Вневписанные окружности

1. Геометрия Вневписанные окружности Нахождение площади и сторон треугольника образованного центрами вневписанных окружностей Автор работы: Бойко Павел, ученик 10-б класса, ГБОУ Лицей 1557 Руководитель работы: Прокофьев Александр Александрович, учитель ГБОУ Лицей 1557, кфмн, д.пед.н.

2. Содержание • 1. Условие задачи 2. Алгоритм решения задачи 3. Определение вневписанной окружности 4. Свойства элементов треугольника и вневписанных к нему окружностей 4.1. Свойство вершин треугольника 4.2. Длина отрезков, составляющих сторону треугольника разделенную точкой касания окружности 4.3. Длина радиуса вневписанной окружности 5. Решение задачи 6. Проверка решения 7. Заключение

3. 1. Условие задачи Дан треугольник ABC со сторонами a, b, c и вневписанные к нему окружности с центрами O1, O2, O3 (рисунок 1). Выразить стороны треугольника O1O2O3 через a, b, cи найти его площадь. Рис. 1. Вневписанные окружности к треугольнику ABC и треугольник O1O2O3. Вернуться к содержанию

4. 2. Определение вневписанной окружности Вневписанная окружность – - окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других его сторон. Таких окружностей в треугольнике три. На рисунке 2 изображен треугольник ABC c тремя вневписанными к нему окружностями с центрами O1, O2 и O3. Точки K1, E1, D1; K2, E2, D2; K3, E3, D3- – точки касания соответствующих окружностей со сторонами и продолжениями сторон треугольника ABC. Рис. 2. Вневписанные окружности к треугольнику Вернуться к содержанию

5. 3. Алгоритм решения задачи • 1). Площадь O1O2O3 находим черезего стороны. • 2).СтороныO1O2O3вычисляем как суммы отрезков: О1В и О2В;О2С и О3С; О3А иО1А (Предварительно доказав, что вершины АВС лежат на прямых, соединяющих центры окружностей). • 3).Отрезки О1В, О2В, … найдем по теореме Пифагора, зная радиусы окружностей и длины отрезков, образованных вершинами треугольника принадлежащими одной стороне и точкой касания вневписанной к этой стороне окружности (например, r1, AK1и K1B). • 4).Радиусы окружностей и отрезки прямых (AK1,K1B, …) вычислим через длины сторон:а;b;c. Вычисления длин радиусов и отрезков оформим как отдельные самостоятельные модули Рис. 2. Рисунок к алгоритму решения Вернуться к содержанию

6. 4. Свойства элементов треугольника и вневписанных к нему окружностей 4.1. Свойство вершин треугольника Все вершины треугольника лежат на прямых, соединяющих центры вневписанных к нему окружностей. Для доказательства теоремы используем метод “от противного”, т.е. выскажем суждение: “Вершины треугольника НЕ лежат на прямых, соединяющих центры” и проверим это суждение на истинность. Суждение подразумевает, что все три пары отрезков прямых, соединяющих вершины треугольника с центрами трех вневписанных в него окружностей, Рис. 3. Угол между отрезками, соединяющими вершину B с центрами окружностей O1и O2 образуют между собой, внутри пары, углы НЕ равные 1800

7. 4.1. Свойство вершин треугольника (продолжение) • 1) Выделим фрагмент рисунка 1 и обозначим угол ABC равным a (рисунок 4): • 2)проведем касательные к O1 и О2. Соединим центры окружностей с их точками касания отрезками O1K1, O1D1и O2K2, O2D2. • 3) O1K1B=O1D1B=O2K2B=O2D2B=900; O1D1 = O1K1 = r1; O2D2 = O2K2 = r2 • где: r1 – радиус окружности O1; r2 – радиус окружности O2. • (свойства отрезка прямой, соединяющего центр окружности с точкой касания) • 4)Соединим вершину B, с центрами O1 и O2 отрезками BO1 и BO2 В результате построений мы получили искомый угол O1BO2. • 5) Вычислим значение угла. • O1BO2 =a + O1BD1+ O2 BD2; (1) • K1BD1=1800-a. • O1BK1=  O1BD1(признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе), следовательно: • O1BD1=O1BK1= (K1BD1 ) / 2= 900 - a/2. (3) • Аналогично вычисляемO2BD2=900 - a / 2. (4) • Подставляя значения (3), (4) в (1), получим: • O1BO2 = 1800 • Рис.4. Построения к доказательству теоремы

