نگاهي به مقاله دوم مفتاح الحساب

1. باب ششم مفتاح الحساب مربوط به امتحان صحت اعمال به وسيله عدد 9 مي باشد كاشاني مانند ساير رياضيدانان پيش از خودمجموع ارقام هر عدد را مي گيرد و آن را 9 به 9 طرح مي كند وبقيه را ميزان آن عدد مي نامد يعني در واقع ميزان هر عدد عبارت است از باقيمانده تقسيم هر عدد بر9 مثلا كاشاني ميزان عدد 64578 را مساوي با عدد 3 بدست مي آورد سپس طريقه امتحان صحت اعمال ضرب وتقسيم و استخراج جذروكعب و سايرريشه ها را مطابق با روش كنوني شرح مي دهد . موضوع جالب توجه در اين با ب اين است كه كاشاني در ابتداي آن مي نويسد :"اگرحساب درست باشد ميزان درست در مي آيد وعكس اين مطلب صحيح نيست" در حالي كه برخي از رياضيدانان اسلامي قبل از كاشاني به عدم صحت عكس اين مطلب اشاره نكرده اند اما رياضيدان ديگري از مردم مصر يا سوريه موسوم به تقي الدين بن عزالدين حنبلي در كتاب حاوي اللباب من علم الحساب به اين مطلب اشاره كرده است

2. نگاهي به مقاله دوم مفتاح الحساب مقاله دوم مفتاح الحساب مربوط به حساب كسرهاست ومشتمل بر دوازده باب است درآغاز باب اول اين مقاله كاشاني كسر را چنين تعريف مي كند "كسركميتي است كه نسبت داده شود به مقدار ديگر كه به عنوان واحد فرض شده است ومخرج ناميده مي شود" در واقع كاشاني كلمه كسر را در اينجا هم به صورت كسر و هم بجاي خود كسر به كار برده است وبعضي جاهاي ديگر صورت كسر را عددالكسر مي نامد سپس كاشاني كسر ها را به صورت زير تقسيم بندي مي كند(درمثال هاي زير a,b,c,d,…اعداد صحيح مثبت فرض شده اند)

3. الف . كسر مفرد : a/b b>1 كسر مفرد بر دو نوع است : 1. مجرد: a=1 مثل ½ (نصف) 2. مكرر: a>1 مثل ¾

4. كاشاني در اينجا خاطر نشان مي كند كه نسبت بين كسر(صورت) و مخرج آن در اعداد نامتناهي يافت مي شود (منظورش اين است كه مثلا كسرهاي 1/2 ,2/4 ,3/6 و... معادل هستند و ميگويد بهتر است كه كوچكترين اعداد صحيح ممكن را صورت و مخرج كسر اختيار كنيم و استعمال كسر را به شكلهاي ديگر قبيح قلمداد ميكند مثلا از بين كسرهاي 1/2 ,2/4 ,3/6 و...فقط 1/2را به كار مي برد و غيره را زشت مي داند

5. ب.كسر مركب معطوف مستثني مضاف منكسر يا تركيبي از اين چهار نوع يا بعضي از انواع آن

6. 1) كسر معطوف آن است كه از عطف دو يا چند كسر حاصل شود مثال: 1/2 و1/3 يعني 1/2+ 1/3 2) كسر مستثني آن است كه كسري يا كسرهايي ازكسر ديگري كم شود مثال: 1/5-2/3 3) كسر مضاف به قول كاشاني آن است كه مخرج جزء اول را واحد يا بيشتر انگاشته آن را به مخرج ديگري نسبت دهيم (يعني كسري از كسر ديگر كه آن را بمنزله واحد مي گيريم) مثال:نصف يك ششم يعني 1/6×1/2 و ممكن است اضافه چند بار تكرار شود

7. 1 3 4 1 5 2 9 10 مثلا نصف سه پنجم از چهارنهم از يك دهم يعني: × × × كاشاني پس از ذكر مثال اخير اضافه مي كند كه بهتر است در كسر مضاف و معطوف كسرهاي بزرگتر مقدم باشند 4)كسر منكسر آن است كه يكي از دو منسوب(صورت ومخرج)يا هردوي آنها صحيح نباشند مثل: 1 1 1 2 2 1 3 2

