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第 8 章 自 旋 (Spin)

第 8 章 自 旋 (Spin). § 8.1 电子自旋态与自旋算符 § 8.2 总角动量的本征态 § 8.3 碱金属原子光谱双线结构域反常 Zeeman 效应 §8.4 自旋单态与三重态. S. 电子的自旋假设. N. 实验依据. 1. 斯特恩 - 盖拉赫实验 (Stern-Gerlach )(1922 年 ). S 态的氢原子束流,经非均匀磁场发生偏转,在感光板上呈现两条分立线。. 氢原子有磁矩 因在非均匀磁场中发生偏转. 氢原子磁矩只有两种取向 即空间是量子化的. 分析:. 设原子磁矩为 M ,外磁场为 B. 原子在 Z 方向外磁场中的势能是.

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第 8 章 自 旋 (Spin)

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  1. 第8章 自 旋(Spin) §8.1电子自旋态与自旋算符 §8.2 总角动量的本征态 §8.3碱金属原子光谱双线结构域反常Zeeman效应 §8.4 自旋单态与三重态

  2. S 电子的自旋假设 N 实验依据 1.斯特恩-盖拉赫实验(Stern-Gerlach)(1922年) S 态的氢原子束流,经非均匀磁场发生偏转,在感光板上呈现两条分立线。 氢原子有磁矩 因在非均匀磁场中发生偏转 氢原子磁矩只有两种取向 即空间是量子化的

  3. 分析: 设原子磁矩为M,外磁场为B 原子在Z方向外磁场中的势能是 磁矩与磁场之夹角 原子 Z向受力 若原子磁矩可任意取向,则 cos 可在 (-1,+1)之间连续变化,感光板将呈现连续带 但是实验结果是:出现的两条分立线对应cos  = -1和 +1,处于 S 态的氢原子 =0,没有轨道磁矩,所以原子磁矩来自于电子的固有磁矩,即自旋磁矩。

  4. 3p3/2 3s1/2 3p D1 D2 3p1/2 5893Å 5896Å 5890Å 3s 2.碱金属原子光谱线的精细结构 钠原子光谱中的一条亮黄线 5893Å,用高分辨率的光谱仪观测,可以看到该谱线其实是由靠的很近的两条谱线组成。 其它原子光谱中也可以发现这种谱线由更细的一些线组成的现象,称之为光谱线的精细结构。该现象只有考虑了电子的自旋才能得到解释

  5. 电子自旋假设 Uhlenbeck 和 Goudsmit1925年根据上述现象提出了电子自旋假设 (1)每个电子都具有自旋角动量, 它在空间任何方向上的 投影只能取两个数值: (2)每个电子都具有自旋磁矩,它与自旋角动量的关系为: Note:电子的自旋角动量绝对不是来源电子自身的旋转,而是电子 的内在属性

  6. 自旋磁矩在空间任何方向上的投影,只能取两个数值:自旋磁矩在空间任何方向上的投影,只能取两个数值: Bohr 磁子 回转磁比率 电子自旋回转磁比率 电子轨道回转磁比率 电子回转磁比率是轨道回转磁比率的二倍

  7. §8.1 电子的自旋态与自旋算符 8.1.1电子自旋态的描述 电子不只是具有空间的三个自由度,还有一自旋自由度 旋量波函数(二分量) 物理意义:

  8. 旋量波函数的归一化条件 若粒子的哈密顿可表示成空间部分和自旋部分之和,则波函数 可分离变量 自旋态波函数的一般形式 分别代表 的概率。 自旋波函数的归一化条件

  9. 特例:sz的本征态 本征值 简写为 α,β构成一组完备基,任意自旋态波函数可用其展开 则电子的旋量波函数(1)可以写成

  10. 8.1.2 电子自旋算符, Pauli矩阵 1.自旋算符 自旋角动量的对易关系 引入无量纲的Pauli算符 则 或

  11. 则有 由于自旋沿任何方向的投影只能取 则 由(11),(13)得 上面两式子相加可得反对易关系 反对易关系 由(11),(14)得

  12. 由(13),(15)可写成 Pauli算符的厄米性: 练习1 证明 其中A,B是与σ对易的任何两个矢量 证明:

  13. 显然利用上式子有 练习2 证明 设A与σ对易 证明: 另一等号类似证明

  14. 2. Pauli表象(sz表象,σz表象) 在σz表象中, σz 的矩阵是 设 ,则根据 得 则 利用 得

  15. 令 ,则 利用 得 取α=0,则得到Pauli矩阵

  16. 则在Pauli表象中有 练习 令 可以证明有 所以 称为自旋z分量的升、降算符

  17. §8.2 总角动量的本征态 1.总角动量 电子的轨道-自旋耦合 引入轨道-自旋耦合后,轨道和自旋角动量均不是守恒量,但 它们之和是守恒量。 总角动量 对易关系 令 可证明:

  18. 则轨道角动量的平方仍是守恒量 2.总角动量的本征态 中心力场中电子的能量本征态可选一组相互对易的守恒量完全集(H, L2, j2, jz)的共同本征函数,而空间角度部分和自旋 部分的波函数可取(L2, j2, jz)的共同本征函数。 注: 在(θ, φ, sz)表象中,设(L2, j2, jz)的共同本征函数为:

  19. (1)ϕ是L2的本征态 令 即 即ϕ1和ϕ2都是l2的本征态,对应的本征值都为C (2)ϕ是 jz 的本征态,则 即 则

  20. 即ϕ1和ϕ2都是lz的本征态,对应的本征值相差 因此式(9)可写成 易见: (3)ϕ是j2的本征态,则

  21. 在Pauli表象中有 其中 (13)代入(12),并利用 可得到

  22. 方程组(14)有非平庸解得充要条件是 解得 或写成

  23. 将j=l + ½ 代入方程(14)得 将j =l- ½ (l≠0) 代入方程(14)得 将(18), (19)代入(10),并利用归一化条件可得 对j=l + ½ 对j=l - ½ (l≠0)

  24. (4)量子数的取值范围与本征值 本征值: 量子数的取值范围: 在(20a)中 共2j+1个

  25. 在(20b)中 (因为m=l时,ϕ=0无意义) (因为m=-l-1时,ϕ=0无意义) 则 共2j+1个

  26. 概括: (L2, j2, jz)的共同本征函数是ϕljmj, 本征值分别是 对

  27. 对 l =0的情况,不存在轨道自旋耦合,此时 相应的波函数是

  28. 练习1 证明: 则

  29. 练习2 解: 对

  30. 同理可求

  31. 练习3. 证明 证明: 则 所以 又因为 归一化 并利用

  32. 可得 即 同理可证

  33. 三种角动量的对比及其耦合 角动量 角量子数 磁量子数 对易关系 力学量完全集 共同本征函数

  34. 本征方程

  35. §8.3碱金属原子光谱的双线结构与反常Zeeman效应§8.3碱金属原子光谱的双线结构与反常Zeeman效应 8.3.1 碱金属原子光谱的双线结构 价电子的哈密顿为 选守恒量完全集 ,其共同本征函数是 代入能量本征方程

  36. 则得径向方程 对于给定的屏蔽库仑场V(r),可分别解出上述方程,电子的能量 本征值与量子数(n,l,j)都有关系,是(2j+1)重简并 因此

  37. 即j = l+1/2的能级高于j = l-1/2的能级,但由于轨道-自旋耦合 很小,这两条能级靠得很近。这就是造成光谱双线结构。 能级分裂 随原子序数Z的增大而增大。 Na原子的电子组态:

  38. 8.3.2 反常Zeeman效应 正常Zeeman效应: 在强磁场中原子光谱发生分裂(一般为3条) 的现象,称为正常Zeeman效应。 不考虑电子的自旋,则在外场存在时电子的哈密顿量为 选 为守恒量完全集,其共同本征函数为 相应的能量本征值为 称为Larmor频率

  39. 1 3p 0 -1 3s 0 m 就是屏蔽库仑场V(r)中粒子能量本征方程得本征值 该能级(2l+1)重简并,在外磁场的作用下,能级分裂成(2l+1)条 如Na原子最低两条能级在外场中的分裂 有外场 无外场

  40. 反常Zeeman效应 考虑轨道和自旋磁矩与外场的相互作用,若外场很强,不考虑 轨道-自旋耦合,则哈密顿量为 选守恒量完全集 ,其共同本征函数是 相应的本征能量为

  41. 显然,与不考虑电子的自旋时的能级相比,能级虽有变化,但 考虑到跃迁规则Δms=0,谱线的三分裂现象没有变化。 若外场很弱,自旋-轨道耦合不能忽略,此时加电子的哈密顿为 若忽略哈密顿中的最后一项,则守恒量完全集是 共同本征函数 能量本真值

  42. 无外场时,能级Enlj是(2j+1)重简并;有外场时,能级分裂成无外场时,能级Enlj是(2j+1)重简并;有外场时,能级分裂成 (2j+1)条,偶数条,这就是反常Zeeman效应。

  43. 钠黄线的反常Zeeman效应分裂

  44. §8.4 自旋单态与三重态,自旋纠缠态 1.(S2, Sz)的共同本征函数 设有两个电子自旋记为s1和s2,令两自旋之和为 显然有 令 则

  45. 选(s1z,s2z)为对易自旋力学量完全集,则它们的共同本征选(s1z,s2z)为对易自旋力学量完全集,则它们的共同本征 函数为 显然它们也是Sz = s1z+s2z的本征态,本征值分别是 利用 可以证明

  46. 则 可得

  47. 上述方程有非平庸解得条件是 解得 代入方程(11)得: 则可得S2的另外两个归一化的本征函数为 令S2的本征值记为

  48. 记(S2,sz)的共同本征函数为 的三个态为自旋三重态,而S=0, Ms=0的态为自旋单态 2.非耦合表象与耦合表象 非耦合表象: (s1z, s2z)的共同本征函数

  49. 耦合表象: (s2, sz)的共同本征函数 可分离态与纠缠态: 由两个粒子组成的复合体系的量子态,如果 能够表示为每个粒子量子态的直积,则成为可分离态,反之,称 为纠缠态。

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