פונקציה לינארית

פונקציה לינארית מאת: אבי משולם פונקציה לינארית

מתודולוגיה • מהי פונקציה ליניארית? • תיאור גראפי ואלגברי • פרמטרים ומשתנים • השיפוע • נק' חיתוך עם הצירים • מציאת משוואת הישר • שלבים בפתרון משוואות • ישרים מקבילים ומאונכים • חישוב מרחקים ושטחים פונקציה לינארית

מהי פונקציה ליניארית? • פונקציה ליניארית – הינה פונקציה קווית, כלומר פונקציה המתארת בצורה גראפית או אלגברית קו ישר. פונקציה לינארית

הבעה גראפית • הבעה של הפונקציה הליניארית באמצעות שרטוט על גבי גרף בשני צירים (X,Y). • לדוגמה: תיאור גראפי של הפונקציה y=2x-3 פונקציה לינארית

הבעה אלגברית • תיאור של הפונקציה הליניארית ע"י שימוש במשוואה אלגברית. • משוואת הפונקציה הליניארית: • דוגמה: הפונקציה y=2x+5. Y=ax+b פונקציה לינארית

פרמטרים ומשתנים • נסתכל על משוואת הפונקציה האלגברית: • משתנים: x,y. • פרמטרים: a,b. • על משמעותם של הפרמטרים והמשתנים בשקף הבא... Y=ax+b פונקציה לינארית

פרמטרים ומשתנים (המשך...) • המשתנים (x,y) מהווים את ערכי ה-X וה-Y של כלל הנקודות המקיימות את המשוואה. • ניקח לדוגמה את המשוואה y=x+7 ואת הנקודה (2,9). האם הנקודה הזאת נמצאת על גרף הפונקציה? • על מנת לענות על השאלה, נציב את ערך ה-X של הנקודה (2) במשוואת הפונקציה. אם התשובה תצא ערך ה-y של הנקודה (9), אזי הנקודה נמצאת על גרף הפונקציה. פונקציה לינארית

פרמטרים ומשתנים (המשך...) • נציב: Y=2+7=9 • גילינו שהנקודה (2,9) מקיימת את משוואת הפונקציה ולכן היא חלק ממנה. פונקציה לינארית

פרמטרים ומשתנים (המשך...) • פרמטרים: • a – שיפוע הפונקציה. • b – נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה-y. • הרחבה על פרמטרים אלה תינתן בהמשך... פונקציה לינארית

פרמטרים ומשתנים (סיכום...) ערך ה-x של הנקודה Y=ax+b ערך ה-y של הנקודה נקודת החיתוך עם ציר ה-y שיפוע הישר פונקציה לינארית

מציאת שיפוע • שיפוע הישר (a)– השינוי בציר ה-y ביחס לשינוי בציר ה-x בין שתי נקודות. • השיפוע מסומן לפעמים גם באות m. • לדוגמה נסתכל על הפונקציה y=3x-5 • שיפוע הפונקציה הוא 3. פונקציה לינארית

מציאת שיפוע (המשך) • הנוסחה למציאת שיפוע ישר: (x2,y2) y∆ (x1,y1) x∆ פונקציה לינארית

מציאת שיפוע (המשך) • דוגמה: נמצא את השיפוע בין הנקודות הבאות: (3,4), (2,2): (3,4) y∆ (2,2) x∆ פונקציה לינארית

מציאת שיפוע (המשך) • דוגמאות לסוגים שונים של שיפועים: • שיפוע חיובי (a>0) • שיפוע שלילי (a<0) פונקציה לינארית

מציאת שיפוע (המשך) • דוגמאות לסוגים שונים של שיפועים (המשך): • שיפוע 0 (y=b), (a=0) • שיפוע לא מוגדר (x=b), (a∞) פונקציה לינארית

מציאת נקודות חיתוך • נק' חיתוך עם ציר xy=0 (x1,0). • נק' חיתוך עם ציר y (b) x=0 (0, y1). (0, y1) (x1,0) פונקציה לינארית