8. كاشاني در پايان اين باب عبارتي دارد كه از نظر تاريخ رياضيات مهم است ودليل بر آن است كه مخترع كسر هاي اعشاري است وآن عبارت اين است :«ومنجمان كسرهاي معطوفي به كار مي برند كه مخرج هاي متوالي انها شصت وقواي متوالي شصت است تا هرجا بخواهند وانها را به ترتيب دقيقه ها و ثانيه ها وثالثه ورابعه ها وغيره مي نامند وما به قياس حساب منجمان كسرهايي آورديم كه مخرجهاي متوالي آنها ده وقواي متوالي ده مي باشد تا هرجا بخواهيم وآـنها را بترتيب "اعشار " و " دومين اعشار " و " سومين اعشار " و " چهارمين اعشار " ناميديم»

9. درباب مقاله دوم كاشاني چگونگي كسرها را نشان مي دهد و براي علامت جمع حرف و براي علامت تفريق حرف الا براي علامت ضرب حرف ل وبراي علامت تقسيم حرف من را بكار مي برد

10. 1 3 3 1 2 2 1 0 1 2 2 1 1 • 0 0 • و 1 • 2 3 3 2 1 1 3 0 1 4 ل 1 6 ل 3 5 4 5 6

11. 1 2 1 2 من 4 2 5 2 2 2 4 5 1 1 1 1 3 1 2 6 10 2 2

12. باب سوم مقاله دوم درباره تداخل و اشتراك و توافق وتماثل اعداد صحيح است و كاشاني شمارنده مشترك دو عدد متوافق(متشارك) را مشترك فيه يا وفق مي نامد وخارج قسمت هر يك از دو عدد متوافق را بروفق آنها جزءالوفق يا اشتراك آن عدد مي نامد. مثلا دو عدد 10و15 متشارك هستند و وفق آنها 5است وجزءالوفق 10 عدد 2وجزءالوفق عدد15 ,3 است براي تعيين بزرگترين شمارنده مشترك دو عدد كاشاني همان الگوريتم مشهور اقليدس را شرح مي دهد

13. 1 1 2 2 2 1 95 4 2 3 در آخر باب ششم كاشاني مي گويد كه اگر كسري مركب از چند كسر مركب بود ابتدا هر يك از كسرهاي مركب را به كسر مفرد تبديل مي كنيم وسپس حاصل را مفرد مي سازيم مثلا: × 4 4 8 2784 5 5

14. مطلوب:

15. n-1 n n b . a a b b باب دهم مربوط به استخراج ريشه n ام از كسرهاست كه به دستور زير بر مي خوريم: كاشاني مي گويد: « هرگاه صورت و مخرج(نسبت به ريشه مطلوب ) منطق نباشند صورت ومخرج كسر را در مورد جذر يك بار در مخرج ضرب مي كنيم ودر مورد كعب دوبار ودر مورد ريشه چهارم سه بار وبه همين نحو براي ساير ريشه ها عمل مي كنيم وريشه حاصل اخير را به تقريب مي گيريم واين ريشه را بر مخرج تقسيم مي كنيم»

16. مثال 1 6 6 4 4 3 4 مثال 2 4 4 130 30√ = 5×6 √= 5/6√ 89 ≈ 64 √ = 4×1√= 1/4√ كاشانيسپس مي گويد كه اگر كسر عدد صحيح همراه داشته باشد ابتدا ريشه قسمت صحيح را استخراج كرده باقيمانده اين ريشه را با قسمت كسري جمع مي كنيم وآن را به مخرج اصطلاحي نسبت مي دهيم و حاصل را ساده مي كنيم +2 +4 = 1 3 6 1 1 مثال 3 7 3 5 6 6

17. 6 6 9 6 n n و مي گويد اگر كسري را تجنيس كنيم جذر دقيق تر به دست مي آيد 27= 258√=43√= 71√ وباز مطابق با دستور كلي T+r=T+ r√ كعب زير را حساب مي كند 37≈ 31 +27√= 301 √ n n (T+1) -T 3 3 2 2 74