8. 4.1. Свойство вершин треугольника (продолжение) • Аналогичные рассуждения и вычисления справедливы для остальных углов между парами отрезков, соединяющих вершины треугольника (рисунок 1) с центрами окружностей, т.е. • O1BO2=1800; • O2CO3=1800; • O3AO1=1800. • Или: • все три пары отрезков прямых, соединяющих вершины треугольника с центрами трех вневписанных в него окружностей, образуют между собой, внутри пары, углы равные 1800. Проверка высказанного суждения на истинность Вычисление значений углов между отрезками, соединяющими вершины треугольника с центрами вневписанных в него окружностей, показало, что они равны 1800. Этот факт противоречит основе высказанного нами суждения, следовательно, само высказанное нами суждение: “Вершины треугольника не лежат на прямых линиях соединяющих центры вневписанных в него окружностей”, является ложным. Использованный метод доказательства “от противного”, позволяет нам утверждать, что: Вершины треугольника лежат на прямых линиях соединяющих центры вневписанных в него окружностей, • что и требовалось доказать. Вернуться

9. 4.2. Длины отрезков , образованных вершинами треугольника принадлежащими одной стороне и точкой касания вневписанной к этой стороне окружности • 1) Выделим фрагмент рисунка 1 (Условие задачи), проведем касательные к окружности O1. СоединимO1 с точками касания отрезками O1Е, O1Ки O1D. • 2) O1ЕА=O1КА=O1DB=900; O1Е = O1K = O1D = r1 . • где:r1 – радиус окружности O1. • (свойства отрезка прямой, соединяющего центр окружности с точкой касания) • 3)  O1ЕС= O1DC; O1ЕА= O1КА;  O1КВ= O1DВ (признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе), • 4) ЕА=АКи DВ=ВК, тогда: 5) Решаем систему уравнений: Длина отрезка между вершиной треугольника и точкой касания вписанной к стороне окружности равна разности между половиной суммы сторон, образующих эту вершину и половиной длины противоположной стороны треугольника Рисунок 5. Вернуться

10. 4.3. Длина радиуса вневписанной окружности • 1) Выделим фрагмент рисунка 1 и проведем касательные к окружности O1. • 2)Соединим центр окружности с точками касания отрезками O1Е, O1Ки O1D. • 3) O1ЕА=O1КА=O1DB=900; O1Е=O1K=O1D=r1, • где:r1 – радиус окружности O1. • (свойства отрезка прямой, соединяющего центр окружности с точкой касания) • 4) Соединим вершину С треугольника ABC с центром O1 отрезком СO1 • 5)  O1ЕС= O1DC; O1ЕА= O1КА;  O1КВ= O1DВ (признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе). 6) Уравнение площадей треугольников: (1) (2) где p=(a+b+c)/2 (3) (4) 7) Подставляя (2), (3) и (4) в (1), решаем относительно r1: Аналогично вычисляем r2, r3,: Рисунок 6 Вернуться

11. 5. Решение задачи. Нахождение сторон O1О2О3 1)Соединим центр вневписанной к стороне АВ треугольника АВС окружности О1 с вершинами А и В. Проведем радиус r1 к точке касания (К) окружности со стороной АВ. Получили отрезки О1А и О1В, являющиеся гипотенузами прямоугольных треугольников O1AК и O1КB. ; 2) Теорема Пифагора для O1AК и O1КB: Где: • (из Формулы 1) (из Формулы 2) 3) Решим (1), относительно отрезков O1A и O1B: Аналогично вычисляем длины остальных отрезков (О2В, О2С, О3С и О3А):

