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第十二章 二阶电路

第十二章 二阶电路. 二阶电路 : 电路中含两个储能元件，可以用二阶 的微分方程来描述。. 主要内容 :.  二阶电路的零输入响应  二阶电路的零状态响应与完全响应  二阶电路的阶跃响应与冲激响应. + U L -. + U C -. 物理意义. R. i L. + U R -. L. C. i C. u C. u C. U 0. U 0. (t=0). t. K. 0. 0. t. §12-1 二阶电路的零输入响应.

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第十二章 二阶电路

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  1. 第十二章 二阶电路 二阶电路:电路中含两个储能元件，可以用二阶 的微分方程来描述。 主要内容: 二阶电路的零输入响应  二阶电路的零状态响应与完全响应  二阶电路的阶跃响应与冲激响应

  2. + UL - + UC - 物理意义 R iL + UR - L C iC uC uC U0 U0 (t=0) t K 0 0 t §12-1 二阶电路的零输入响应 图示电路，uC(0-) =U0，iL(0-)=0 求t >0时uC(t)、iL(t)

  3. + UC - + UL - 数学分析 R iL + UR - L C iC 又 (t=0) K  列以uC为变量的二阶微分方程 整理上式有: 二阶、线性、常系数、齐次

  4. 求  特征方程 LCp2 + RCp + 1=0  解的形式  由初始值定k1、k2 uC(0+)= uC(0-)=U0

  5. 由 ，得: 由uC(0+)=U0，得: 即 k1+k2=U0 (1) 即 k1p1+k2p2=U0 (2) 联立(1)式和(2)式，解得: 若iL(0+)=I0仅影响k1、k2值

  6. uC(t)的变化规律与特征根的关系  特征方程有不相等的实根 Δ=(RC)2-4LC>0 uC(t)为非振荡过程

  7. uC UO UC iC O tm t uL tm对应iC的最大值 图中: uC、iC 0表明电容在整个过程中一直处于放电状态；  [0，tm]阶段，电感建立磁场、储能；[tm，]阶段，电感释放能量。  t ， uC、iC、uL0 电路处于过阻尼状态。

  8. 则 uC U0 uC 0 t （作图时假设 |p2| > |p1|） uC的变化曲线为 由uC求得

  9. uC, i, uL U0 uL uC i 2tm tm 0 t 定性画 i，uL的曲线： （1）t = 0时 i=0 ， t = 时i =0； i始终为正，t = tm 时i 最大。 t > tm ，i 减小，uL< 0 （2） 0< t < tm，i 增加 ，uL > 0； t =2 tm时 uL最小。

  10. 由uL=0时计算出 tm ： 解得 由duL/dt可确定uL为极小时的 t 解得

  11. uC, i, uL U0 uL uC i 2tm tm 0 t R R + + uC uC L L C C - - 能量转换关系 0 < t < tmuC 减小，i 增加。 t > tmuC 减小，i 减小。 电容放出储能，电感 储能，电阻消耗能量。 电容、电感均放出储能, 电阻消耗能量。 储能释放完毕， 过渡过程结束。

  12. (damping factor) (natural frequency) 特征根为一对共轭复根 解答形式 其中A ， 为待定系数。

  13. 定系数。 由起始始值 ω0 ω  δ 解得 ，0，间的关系:

  14. 定性画曲线 t=0时 uC=U0 uC零点：t = -，2- ... n- uC极值点：t =0， ，2 ... n

  15. uC, i U0 uC i -  2- t 2 0  （2）i 零点：t =0，，2 ... n ， i 极值点为uL零点。 uL零点：t = ，+，2+ ... n+

  16. uC, i U0 uC i -  2- t 2 0  R R R + + + uC uC uC L L L C C C - - - 能量转换关系 - < t <  < t < - 0 < t <  在( ~2)的情况与(0 ~ )情况相似，只是电容向相反 方向放电。如此周而复始，直到储能释放完毕。

  17. + uC L C - 0 t 能量转换 特例R = 0 时 等幅振荡。

  18. 设  特征方程有一对共轭复根 Δ=(RC)2-4LC<0 则 p1= -+j  p2= --j 

  19. uC iC uL + UL - + UC - U0 R iL + UR - -   L O 2 t C uL iC (t=0) K 电路处于欠阻尼状态。 0<t<时， uC ，iC 电容释放能量，电感吸收能量； <t< -时， uC ，iC  电容释放能量，电感释放能量; - <t< 时，|uC|，iC  电容吸收能量，电感释放能量。

  20. 特征根 uC 0 t  特征方程有两个相等的实根 Δ=(RC)2-4LC=0 电路处于临界阻尼状态。

  21. K (t=0) 1 iL + uC - 100F 3.85H 500 1V + - 整理得: 例12-1 电路如图所示，开关K合闸已久，t=0时开关K打开， 求uC、iL 解：1、求iL(0+) ,uC (0+) iL(0+)= iL(0-)=1A uC(0+)=uC(0-)=0 2、列t>0方程

  22. iL + uC - 100F 3.85H 500 3、特征方程 3.85p2+77p+104=0 p1,2=-10j50 欠阻尼 4、解的形式 iL(t)=Ke-10tsin(50t+） 5、用初值确定K、  iL(0+)=1 据iL(0+)=1，有：Ksin =1……(1)

  23. 由 有: iL + uC - 100F 3.85H 500 Ksin =1……(1) 解得:K=1.02  =78.680 Kcos -10Ksin =0……(2) 6、结果 iL(t)=1.02e-10tsin(50t+78.680）

  24. 求解二阶电路的零输入响应的方法 1、列电路的二阶微分方程 2、写出特征方程 ap2+bp+c=0 3、确定解的形式 Δ=b2-4ac 当Δ>0 ，特征根p1、p2为不相等的实根， 电路处于过阻尼状态 响应= 当Δ<0 ，特征根p1、p2为一对共轭复根， 令 p1= -+j p2= --j，电路处于欠阻尼状态 响应= Ke-tsin(t+) 当Δ=0 ，特征根p1=p2=p为实数， 电路处于临界状态 响应= (K1+K2t)ept 4、根据初始值确定系数 5、写出最后表达式

  25. K(t=0) 2K a iL(t) b 0.2mA 1.25H 5K + uC - 0.2F 例12-2 电路如图所示，开关K原与a端接通，电路已达稳定， t=0时开关K由a端投向b端。 求t>0时 uC(t) 解：1、求iL(0+) ,uC (0+) iL(0+)= iL(0-)=0 uC(0+)=uC(0-)=5K0.2mA=1V 2、列t>0方程

  26. 整理得: 3、特征方程 p2+4000p+4106=0 p1,2=2000 临界阻尼 4、解的形式 5、用初值确定k1、 k2 uC(0+)=1V iL(0+)=0

  27. 由uC(0+)=1V有: k1=1 0=k2-2000k1 k2 =2000k1=2000 6、结果 uC(t)=(1+2000t)e-2000t(V)

  28. 例1 50V 20Ω + - 5Ω iL + 0.5H  F 100 uC S - 10Ω 10Ω 已知如图，t = 0时打开开关S 。 求uC ，并画出其变化曲线 。 解 （1）由换路前电路求得 iL(0 )=5A uC(0 )=25V （2）列写换路后电路的微分方程 （3）解微分方程 , 其特征方程为 50p2+2500p+106=0 特征根为 解答形式为

  29. uC/V 355 25  t 0 （4） 由初值定待定系数 则

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