2-5 الدائرة : نتناول في هذا البند علاقة مستقيم بدائرة وعلاقة الأقواس بالزوايا وبعض نتائجها.

1. تعريف: إذا كان المستقيم L والدائرةG واقعين في مستو واحد فيقال عن L أنه مماس للدائرة G، إذا كان يقطع G في نقطة واحدة فقط، يطلق على تلك النقطة نقطه التماس. 2-5 الدائرة :نتناول في هذا البند علاقة مستقيم بدائرة وعلاقة الأقواس بالزوايا وبعض نتائجها. نظرية 2-5-1: العمود على نصف قطر دائرة عند نقطة التقاء نصف القطر مع الدائرة يكون مماسا لتلك الدائرة. نظرية 2-5-2: المماس يكون عموديا على نصف القطر عند نقطة التماس يمكن رسم مماسين فقط لدائرة من نقطة خارجة عنها نظرية 2-5-3:

2. نظرية 2-5-4 إذا رسم مماسان لدائرة من نقطة خارجة عنها, فإن : (أ) القطعتين منهما، المحصورتين بين النقطة الخارجة ونقطتي التماس متطابقتان. (ب) القطعة الواصلة بين النقطة الخارجة ومركز الدائرة تنصف الزاوية بين المماسين. • البرهان : • لتكن B نقطة خارجة عن الدائرة Gالتي مركزهاC , وليكن مماسين منB للدائرة G. نصلCB, إذا لكن حسب نظرية (2-5-1), إذا حسب نظرية (2-2-22), ومن التطابق ينتج أن , ABC  CBD . نظرية (2-5-1): العمود على نصف قطر دائرة عند نقطة التقاء نصف القطر مع الدائرة يكون مماسا لتلك الدائرة.

3. إذا قطع مستقيم داخل دائرة ( مجموعة النقاط التي يكون بعدها عن مركز الدائرة اقل من نصف قطر الدائرة )، فإنه يقطع تلك الدائرة في نقطتين فقط. نظرية 2-5-5 والآن إلى دراسة العلاقة بين الأقواس والزاوية, والتعريف الآتي: • تعريف 2-5-2 : • لتكن G دائرة مركزها C , وAB ليس قطرا لها. • (أ) يقال عن انه قوس صغير ( Minor arc ) في الدائرة G’ إذا كان , حيث يمثل داخل الزاوية ACB. • (ب) يقال عن انه قوس كبير (Macro Arc ) في الدائرة G, إذا كان , حيث يمثل خارج الزاوية ACB .

4. ملاحظة إذا كانDنقطة على القوس AB تختلف عن كل من A,B عبر عن القوس بالشكل تعريف 2-5-3 قياس الدرجة Degree Measure لقوس من دائرة هو قياس الزاوية المركزية المقابلة لهذا القوس. وعليه إذا كان قوساً في دائرة مركزها Cفإن: (أ) إذا كان القوس صغيراً. (ب) إذا كان القوس نصف دائرة. (ج) إذا كان القوس كبيراً.

5. نظرية 2-5-6 إذا كان قوسين في دائرة مركزها C. يشتركان فقط في النقطة B, فإن وأخيراً إلى المبرهنة التي تربط العلاقة بطول قوس والزاوية المحيطية المقابلة له، وبعضها نتائجها. نظرية 2-5-7 الزاوية المركزية تساوي ضعف الزاوية المحيطية المقابلة لنفس القوس. أو بعبارة أخرى: قياس الزاوية المحيطية تساوي نصف قياس القوس المقابل لها. نتيجة 1: الزاوية المرسومة في نصف دائرة تكون قائمة.

6. نتيجة 2: • الزاويتان المتقابلتان في الشكل الرباعي الدائري( شكل رباعي كل رؤوسه الأربعة تنتمي إلى الدائرة نفسها ) متكاملتان. البرهان : نفرض أن ABCD شكل رباعي دائري، ولكي نثبت أن: نصل DE, BEفنجد أن: حسب نظرية (2-5-7). وعليه فإن ومنه ينتج أن ، وعليه فإن A, Cمتكاملتان، وبالمثل يمكن أن نثبت بأن B, D متكاملتان أيضاً.

7. الفصل الثالث: الهندسة الاقليدية المجسمة تهتم الهندسة المجسمة بدراسة الأشكال التي تقع في الفضاء ثلاثي الأبعاد، وتستنتج العلاقات بيت المستقيمات والمستويات،إضافة لقياس مساحات وحجوم الأشكال. ولاستحداث تعاريف ومفاهيم جديدة نضيف إلى مسلمات هلبرت الواردة في البند الثاني من الفصل الثاني ثلاث مسلمات خاصة بالمستوى، ثم نركز اهتمامنا على العلاقة بين مستقيم ومستو، وبين مستويين أو أكثر، فالإسقاط العمودي والزاوية بين مستقيم ومستو، والزاوية بين مستويين.

