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二重积分及其性质

二重积分及其性质. 教学目的： 二重积分及其计算 教学重点： 二重积分的基本性质 教学难点： 有限与无限的转化. 二重积分及其性质. 设有一立体，它的底是 xoy 平面上的有界闭区域 D 它的侧面是以 D 的边界曲线为准线而母线平行于 z 轴的柱面 . 顶是由二元非负连续函数表示的曲面 z = f ( x , y ) 这种立体称为 D 上的曲顶柱体. 曲顶拄面的体积. 对于平顶柱体，即 f ( x , y )≡ h ，这里 h 是大于 0 的常数，有. 分析. 体积 = 底面积 × 高.

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Presentation Transcript

  1. 二重积分及其性质 教学目的：二重积分及其计算 教学重点：二重积分的基本性质 教学难点：有限与无限的转化

  2. 二重积分及其性质

  3. 设有一立体，它的底是xoy平面上的有界闭区域D设有一立体，它的底是xoy平面上的有界闭区域D 它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面. 顶是由二元非负连续函数表示的曲面z = f (x, y) 这种立体称为D上的曲顶柱体 曲顶拄面的体积

  4. 对于平顶柱体，即f (x, y)≡h，这里h是大于0的常数，有 分析 体积 = 底面积×高 但曲顶柱体的高f (x, y)在区域D上是变量，当点(x, y)在区域D上变化时，高f (x, y)不断变化，因而曲顶柱体的体积不能用上面的公式来计算. 但我们可以仿照求曲边梯形面积的思路.

  5. 将D划分为n个小闭区域： 例题 以每个小区域为底，以它们的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面，形成许多小曲顶柱体. 原曲顶柱体被分割成n个小曲顶柱体. 曲顶柱体体积的近似等于 n个小曲顶柱体的体积之和

  6. 步骤如下： 先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域， 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积， 曲顶柱体的体积

  7. 每个小曲顶柱体可以近似地看成是一个平顶柱体每个小曲顶柱体可以近似地看成是一个平顶柱体 例题

  8. 区域D分割得越细密，小曲顶柱体的体积和越接近体积V. 为了得到V的精确值，令n个小区域的最大直径λ→0， 则小曲顶柱体的体积和的极限就是曲顶柱体的体积V，即 例题

  9. 二重积分的定义

  10. 如果当这些小区域的直径的最大值趋于0时，上式的极限总存在，则称函数f(x, y)在区域D上可积，此极限值称为函数f (x, y)在区域D上的二重积分. 例题

  11. 注1 要从定义来判定一个二重积分是否存在是困难的.为应用方便，我们介绍一个与定积分存在定理类似的结论. 定理1在有界闭区域D上连续的函数必在D上可积. 特别，在有界闭区域D上有定义的初等函数必在D上可积. 因此，以后我们一般不就可积性问题展开讨论. 例题

  12. 例题

  13. 二重积分的几何意义

  14. 性质1 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即 二重积分的性质 性质2 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即 . 性质3 如果区域D可以划分为D1与D2，其中D1与D2除边界外无公共点，则

  15. 例题 性质4 如果在区域D上有 ，则 推论 性质5 设M和m分别是函数f (x, y)在有界闭区域D上的最大值和最小值，为区域D的面积，则

  16. 性质6（二重积分中值定理） 设函数f (x, y)在有界闭区域D上连续，为区域的面积，则在D上至少存在一点(ξ,η), 使得 例题

  17. 例题 解

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