18. 7 7 9 7 باب يازدهم درباره تبديل مخرج كسر به عدد دلخواهي است . براي اين كار كاشاني ابتدا تناسب را شرح مي دهد وبعد به عنوان مثال مي گويد مي خواهيم مخرج كسر 5/7 را به 9 تبديل كنيم وتناسب x=5را حل مي كند و جواب 63 x=را بدست مي آورد وكسر 5 را به شكل 63 مي نويسد سپس كسرهاي دانگ (دانق) و تسو(طسوج) وشعير را كه در زمان وي بين مردم در باب معاملات متداول بوده است شرح مي دهد 7 9

19. 6 1 دينار = دانگ 1 دينار = 1 دانگ = تسو 1 دينار= 1 دانگ =1 تسو= شعير 4 24 4 16 96

20. نگاهي به مقاله سوم مفتاح الحساب • مقاله سوم مفتاح الحساب درباره حساب منجمان يعني حساب در دستگاه شمار شصتگاني(ستيني) است • حساب جمل:در اين حساب اعداد بوسيله حروف :ابجد هوز حطي كلمن سعفض قرشت ثخذ ضظغ كه بيست وهشت حرف هستند نشان مي دهند به اين ترتيب كه نه حرف از الف تا طا را براي يكان واز يا تا صاد را براي دهگان واز قاف تا ظا را براي صدگان و غين را به جاي هزار مي گيرند

21. و اعداد ديگر را بوسيله تركيب اين حروف مي نويسند ودر موقع نوشتن اعداد مركب عدد بزرگتررا بر كوچكتر به ترتيبي كه در فارسي تلفظ مي كنيم مقدم مي دارد يا 11 كد 24 غقلد 1134

22. اگرچه در دستگاه شمار شصتگاني از همين حروف جمل استفاده مي شود اما نوشتن اعداد در حساب جمل ودر دستگاه شمار شصتگاني تفاوت دارد ارقام شمار شصتگاني:درشمار شصتگاني براي نوشتن همه اعداد به صفر و پنجاه ونه رقم احتياج است و آنها را با تركيب حروف جمل مي نويسند به صورت:

24. چگونگي نوشتن اعداد در دستگاه شصتگاني • پايه دستگاه شمار دهگاني ده است يعني واحد هر مرتبه (از راست به چپ) ده برابر واحد مرتبه قبل از آن ويكدهم واحد مرتبه بعد از آن است مثلا عدد 14379.56 را مي توان به اين صورت نوشت: • 6 + 5 + 9+(10)×7+(10)× 3+(10)×4+(10)×1 اما پايه دستگاه شمار شصتگاني عدد 60 است يعني واحد هر مرتبه 60برابر واحد مرتبه مادون آن و 1 واحد مرتبه مافوق ان مي باشد 4 3 2 2 10 (10) 60

25. قدما مرتبه شمار شصتگاني را مرتبه درجات مي ناميدند و در جهت نزول هر درجه را به 60 دقيقه وهر دقيقه را به 60 ثانيه و هر ثانيه را به 60 ثالثه و000 تقسيم مي كردند به قسمي كه بعد از مرتبه درجات در جهت نزول مرتبه دقيقه ها و بعد ثانيه ها وبعد از آن به ترتيب مرتبه هاي ثالثه ها, رابعه ها , خامسه ها و سادسه ها وغيره قرار داشت كه آنها را كسر هاي شصتگاني (كسور ستيني)مي ناميدند واين مراتب را برعكس شمار دهگاني از راست به چپ مي نوشتند و اسامي مرتبه ها را يا در بالاي ارقام قرار مي دادند ويا نام آخرين مرتبه را درسمت چپ مي نوشتند مگر وقتي كه قرينه اي براي دانستن نام مراتب در دست باشد مثلا 2درجه و24دقيقه و11ثانيه و45ثالثه را به يكي از شكل هاي زير مي نوشتند

26. 2درجه و24دقيقه و11ثانيه و45ثالثه: و يا: ب كد يا مه (ثالثه)

27. 3 2 (60) (60) (60) اين اعداد را با ارقام هندي مي توان به شكل زير نوشت : 2+ 24 + 11 + 45 (از راست به چپ) همچنين در جهت صعود هر 60 درجه را يك واحد از مرتبه بالاتر محسوب مي داشتند و آن را واحد مرتبه يك بار مرفوع يا به طور خلاصه مرفوع مي ناميدند وهر 60 واحد مرفوع را يك واحد از مرتبه بالاتر قرار مي دادند وآن را واحد مرتبه دوبار مرفوع يا مثاني ومرتبه بعد از آن را سه بار مرفوع يا مثالث ومرتبه بعدي را چهار مرفوع يا مرابع وغيره مي ناميدند

