Álgebra Linear

1. UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE O Problema da Alocação de Tarefas Álgebra Linear Por: Viviane Liria Professora: Ana Isabel

2. O Problema da Alocação de Tarefas O que é alocação de tarefas? Problema de distribuição de um número n de instalações para um número n de tarefas, buscando um custo mínimo. Para este problema há exatamente n! maneiras diferentes de alocar as tarefas. Uma alocação com custo mínimo é denominada alocação ótima. Custo – unidade utilizada para definir a tarefa a ser otimizada. Pode ser reais, quilômetros, horas, etc. Cij – custo de alocar a i-ésima tarefa à j-ésima instalação. C = Matriz-custo

3. O Problema da Alocação de Tarefas Exemplo1 Uma faculdade pretende instalar ar-condicionado em três de seus prédios num período de uma semana e convida três firmas para submeter orçamentos para cada um dos prédios. Na tabela 1 aparecem os orçamentos em unidades de 1000 reais.

4. O Problema da Alocação de Tarefas Exemplo1 A matriz custo para este problema é a matriz 3x3: C = Matriz-custo Como só há seis (3!) alocações possíveis, podemos resolver este problema calculando o custo de cada uma delas e calculamos sua soma:

5. O Problema da Alocação de Tarefas • 53 + 87 + 36 = 176 • 53 + 92 + 41 = 186 • 47 + 96 + 36 = 179 • 47 + 92 + 37 = 176 • 60 + 96 + 41 = 197 • 60 + 87 + 37 = 184 O resultado nos dá duas opções de alocação de tarefas com custo mínimo.

6. Alocação de Tarefas O Método Húngaro No exemplo anterior conseguimos rapidamente encontrar uma solução, pois a matriz-custo só permitia 6 formas diferentes de alocação. Porém, quando encontramos um problema mais complexo, o método utilizado torna-se impraticável. Vamos descrever, agora um método mais prático para resolução de problemas maiores: Suponhamos que a matriz custo de um problema seja: Note que todas as entradas são não-negativas e que ela contém muitos zeros. Nesta matriz é possível encontrar facilmente uma alocação composta apenas por zero. Esta alocação deve ser ótima, pois seu custo é zero.

7. Alocação de Tarefas O Método Húngaro Teorema: Se um número é somado ou subtraído de todas as entradas de uma linha ou coluna de uma matriz-custo, então uma alocação de tarefas ótima para a matriz-custo resultante também é uma alocação ótima para a matriz-custo original.

8. Alocação de Tarefas O Método Húngaro Exemplo 2: Matriz-custo:

9. Alocação de Tarefas O Método Húngaro Passo 1: Subtraímos a menor entrada de cada linha Passo 2: As três primeiras colunas da matriz já contém entradas zero, portanto, só precisamos subtrair da quarta coluna.

10. Alocação de Tarefas O Método Húngaro Passo 3: Riscamos as entradas zero utilizando um número mínimos de traços. Passo 4: Como o número de traços ainda é inferior a 4, subtraímos a menor entrada da matriz de todas as entradas não riscadas e somamos a todas as entradas riscadas por 2. Passo 5: Repetiremos o passo 3.

11. Alocação de Tarefas O Método Húngaro Passo 3: Como as entradas zero não podem ser riscadas com menos de 4 traços, a matriz encontrada deve conter uma alocação ótima de zeros. Encontramos, portanto, duas opções para alocação de tarefas.

12. Alocação de Tarefas O Método Húngaro • Restrições para resolução através do método húngaro: • O problema deve ser de minimização de custo; • A matriz custo deve ser quadrada

13. Zé Roberto Cicinho Juninho P. Renato Adriano Kaká ? ? Robinho Roque Jr. ? Marcos Ronaldo G. Lúcio ? ? Alocação de Tarefas O Problema de Alocação de Tarefas de Carlos Alberto Parreira Emerson

14. Zé Roberto Cicinho Juninho P. Renato Adriano Kaká 1 4 Robinho Roque Jr. 2 Marcos Emerson Ronaldo G. Lúcio 5 3

15. Zé Roberto Cicinho Juninho P. Renato Adriano Kaká Quantos gols fez a seleção nos últimos dez jogos em que cada um desses jogadores jogou nessas posições?

16. Alocação de Tarefas Como temos 6 jogadores e apenas cinco posições, vamos inserir uma linha com todas as entradas zero que representará o banco de reservas. Para transformar o problema de maximização em um problema de minimização, multiplicaremos todas as entradas por (-1).

17. Alocação de Tarefas Nessa matriz, subtrai-se a menor entrada de cada linha. Na matriz obtida, não é preciso subtrair a menor entrada nas colunas pois já temos pelo menos uma entrada zero em cada.

18. Alocação de Tarefas Agora, temos que riscar todas as entradas zero utilizando o menor número de traços possível. Como o número de traços utilizados foi menor do que 6, devemos subtrair a menor entrada de todas as entradas não riscadas e somar a menor entrada a todas as entradas riscadas por 2 traços. Na matriz obtida, vamos repetir os passos anteriores.

19. Alocação de Tarefas Como não é possível riscar todas as entradas zero com menos de 6 traços, essa matriz deve conter uma alocação ótima de zeros. Obtivemos, portanto o resultado do problema.

20. Alocação de Tarefas Zé Roberto Cicinho Juninho P. Renato Adriano Kaká As entradas zero representam o melhor desempenho de cada jogador.

21. Alocação de Tarefas Quantos gols fez a seleção nos últimos dez jogos em que cada um desses jogadores jogou nessas posições? Zé Roberto Cicinho Juninho P. Renato Adriano Kaká X Adriano Zé Roberto X X Kaká Zé Roberto Adriano X Zé Roberto Cicinho X X X Juninho P. Zé Roberto Adriano Kaká Cicinho X X Renato Kaká Juninho P.

22. Alocação de Tarefas Quantos gols fez a seleção nos últimos dez jogos em que cada um desses jogadores jogou nessas posições? Zé Roberto Cicinho Juninho P. Renato Adriano Kaká Adriano Kaká Zé Roberto Juninho P. Cicinho Renato

23. Renato Adriano Juninho P. Robinho Roque Jr. Kaká Marcos Emerson Ronaldo G. Lúcio Cicinho Zé Roberto