מציאת נקודות חיתוך (המשך) • דוגמה: נמצא את נק' החיתוך של הישר y=2x-3 עם הצירים: x=1.5 2x=3 0=2x-3 Y=0 Y=-3 y=0-3 y=2*0-3 x=0 פונקציה לינארית

מציאת משוואת הישר • על מנת למצוא את משוואת הישר, נשתמש בדר"כ בנוסחה הבאה: • (x1,y1) – נק' על הישר. • m – שיפוע הישר. • לדוגמה: נתונה נק' על ישר (-2,5). שיפוע הישר הוא 1-. מה משוואת הישר? • נציב במשוואה: פונקציה לינארית

שלבי פיתרון של משוואה • ניישם את השלבים בפתרון משוואה של פונקציה ליניארית על הדוגמה הבאה: • שלב I – תחום הגדרה • מאחר ואין לחלק ב-0, תחום ההגדרה יהיה: פונקציה לינארית

שלבי פיתרון של משוואה (המשך) • שלב II – מכנה משותף • כופלים את המשוואה במכנה משותף על מנת לבטל את המכנה. • שלב III – פתיחת סוגריים • נפתור ראשית את הכפל בסוגריים. פונקציה לינארית

שלבי פיתרון של משוואה (המשך) • שלב IV – העברת אגפים • נרכז את ה-"x-ים" בצד שמאל של המשוואה ואת המספרים בצד ימין שלה. • שלב V – נחלק במקדם של X פונקציה לינארית

ישרים מקבילים ומאונכים • ישרים מקבילים – ישרים בעלי אותו שיפוע. • לדוגמה: Y=2x+3 Y=2x-7 • ישרים מאונכים – מקיימים את המשוואה הבאה: • לדוגמה: Y=2x+3 פונקציה לינארית

ישרים מקבילים ומאונכים (המשך) • שאלה: על מערכת צירים נתונות הנקודות A(-3,2)ו-B(1,6) . מנקודה B יוצא ישר BC אל ציר ה-X, כך שהישר AB יוצר עמו זווית ישרה. נק' C היא נקודת החיתוך של BC עם ציר ה-X. מנקודה A יורד אנך אל ציר ה-X ופוגש אותו בנקודה D. • מצא את משוואת הישר AB. • מצא את שיפועו של הישר BC. • מצא את ערכי הנקודה C. • מצא את שטח המרובע ABCD. פונקציה לינארית

ישרים מקבילים ומאונכים (המשך) • פתרון: • כדי למצוא משוואת ישר אנו צריכים נקודהושיפוע. נתונות 2 נק' (A ו-B). בעזרתן נמצא את השיפוע. • נציב את השיפוע ואת אחת הנקודות (במקרה זה אני אבחר ב-B) במשוואת הישר על מנת למצור את משוואת הישר AB. B(1,6) Y=x+5 A(-3,2) פונקציה לינארית

ישרים מקבילים ומאונכים (המשך) • המשך פתרון: • נתון כי BC מאנך ל-AB ועל כן, על מנת למצוא את שיפוע BC, נשתמש בנוסחה הבאה: B(1,6) Y=x+5 A(-3,2) פונקציה לינארית

B(1,6) B(1,6) Y=x+5 Y=x+5 A(-3,2) A(-3,2) ישרים מקבילים ומאונכים (המשך) • המשך פתרון: • נקודה C היא נק' החיתוך של BC עם ציר ה-X. לכן, כדי למצוא את נק' C, נמצא ראשית את משוואת הישר BC, ע"י כך שנציב את נק' B ואת השיפוע שמצאנו בשקף הקודם במשוואת הישר: Y=-x+7 פונקציה לינארית

B(1,6) B(1,6) Y=x+5 Y=x+5 A(-3,2) A(-3,2) ישרים מקבילים ומאונכים (המשך) • המשך פתרון: • כעת נמצא את נקודה C ע"י כך שנציב במשוואת הישר BC שמצאנו y=0. C(7,0) Y=-x+7 פונקציה לינארית

