数値解析シラバス

数値解析シラバス • Ｃ言語環境と数値解析の概要（１回） • 方程式の根（１回） • 連立一次方程式（２回） • 補間と近似（２回） • 数値積分（１回） • 中間試験（１回） • 常微分方程式（１回） • 偏微分方程式（２回） • 数値計算の応用（３回） • 期末試験（１回）今週６月１２日（水）５限来週

数値積分 解析的に積分が困難な関数を数値的に積分する

数値積分 • 台形公式　関数を直線で近似し、台形の集合体とする。 y y3 y1 y2 y0 x x0 x1 x2 x3

台形 I = 0.5×h {(y0+y1)+(y1+y2)+ .. + (yn-1+yn)} = 0.5×h(y0+2y1 + 2y2 + .. + yn) y y3 y1 y2 y0 h x x0 x1 x2 x3

3 0 台形公式計算例 y I = 0.5×1×(0+2･3+2･20+87)=66.5 100 I = x4+2x dx= 57.6 75 50 25 x 3 0 1 2

3 0 Ｅｘｃｅｌで確認 N = 6 I = x4+2x dx= 57.6 数値の合計区間の幅

3 0 Ｅｘｃｅｌで確認 N = 30 I = x4+2x dx= 57.6 数値の合計区間の幅

台形公式による積分 #include <stdio.h> #include <math.h> #define N 30 double func_y( double ); int main( ) { double y[N+1]; double xa = 0.0, xb = 3.0; double z = 0.0, h, x, s; int i;

h = (xb - xa)/(double)N; for(i=0;i<=N;i++){ x = xa + h*(double)i; y[i] = func_y(x); } for(i=1;i<N;i++) z += 2.0*y[i]; s = (h/2.0)*(y[0]+z+y[N]); printf("ANS = %8.4lf\n",s); return 0; } double func_y(double x){ return pow(x, 4.0) + 2.0*x; } I =0.5×h(y0+2y1 + 2y2 + .. + yn) y = x4 + 2x

数値積分での誤差縮小 分割数を多くする．曲線で近似　→　シンプソン

厳密解の推定

台形公式（第４章１）

台形公式（第４章１） 1 64 1 32 1 16 1 8 1 4

曲線による近似 • シンプソン公式　２区間毎を二次関数で近似し、積分する。 y ２次関数２次関数 y4 y1 y3 y2 y0 x x0 x1 x2 x3 x4

1 3 I = h(y0 + 4y1 + y2) ２次関数の積分 y h h y2 y1 y0 x x0 x1 x2

数値解 4 8 3 x3 3 1 3 8 3 1 3 I = h(y0 + 4y1 + y2) = 1×(0 + 4×1 + 4)= y = x2 y 1 解析解 I = x2dx =[ ] = 2 0 0 1 2 x 2 0 ２次関数の積分

1 3 シンプソン公式 I = h{(y0 + 4y1 + y2)+ (y2 + 4y3 + y4) + ……} y y4 y1 y3 y2 y0 x x0 x1 x2 x3 x4

1 3 奇数番目シンプソン公式奇数番目を４倍 I = h{y0 + 4(y1 + y3 + .. ) 2(y2 + y4 + .. ) + yn} 偶数番目を２倍 y 偶数番目 y4 y1 y3 y2 y0 x x0 x1 x2 x3 x4

3 0 Ｅｘｃｅｌで確認 I = x4+2x dx= 57.6 区間の幅数値の合計

3 0 Ｅｘｃｅｌで確認初め I = x4+2x dx= 57.6 偶数番目奇数番目数値の合計最後

3 0 シンプソン計算例 y 32 I = x4+2x dx= 57.6 24 16 8 x 3 0 1 2

nclude <stdio.h> #include <math.h> #define N 30 double func_y( double ); int main( ){ double y[N+1]; double xa = 0.0, xb = 3.0; double z1 = 0.0, z2 = 0.0, h, x, s; int i; h = (xb - xa)/(double)N;

for(i=0;i<=N;i++){ x = xa + h*(double)i; y[i] = func_y(x); } for(i=1;i<=N-1;i+=2) z1 += 4.0*y[i]; for(i=2;i<=N-2;i+=2) z2 += 2.0*y[i]; s = (h/3.0)*(y[0]+z1+z2+y[N]); printf("ANS = %8.4lf\n",s); return 0; } double func_y(double x) { return pow(x, 4.0) + 2.0*x; } 奇数番目を４倍偶数番目を２倍最初と最後は１倍

一次（台形）と二次（シンプソン）の精度

一次（台形）と二次（シンプソン）の精度 1 64 1 32 1 16 1 8 1 4

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