12. 5. Решение задачи. Нахождение сторон и полупериметра • Находим стороны треугольника O1O2O3, предварительно доказав, что все вершины АВС лежат на прямых, соединяющих центры окружгностей: Находим полупериметр (P) треугольникаO1O2O3: Рисунок 8. • Подставляя в формулу полупериметра O1O2O3,значения сторон, получаем:

13. 5. Решение задачи. Нахождение площадиO1О2О3 . Вариант 1. Найдем площадь O1O2O3через его стороны и полупериметр (Р) Подставляя значения сторон O1O2O3, получим: Результаты решения задачи Стороны O1O2O3, выраженные через стороны а, в, с АВС: Площадь O1O2O3: Рисунок 9. Где :

14. 5. Решение задачи.Нахождение площади O1О2О3. Вариант 2. Площадь O1O2O3 состоит из четырех частей (рис. 10): площади треугольника АВС, и примыкающих к нему трех треугольников Площадь треугольника АВС вычислим по формуле: Где р- полупериметр треугольника АВС ; r – радиус вписанной окружности. Площадь (S1) треугольника AO1B: Аналогичные выражения получим для S2 и S3 Сложим полученные равенства: Или: Рисунок 10. Используя теорему Штейнера, r1+r2+r3 - r = 4R, получаем: Воспользуемся формулой вычисления радиуса описанной окружности (R) через стороны треугольника: Вернуться к содержанию

15. 6. Проверка решения Сравним результаты вычисления сторон и площади треугольника по полученным формулам с фактическими, измеренными с точностью до ±1 мм, значениями. • Построим треугольник с длиной сторон: a=27 мм; b=41 мм; c=31 мм. . • Построим вневписанные окружности, соединим центры отрезками O1O2, O2O3, O1O3 и измерим их:O1O2=59 мм; O2O3,=74 мм; O1O3 =76 мм. • Проведем высоту (H ) O1O2O3 к основанию O1O2, измерим ее:H=69,2 мм. • За фактические значения полупериметров O1O2O3 и ABC (P и p, соответственно) примем сумму измеренных значений их сторон деленную на 2; • За фактическое значение площади O1O2O3 примем где: H – высота треугольника O1O2O3 к основаниюO1O2. Фактические (измеренные) и вычисленные результаты представлены в таблице: Разница в результатах проверки несущественна (объясняется недостаточной точностью построения треугольников и вневписанных окружностей, измерений сторон треугольников и их высот с использованием линейки и циркуля, а также ошибками округления). Вернуться к содержанию

16. 7. Заключение 1)В результате выполнения работы получены формулы вычисления длин сторон и площади треугольника, образованного центрами вневписанных окружностей в треугольник с заданными длинами сторон. • 2) При оформлении результатов работы некоторые последовательности действий и доказательств оформлены как отдельные разделы, или как готовые решения, имеющие самостоятельные значения: • Теорема свойства вершин; • Вычисление радиусов окружностей; • Вычисления длин отрезков, составляющих сторону треугольника. 3) Для проверки правильности полученных формул проведено сравнение результатов вычислений по полученным формулам с фактическими данными, полученными в результате измерений. 4) Проверка формул проводилась с помощью разработанной программы на MicrosofrExel, с ее помощью можно найти стороны и площадь треугольника, радиусы вневписанных окружностей, вводя любые заданные длины сторон (а, b, c) порождающего треугольника. Вернуться к содержанию

17. Нахождение площади и сторон треугольника образованного центрами вневписанных окружностей Автор работы: Бойко Павел, ученик 10-б класса, ГБОУ Лицей 1557 Руководитель работы: Прокофьев Александр Александрович, учитель ГБОУ Лицей 1557, кфмн, д.пед.н. Благодаримза внимание!