1 / 94

第三章 多维随机变量及其概率分布

第三章 多维随机变量及其概率分布. §3.1 多维随机变量及其联合概率分布. 第三章作业题. P158 1,3,5,7,8 10,12,14,17,18 21,26,27,30 31,34,39,40. 有些随机现象用一个随机变量来描述不够,例如. 1 、 在打靶时 , 命中点的位置是由一对 r.v ( 两个坐标 ) 来确定的. 2 、 飞机的重心在空中的位置是由三个 r.v ( 三个坐标)来确定的等等. 3 、 研究某年龄段儿童的身体发育情况,同时考虑身高、体重、肺活量、血压等指标.

Download Presentation

第三章 多维随机变量及其概率分布

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. 第三章 多维随机变量及其概率分布 §3.1 多维随机变量及其联合概率分布

  2. 第三章作业题 P158 1,3,5,7,8 10,12,14,17,18 21,26,27,30 31,34,39,40

  3. 有些随机现象用一个随机变量来描述不够,例如有些随机现象用一个随机变量来描述不够,例如 1、 在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)来确定的. 2、 飞机的重心在空中的位置是由三个r.v (三个坐标)来确定的等等. 3、研究某年龄段儿童的身体发育情况,同时考虑身高、体重、肺活量、血压等指标 4、研究某日的天气状况,同时考虑最高温度、最大湿度、最大风力等指标。

  4. 一、多维随机变量的概念 设随机试验E的样本空间是Ω.ξ =ξ()和η=η()都是定义在Ω上的随机变量,由它们构成的变量(ξ,η),称为二维随机变量. 二维随机变量(ξ,η)的性质不仅与ξ 及 η的性质有关,而且还依赖于ξ 和η的相互关系,因此必须把(ξ,η)作为一个整体加以研究.

  5. 二、二维随机变量的联合分布函数 • 定义:设(ξ ,η)是二维随机变量,对于任意实数ξ ,η,二元函数: 称为二维随机变量(ξ ,η)的联合分布函数。

  6. 一维随机变量ξ ξ 的分布函数 二维随机变量(ξ,η) ξ 和η的联合分布函数

  7. 如果把(ξ,η)看成平面上随机点的坐标. 取定x,y R1, F(x,y)就是点(ξ,η)落在平面上的以(x,y) 为顶点而位于该点左下方的无限矩形区域内的概率. 见右图.

  8. 说明 由上面的几何解释,易见: 随机点(ξ,η)落在矩形区域: x 1<ξ ≤x 2, y1<η≤y2 内的概率 P{x 1<ξ ≤x 2 ,y1<η≤y2} =F(x 2,y2)-F(x 2,y1)- F(x 1,y2)+F(x 1,y1)

  9. 二维分布函数F(x ,y)的四条基本性质 1. F(x ,y)是单变量x ,y的非减函数. 即  yR1取定,当x 1<x 2时, F(x 1, y)≤F(x 2, y). 同样,  x R1取定,当y1 < y2时, F(x , y1)≤F(x , y2). 2.  x , y R1有 0≤F(x , y)≤1

  10. yR1, F(-∞,y)=0, xR1, F(x,-∞)=0, F(-∞,-∞)=0, F(∞,∞)=1 其中:

  11. 3、F(x ,y)=F(x +0,y), F(x ,y)=F(x ,y+0) 即F(x ,y)关于x 右连续,关于y也右连续。 • 4、P{x 1<ξ ≤x 2 ,y1<η≤y2} =F(x 2,y2)-F(x 2,y1)- F(x 1,y2)+F(x 1,y1)≥0

  12. §3.2二维离散型随机变量及其联合概率分布列 一、联合分布列 如果二维随机变量(ξ,η)的每个分量都是离散型随机变量,则称(ξ,η)是二维离散型随机变量. 二维离散型随机变量(ξ,η)所有可能取的值也是有限个或可列无穷个.

  13. 二维离散型随机 变量(ξ ,η)的联 合分布列 一维随机变量ξ 离散型 ξ 的概率分布 i, j =1,2, … k=1,2, … k=1,2, …

  14. 联合分布列也可以用表格表示.

  15. 二、常见多维分布 1、多维超几何分布 设某总体共有N个元素,其中有Ni个元素具有特征Ai, 1≤i≤k,现从中随机取出n个元素,求其中有mi个具有特征Ai的概率 用ξi表示n个元素中具有特征Ai的个数

  16. 2、多项分布-二项分布的推广 设每次试验共有k种不同的可能结果 将该实验独立地重复n次,用ξ 1,ξ 2,…ξ k表示 发生的次数,则(ξ 1,ξ 2,…ξ k)服从多项分布,其联合分布列为

  17. 例:设随机变量ξ 在1,2,3,4四个数中等可能地取一个值,另一个随机变量η在1—ξ 中等可能地取一个整数值,试求(ξ,η)的联合分布列。并计算P(ξ >η)

  18. 设有10件产品,其中7件正品,3件次品. 现从中任取两次,每次取一件产品,取后不放回.令: ξ =1: 若第一次取到的产品是次品. ξ =0: 若第一次取到的产品是正品. η=1: 若第二次取到的产品是次品. η=0: 若第二次取到的产品是正品. 求: 二维随机变量(ξ ,η)的联合分布列. 例

  19. 例、设ξ ~E(λ),令 求(η1,η2)的联合分布列

  20. §3.3二维连续型随机变量及其联合概率密度函数§3.3二维连续型随机变量及其联合概率密度函数 一、二维联合概率密度函数 设二维随机变量(ξ ,η)的联合分布函数为F(x,y).如果存在一个非负函数p(x ,y),使得对任意实数x ,y,总有 则称(ξ ,η)为连续型随机变量,p(x ,y)为二维随机变量的联合概率密度.