B(1,6) B(1,6) B(1,6) Y=x+5 Y=x+5 Y=x+5 A(-3,2) A(-3,2) A(-3,2) C(7,0) C(7,0) Y=-x+7 Y=-x+7 ישרים מקבילים ומאונכים (המשך) • המשך פתרון: • על מנת למצוא את שטח ABCD אנו צריכים למצוא את נקודה D. נתון כי מנק' A הורידו אנך לציר ה-X שחותך אותו בנק' D. כלומר, לנקודות A ו – D אותו ערך X (-3). מאחר שנק' D נמצאת על ציר X, ערכה הוא D(-3,0). • נוסחת שטח מרובע היא בסיס כפול גובה. ניקח את הבסיס כ-DC. ולכן הגובה יהיה ערך ה-y של נק' B. DC=7-(-3)=10 D(-3,0) פונקציה לינארית

חישוב מרחקים ושטחים • חישוב מרחקים – נבחין בין 2 מקרים: • חישוב מרחק בין 2 נקודות הנמצאות מאותו צד של ראשית הצירים (0,0). AB=X2-X1 A(x1,0) B(x2,0) x1 x2 פונקציה לינארית

חישוב מרחקים ושטחים (המשך) • חישוב מרחקים (המשך) • חישוב מרחק בין 2 נקודות הנמצאות משני צדדים שונים של ראשית הצירים (0,0). AB=X2-X1 A(x1,0) B(x2,0) x1 x2 פונקציה לינארית

חישוב מרחקים ושטחים (המשך) • חישוב מרחקים (המשך) • דוגמה: נחשב את המרחק בין 2 הנקודות (0,2), (0,-3). AB=y1-y2 A(0,2) AB=2-(-3)=2+3=5 y1 y2 B(0,-3) פונקציה לינארית

חישוב מרחקים ושטחים (המשך) • חישוב שטחים: • חישוב שטח משולש הינו ע"פ הנוסחה: (בסיס כפול גובה חלקי 2). חישוב הבסיס BC: AB=X3-X2 A(x1,y1) חישוב הגובה: h=Y1 B(x2,0) C(x3,0) חישוב שטח משולש ABC: פונקציה לינארית

חישוב מרחקים ושטחים (המשך) • חישוב שטחים (המשך): • דוגמה: נתונות שתי הפונקציות הבאות: y=3x+4, y=-0.5x+2. מצא את שטח המשולש ABC. שלב I: נתאים בין הפונקציה לגרף A(x1,y1) Y=-0.5x+2 B(x2,0) C(x3,0) Y=3x+4 פונקציה לינארית

חישוב מרחקים ושטחים (המשך) • חישוב שטחים (המשך): • שלב II: נמצא את ערכי הנקודות A,B,C. • נקודה A היא נקודת החיתוך בין 2 הפונקציות, לכן, על מנת למצוא את הנקודה, נשווה בין 2 הפונקציות. A(x1,y1) Y=-0.5x+2 B(x2,0) C(x3,0) Y=3x+4 פונקציה לינארית

חישוב מרחקים ושטחים (המשך) • חישוב שטחים (המשך): • שלב II: נמצא את ערכי הנקודות A,B,C. • נקודות B ו-C הן נקודות החיתוך של שתי הפונקציות עם ציר ה-X (y=0). נקודה B: Y=-0.5x+2 B(x2,0) C(x3,0) נקודה C: Y=3x+4 פונקציה לינארית

חישוב מרחקים ושטחים (המשך) • חישוב שטחים (המשך): • שלב III: נחשב את הבסיס וגובה המשולש. • חישוב הבסיס (BC): חישוב הגובה: Y=-0.5x+2 - שלב IV: חישוב שטח המשולש: Y=3x+4 8 1 פונקציה לינארית

סוף פונקציה לינארית

פונקציה לינארית

פונקציה לינארית

Presentation Transcript