Вероятности и физическа статистика

Вероятности и физическа статистика Задължителен курс за специалност Физика

Обща информация за курса • Лектор: доц. Виктор Иванов, кат. Обща физика, тел: 81 61 816, стая Б322. • Литература: • Материали на уеб-сайта на курса: http://elearning-phys.uni-sofia.bg/~vgi • лекционни записки (pdf); • C. M. Grinstead, J. Laurie Snell, "Introduction to Probability" (pdf) 2. А. Феллер, Введение в теорию вероятностей, т. 1. и т. 2, Москва, Мир, 1981 г.

Лекция 1: Експерименти със случаен изход. Вероятност 1. За какво основно служат теория на вероятностите и статистиката? 2. Предмет на теория на вероятностите и статистиката. 3. Вероятности, статистика и физика. 4. Експерименти със случаен изход. Пространство на елементарните събития’ 5. Вероятност.

1. За какво основно служат теория на вероятностите и статистиката? • анализ на хазартни игри (XIX в.); • оценка на риск и печалба в икономиката; • генетика и селекция на видове; • социология; • анализ на стихийни природни и обществини явления: земетресения, епидемии и др.

2. Предмет на теория на вероятностите и на статистиката • Теория на вероятностите: • Абстрактна математическа теория (основни понятия и аксиоми). • Централно понятие – вероятност: количествена мярка за способността на едно събитие да настъпи. - Дедуктивен подход: следствия (теореми) от основните понятия и аксиоми.

2. Предмет на теория на вероятностите и на статистиката • Статистика: • Приложна теория на вероятностите; • Основно допускане: понятията и съотношенията на теория на вероятностите могат да бъдат приложени към реални обекти и процеси; • Статистически анализ (индуктивен подход): оценка на параметри на системи със случайно поведение въз основа на голям брой еднотипни измервания.

Начални условия (v0 ,x0) Еволюция v(t), x(t) сили 3. Вероятности, статистика и физика • Детерминизъм във физиката: • основна доктрина до средата на XIX в. (Нютон, Лагранж, Лаплас); • Природата е напълно предвидима! • Малки грешки в началните условия – малки грешки в предсказаната еволюция.

Малка промяна на далечината на полета Малка промяна на началната скорост

3. Вероятности, статистика и физика • Молекулно-кинетична теория (Максуел, Болцман) • Ограничена информация за системата – обем, температура и налягане. • Неизвестни положения и скорости на градивните частици. • Необходимост от вероятностен и статистически подход при микроскопичното описание. • Ново понятие във физиката: функция на разпределение

f(v) Относителен брой молекули със скорости в интервала v v v (m/s)

3. Вероятности, статистика и физика • Анализ на грешките при експеримента • Нормално (Гаусово) разпределение на резултатите от измерването. • Пример: данни от 1000 измервания на периода на махало

Брой измервания в интервал 0,05 s Теоретична Гаусова крива Измерен период (s)

3. Вероятности, статистика и физика • Хаотични динамични системи • Качествени промени в поведението на системата при малки изменения на началните условия; • Непредсказуемост на движението поради неизбежни грешки при измерване на началните условия и при числените пресмятания. • Примери: климат, турбулентност

3. Вероятности, статистика и физика • Квантова механика • Съотношение за неопределеност • Принципна невъзможност за точно определяне на координатата и импулса; • Вероятностно описание на микросвета: вълнова функция(x) функция на разпределение |(x)|2 px x  h

4. Експерименти със случаен изход. Пространство на елементарните събития • Експеримент (процес) със случаен изход: Процес, изходът от който не се определя еднозначно от достъпните начални условия • Примери - хвърляне на монета или зар, теглене на карти и т. н.

4. Експерименти със случаен изход. Пространство на елементарните събития • Елементарни събития: Възможните изходи Еiна един случаен процес, които: • изчерпват всички реализации на процеса; • са взаимно-изключващи се.

4. Експерименти със случаен изход. Пространство на елементарните събития • Примери за елементарни събития • при хвърляне на зар: {1,2,3,4,5,6}; • при хвърляне на монета: {“ези”,”тура”}

4. Експерименти със случаен изход. Пространство на елементарните събития • Нееднозначност при избора на елементарни събития: Пример с хвърляне на зар: {“четно число”,”нечетно число”}

4. Експерименти със случаен изход. Пространство на елементарните събития • Пространство на елементарните събития (вероятностно пространство): Множиството от всички елементарни събития: = {E1, E2, … } • Крайни пространства: краен брой елементарни събития (зар, монета, рулетка...) • Дискретни пространства: изброимо множество от елементарни събития Пример: брой разпадания в радиоактивна проба N = 0,1,2,3,……………

4. Експерименти със случаен изход. Пространство на елементарните събития • Непрекъснати пространства: Изходът от процеса се характеризира с реализация на реално число, което принадлежи на определен интервал Пример: скоростта на молекула в газ V [0,c) c = 3 108 m/s

5. Вероятност • Множество от дискретни елементарни събития= {E1, E2, … } Числата P(E1), P(E2), …са вероятности на съответните събития, ако: 1. 2.

5. Вероятност • Оценки на вероятността: • Априорни (които не се основават на опита) Пример - процеси с равновероятни изходи: при хвърляне на зар: Р1= P2 =…= P6 = 1/6; при хвърляне на монета: Р1= P2 = 1/2;

5. Вероятност - Емпирични (статистически) оценки: N независими опита при еднакви начални условия (изпитания на Бернули) Nk– брой изпитания, в които настъпва събитието Еk Честота на събитието:

5. Вероятност Емпирична оценка на вероятността Статистическа вариация (грешка) на честотата Точната стойност на вероятността се получава, когато броят на изпитанията клони към безкрайност

Вероятности и физическа статистика