  21. ξ ~ (ξ ,η)~

  22. 对二维连续型r.v(ξ ,η),其联合概率密度与联合分布函数的关系如下: 在 p (x ,y)的连续点

  23. 例:设二维随机变量(ξ ,η)具有概率密度: P(η <ξ); (1)求概率P(ξ <1); (2) 求概率

  24. 二、 两种常用的多维连续型概率分布 1、二维均匀分布 设D是平面上的有界区域,其面积为d,若二维随机变量(ξ ,η)的联合密度函数为: 定义 则(ξ ,η)称服从D上的均匀分布.

  25. 设(ξ,η)服从圆域 x2+y2≤4上的均匀分布. 计算P{(ξ,η)A}, 这里A是图中阴影部分的区域 例 圆域x2+y2≤4的面积d=4 区域A是x=0,y=0和x+y=1三条直线所围成的三角区域,并且包含在圆域x2+y2≤4之内,面积=0.5 ∴ P{(ξ,η)A}=0.5/4=1/8 解:

  26. 其中 均为常数,且 则称( ξ ,η)服从参数为的二维正态分布. 记作(ξ ,η)~N( ) 2、 二维正态分布 若二维随机变量(ξ,η)具有概率密度

  27. 1、n维随机变量或n为随机变量: E是一个随机试验,它的样本空间是Ω={e},设 是定义在Ω上的随机变量,由它们构成一个n维 变量,叫做n维随机变量或n为随机变量 2、随机变量的分布函数或联合分布函数:

  28. §3.4 边际分布与 随机变量的独立性

  29. 一、 边际分布 1、随机变量的边际分布函数 二维随机变量(ξ,η)作为一个整体,具有分布函数F(x,y). 其分量ξ和η也都是随机变量,也有自己的分布函数,将其分别记为Fξ (x ),Fη(y). 依次称为ξ 和η的 边际分布函数. 而把F(x,y)称为ξ 和η的联合分布函数.

  30. 注意 ξ和η的边际分布函数,本质上就是一维随机变量ξ和η的分布函数.之所以称其为边际分布是相对于(ξ,η)的联合分布而言的. 同样地,联合分布函数F(ξ,η)就是二维随机变量(ξ,η)的分布函数,之所以称其为联合分布是相对于其分量ξ 或η的分布而言的. 求法 Fξ (x )=P{ξ≤x }=P{ξ≤x ,η<∞}=F(x ,∞) Fη(y)=P{η≤y}=P{ξ <∞,η≤y}=F(∞,y)

  31. 例:设(ξ ,η)的联合分布函数为 • 求关于ξ 和η的边际分布函数 (λ>0).

  32. 2、 二维离散型随机变量的边际分布列 一般,对离散型 r.v ( ξ ,η ), ξ 和η 的联合分布列为 则(ξ ,η)关于ξ 的边际分布列为 (ξ ,η)关于η 的边际分布列为

  33. 例 1 求表中(ξ ,η)的分量ξ 和η的边际分布.

  34. 把这些数据补充到前面表上:

  35. 3、二维连续随机变量的边际密度函数 ξ 和η的联合概率密度为 则( ξ ,η )关于ξ 的边际密度函数为 ( ξ ,η )关于η的边际密度函数为

  36. 例 设随机变量ξ 和η具有联合概率密度 求边际概率密度

  37. 课堂练习 设二维随机变量 (ξ, η) 的密度函数为 求:1、边缘密度函数 2、计算概率P{ξ+η≤1}.

  38. 例、设(ξ ,η)的联合密度函数为 求(1)边际密度函数 (2)

  39. 若(ξ ,η)服从矩形区域a≤x≤b.c≤y≤d 上均匀分布,两个边际概率密度分别为: 注 上题中ξ和η都是服从均匀分布的随机变量.但对于其它(不是矩形)区域上的均匀分布,不一定有上述结论.

  40. 设(ξ,η)服从单位圆域x2+y2≤1 上的均匀分布,求:ξ 和η的边际概率密度. 例 解: 当x<-1或x>1时

  41. 当-1≤x≤1时 (注意积分限的确定方法)

  42. 由ξ和η在问题中地位的对称性,将上式中的ξ改为η,就得到η的边际概率密度:由ξ和η在问题中地位的对称性,将上式中的ξ改为η,就得到η的边际概率密度:

  43. ( ξ ,η)~N( ) ξ ~N(0,1) , η~N(0,1)

  44. (ξ 1 ,ξ2)∼N(1,2, ,)  ξ1∼ ξ2∼ (与参数无关) • 说明 对于确定的1,2,1,2 ,当不同时,对应了不同的二维正态分布。 对这个现象的解释是:边际概率密度只考虑了单个分量的情况,而未涉及ξ与η之间的关系.

  45. ξ与η之间的关系这个信息是包含在(ξ ,η)的联合概率密度函数之内的. 因此, 联合 边际 ?

  46. 定义:若对于 , 都有 即 则称ξ 与η 是相互独立的。 二、随机变量的独立性

  47. 离散型(定理1): 连续型(定理2):

  48. ξ η 例:袋中有2个白球,3个黑球,从袋中(1)有放回地;(2)无放回地 取二次球,每次取一个,令 • 试问ξ 与η是否相互独立? 解:(1)有放回地取球 容易验证,对一切 i, j=0,1, 有P{ξ =i,η=j}=P{ξ =i}P{η=j} 故 ξ 、η 相互独立。

More Related