28. بنابر اين از عددي به شكل زير ويا به شكل : يد ب نو مب كا لح (ثالثه) مقصود عدد زير مي باشد 38 + 21+ 42 + 56 +(60)× 2+(60)× 14 2 2 3 60 (60) (60)

29. عدد مفرد وعدد مجرد k كاشاني هرعدد راكه دستگاه شصتگاني فقط در يك مرتبه واقع باشد يعني به صورت (60)a نوشته شود (a يكي از اعداد 1تا 59 وkعددي است صحيح و مثبت يا منفي)عدد مفرد مي نامد مثلا 40درجه وهمچنين 23 رابعه اعدادي مفرد هستند عددمجرد عبارت است از هريك از قواي صحيح مثبت يا منفي شصت مثلا يك ثانيه وهمچنين يك درجه اعداد مجرد هستند

30. يونانيان اعداد را در دستگاه شمار شصتگاني خالص نمي نوشتند بلكه دستگاه عدد نويسي آنان تركيبي بود از دستگاه هاي شصتگاني و دهگاني . يعني در واقع قسمت صحيح اعداد را در دستگاه دهگاني وقسمت كسري ان را در دستگاه شصتگاني مي نوشتند چنين دستگاه عدد نويسي را لوكي دستگاه ذوحياتين ناميده است در برخي از كتاب هاي رياضي اسلامي كه از زمان هاي پيش از عصر كاشاني به دست رسيده غالب محاسبات مخصوصا در مورد ضرب و تقسيم در دستگاه شصتگاني خالص ديده نمي شوند اما كاشاني در مفتاح الحساب و ساير آثار خود همه اعمال و حتي استخراج ريشه n ام را يا در دستگاه دهگاني خالص يا در دستگاه شصتگاني خالص انجام داده است

31. نگاهي به مقاله چهارم مفتاح الحساب • موضوع اين مقاله اندازه گيري ابعاد وسطح وحجم شكل هاي هندسي است وكاشاني سطح هر يك از چند ضلعيهاي منتظم مهم وچندوجهي هاي منتظم را هم در دستگاه شمارشصتگاني و هم در دستگاه دهگاني در اين مقاله حساب كرده است • كاشاني جدول جيب را درجه به درجه (از يك درجه تا 90 درجه )وروش به كار بردن آن ونيز جدول هاي مفيد ديگري را در اين مقاله آورده است وجدول مضرب هاي عدد π را حساب كرده ونتيجه را هم در دستگاه شصتگاني و هم در دستگاه دهگاني به اختصار ثبت كرده است

32. اصطلاحات وتعاريف مفيد مركز مثلث: نقطه اي از سطح مثلث كه از هر سه ضلع به يك فاصله باشد (مركز دايره محاطي مثلث) معين:چهار ضلعي كه اضلاع آن با هم مساوي و زواياي آن مختلف (لوزي) شبيه المعين: چهار ضلعي كه اضلاع روبه روي آن دوبدو متساوي ومتوازي ولي با دو ضلع ديگر مساوي نباشند(متوازي الاضلاع)

33. ذوزنقه واحده:ذوزنقه قائم الزاويه ذواليمينين:چهارضلعي محدبي است كه دو ضلع مجاور آن با هم مساوي ودو ضلع ديگر نيز با هم مساوي اما با دو ضلع اول مختلف باشند كه فقط زواياي روبه رو با هم مساوي اند وزواياي مجاور با هم مساوي نيستند كاشاني مي گويد كه اگر دو زاويه متساوي قائمه باشند بنايان آن را لوزه واگر منفرجه باشند نجارها آن را جودانه گويند واگر حاده باشند ما آن را باطيه مي ناميم ذوالرجلين:چهارضلعي است كه چون برذواليمينين افزوده شود آن را تمام مي كند وبه صورت معين در مي آورد .يعني در واقع چهارضلعي مقعري است كه دو ضلع مجاور آن با هم و دو ضلع ديگر آن نيز با هم مساوي باشند

34. منحرف:آن چهارضلعي است كه به اين صورت ها نباشد (چهارضلعي نامشخص). ذوالرجلين ذواليمينين