenten Behsaad Ramez

18. Umformung von Ungleichungen • sind Polynome, Grad 2 • W ist die Menge der Punkte für die gilt: Behsaad Ramez

19. Umformung von Ungleichungen • sei ein beliebiger Punkt aus der j-ten Zusammenhangskomponente von W. • ist dann: Behsaad Ramez

20. Umformung von Ungleichungen • mit b+c neuen Variablen formen wir E,N,P in polynomielle Gleichungen um. • W‘ sei die Menge aller Punkte : Die Projektion von W‘ auf die ersten n Koordinaten ergibt Behsaad Ramez

21. Entscheidungsbäume reduzieren • sei ein Pfad p in T von der Wurzel zum Blatt . • s sei die Anzahl der Anweisungen auf p. • Man kann R(w) mit k+s polynomiellen Ungleichungen auf n+k Variablen darstellen • seien die Eingabewerte , repräsentieren Behsaad Ramez

22. Ersetzungsregeln Gehe auf p entlang und füge für Gleichungen und Ungleichungen hinzu Wird zu Behsaad Ramez

23. Sei r die Anzahl der Berechnungsknoten ,s die Anzahl der Funktionen und t die Anzahl der Entscheidungen für den linken Weg • Es gibt s+t polynomielle Ungleichungen • Es gibt k-r-t polynomielle > Ungleichungen • Da wir n+k Variablen haben folgt aus Behsaad Ramez

24. Behsaad Ramez

25. Beispiele • Element Uniqueness: • Sorting • Closest Pair • Diskriminante • Set Disjointness • Resultante Behsaad Ramez

26. Danke Danke! Behsaad Ramez