RELAÇÕES

1. RELAÇÕES

2. Temas a tratar: Relações de ordem parcial Relações de ordem total Conjuntos parcialmente ordenados e suas propriedades

3. Definição 1: Seja A um conjunto e R uma relação binária sobre A: • R diz-se reflexiva quando xA, xRx; • R diz-se simétrica quandox,yA (xRy  yRx); • R diz-se anti-simétricaquandox,yA (xRy e yRx  x=y); • R diz-setransitivaquandox,y,zA (xRy e yRz  xRz); • R diz-se dicotómica quandox,yA, xRy ou yRx; • R diz-se tricotómica quandox,yA, se tem um e um só dos seguintes casos: xRy ou yRx ou x=y.

4. Definição 2: Seja A um conjunto e R uma relação binária sobre A. R diz-se uma relação de ordem parcial quando é reflexiva, anti-simétrica e transitiva. Definição 3: Seja A um conjunto e R uma relação binária sobre A. R diz-se uma relação de ordem total se for transitiva e tricotómica.

5. Exercício 1: Prove que se  for uma relação de ordem total num conjunto A, então a relação , definida em A por xy  xy ou x=y, é uma relação de ordem parcial.

6. Definição 4: Quando R é uma relação de ordem parcial num conjunto A, dizemos que (A;R) é um conjunto parcialmente ordenado (abreviadamente, cpo).

7. Exemplos: • Os seguintes pares são cpo’s: • (P(A);) onde A é um conjunto e P(A) representa o conjunto das partes (ou subconjuntos) de A . • (IN;≤), (Z;≤), (Q;≤) e (IR;≤), onde ≤ é a ordem usual. • (C;*) onde a relação * é definida, para quaisquer x,y,z,wIR, por (x  yi) * (z  wi)  x  z e y  w.

8. Exercício 2: Prove que (IN;) é um cpo, onde  é a relação “é divisor de” em IN, isto é, para n,m  IN tem-se nm  m=kn, para algum kIN. Note-se no entanto que (Z;), onde  é a relação “é divisor de” em Z, ou seja,  está definida para cada n, mZ por nm  m=kn para algum kZ, não é um cpo. De facto,  não é uma relação anti-simétrica pois 2-2, -22 e, no entanto, 2-2.

9. Notação: • Habitualmente é usado o símbolo  para representar uma ordem parcial num conjunto A. Dados x, yA, escreve-se: • xy e diz-se que “x é menor ou igual a y”; • xy se xy e xy e, diz-se que “x é menor que y”; • x  y para negar xy, e diz-se que “x não é menor nem igual a y”;

10. xy se yx, e diz-se que “x é maior ou igual a y”; • x<<y se xy e  zA tal que xzy e diz-se que “x é coberto por y” ou que “y cobre x”; • x y se xy e yx, e diz-se que "x e y são incomparáveis”. • Por exemplo, 4 6 em (IN;), 6<<7 em (IN;), e não existem x,yIR tais que x<<y em (IR;).

11. Definição 5: Se R é uma relação binária sobre A, a relação binária R-1 sobre A definida, para cada x,yA, por x R-1y  y R x é chamada a relação inversa de R. Se (A;) é um cpo, então  representa a relação inversa (também chamada a relação dual) de  e (A;) é um cpo, chamado o cpo dual de (A;).

12. Definição 6: Seja (A;) um cpo e seja X um subconjunto de A. Por restrição da relação  a X obtém-se uma relação de ordem parcial em X (relação induzida pela relação em A). Assim, (X;) é um cpo para a relação induzida pela relação de (A;). Definição 7: Seja (A;) um cpo. Diz-se que (A;) é um conjunto totalmente ordenado ou uma cadeia, se quaisquer dois elementos estiverem relacionados, isto é, dados x,yA, tem-se xy ou yx. Neste caso, os elementos x e y dizem-se comparáveis.

13. Exemplos: • Os cpo’s (IN; ), (Z; ), (Q; ) e (IR; ) com a operação “” usual, são cadeias. • Dado um conjunto A, o cpo (P(A); ) não é uma cadeia. Por exemplo, se considerarmos A={1,2,...,12}, os dois elementos {1} e {2} são incomparáveis, uma vez que {1}{2} e {2}{1}.

14. Um cpo finito (A;) pode ser representado graficamente por um diagrama, chamado diagrama de Hasse. Num tal diagrama, um ponto ou pequeno círculo que represente um certo elemento x deve ser desenhado abaixo de qualquer ponto que represente um elemento y tal que xy. Se x e y são elementos tais que xy, então desenha-se um segmento de recta unindo o ponto que representa x ao ponto que representa y.

15. Por exemplo, considere-se o cpo (P(A);), com AIN finito. Apresentam-se a seguir, diagramas de Hasse para alguns cpo’s deste tipo: (i) (P({1});) {1} 

16. (ii) (P({1,2});) {1,2} {1} {2}  Observação: Tem-se que {1}{2} e {2}{1}, donde {1} {2} e portanto não existe nenhum segmento de recta a ligar os dois elementos.

17. (iii) (P({1,2,3});) {1,2,3} {1,2} {1,3} {2,3} {1} {2} {3} 

18. Exercício 3: No conjunto A={1,2,3,4,...,12} a relação de “divisor” é uma relação de ordem parcial. Recorda-se que, para x,yA, dizer que “x é divisor de y” ou "x divide y" ou "xy" significa que kA, tal que, y = x.k Construa o diagrama de Hasse para o cpo (A;).

19. Definição 8: • Sejam (A;) um cpo e XA. Diz-se que: • mX é elemento maximal em X se xX (mx  m=x); • nX é elemento minimal em X se xX (xn  x=n); • mX é elemento máximo de X se xX, xm; • nX é elemento mínimo de X se xX, nx; • mA é majorante de X se xX, xm; • nA é minorante de X se xX, nx;

20. sA é supremo de X se: • - xX, xs; • - xX, xm  sm; • tA é ínfimo de X se: - xX, tx; - xX, nx  nt.

21. Notação: Ma X – conjunto dos majorantes de X; Mi X – conjunto dos minorantes de X; X ou sup X – supremo de X; X ou inf X – ínfimo de X; max X – elemento máximo de X; min X – elemento mínimo de X. Observação: A anti-simetria da relação  garante que, no caso de existir elemento máximo (elemento mínimo, supremo, ínfimo) de X, este é único.

22. Exemplo: Consideremos o cpo representado pelo diagrama: g i h j f e c d b a

23. Se X={b,c,d,e}, tem-se: Mi X = {a,b} Ma X = {g,i,h,f} Sup X = f Inf X = b Min X = b Max X - não existe porque, fX e f é o menor dos majorantes. Maximais em X = {e,c,d} Minimais em X = {b}

24. Observações: Um subconjunto dum cpo pode admitir mais do que um elemento maximal (resp. minimal); Um subconjunto dum cpo pode não admitir elementos maximais (resp. minimais). Por exemplo, Z com a relação usual “”; Se existir elemento máximo (resp. mínimo) de um subconjunto X dum cpo (A;), ele é elemento maximal em X (resp. minimal)

25. Exemplo: No diagrama de Hasse seguinte está representado um cpo que tem 3 elementos maximais mas não tem elemento máximo. a b c d e

26. Exercício 4: Considere-se o cpo (A;), com A = {1,2,..., 12}. Seja X={1,2,3,4,6,8,12} tal que XA. Represente por um diagrama de Hasse o cpo (A;). Indique, caso existam: Ma X, Mi X, Sup X, Inf X, Min X, Max X, elementos maximais e minimais em X.