8. 3-1: المستوي ومسلماته: نورد في هذا البند أربعة مسلمات تساعدنا في تحديد طـرق تعيين مستو وتحدد علاقة التقاطع بين مستقيم ومستو،وهي: المسلمة الأولى (و3) : المستوى مجموعة من النقاط ويحوي على الأقل ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة . المسلمة الثانية: إذا كانت A,B نقطتين في المستوى E، فان المستقيم المار بهما يقع في المستوى E . المسلمة الثالثة: كل ثلاث نقاط ليست على استقامة واحـــــدة تعين مستويا واحدا. المسلمة الرابعة: إذا تقاطع مستويان، فان تقاطعهما مستقيم. المسلمة الخامسة: توجد على الأقل أربع نقاط لا تقع جميعهــا في مستو واحد. نستنتج من مسلمة (1) أن أي مستوي يـــــحوي على الأقل ثلاثة مستقيمات، وعليه فإن أي مستوى يحوي عدد لا نهائي من النقاط حسب نتيجة نظرية (2-2-8). نتيجة النظرية: كل مستقيم يحوي عدد لا نهائي من النقاط.

9. نظرية 3-1-1: أي مستقيمين متقاطعين يعينان مستوياً واحداً. البرهان: نفرض أن K,L مستقيمان متقاطعان في A.إذا توجد نقطتان B,C مختلفتان عن A بحيث أن حسب مسلمة (و3) وعلــيه فإن A,B,C ثلاث نقاط ليست علـــى استقامة واحدة، وبالتالي فإنـها تعين مستويا وحيدا حسب مسلمة (3)، ولكنK ,L يقعان في ذلك المستوى حسب مسلمة (2).إذاL,Kيعينان مستوياً وحيداً. نتيجة 2: كل مستقيمين متوازيين يعينان مستويا وحيدا. البرهان: نفرض أن K,L مستقيمان متوازيان. إذا توجد نقطة مثل A على K بينما، وعليه فإن K,L يعينان مستوياً وحيداً حسب نتيجة (1). نتيجة 1: كل مستقيم ونقطة خارجة عنه يعينان مستويا وحيدا. البرهان: ليكنL مستقيما، . إذاً من أي نقطة مثل B على Lنــصل AB فنحصل على المستقيم Kالذي يقطع L في B. وعليه K,L يعينان مستوياً وحيداً حسب نظرية (3-1-1). نظرية 3-1-2:إذا تقاطع مستقيم مع مستو لا يحتويه،فإنهما يتقاطعان في نقطة واحدة.

10. البرهان:نفرض أن المستقيم L يقطع المستوي E،ولنفرض أن . إذاً حسب مسلمة (و1) . لكن محتوى فيE حسب مسلمة (2). إذاً وهذا يناقض الفرض.إذاًL يقطعE في نقطة واحدة فقط . ليكن L مستقيما في المستويE،ولتكن . إذاً يوجد مستقيم واحد فقط في Eعموديا على Lحسب نظرية (2-2-15) . أما إذا كان فيوجد عدد لا نهائي من الأعمدة على Lعند A، لوجود عدد لا نهائي من المستويات التي تحويL وفي كل منها يوجد عمود على L عند A وعليه يمكن تعريف تعامد مستقيم ومستـوي كالآتي: إذاً إذا كانت ، وكان L عموديا على كــل مستقيم في E يمر بالنقطة A، فإن Lعمودي على E، وعندئذ نكتب . 3-2 تعامد مستقيم ومستو: النظرية(2-2-15): يمكن اقامة عمود على مستقيم معلوم من نقطة مفروضة.. تعريف 3-2-1:يقال عن مستقيم أنه عمودي على مستو، إذا كان عمودياً على جـميع المستقيمات المرسومة من أثره في ذلك المستوي.

11. البرهان:نفرض أن عندA،والمستقيمKعمودي علىLعندA.لكي نثبت أن . لــيكن D المستوي المعين بالمستقيمين K,L. إذاDيـقطعE في المستقيم Mالمار بنقطةAحسب مسلمة(4)، وعليه فإن لكن ،إذاً ، وعليه يوجد في D مستقيمين K,M عموديان على Lعنــد Aوهذا غير ممكن إلا إذا كان K=M. إذاً وعليه فإن E يحوي كل مستقيم عمودي علــى L عند A . والآن إلى دراسة بعض خواص التعامد. نظرية 3-2-1: إذا كان المستقيم Lعمودياً على المستويE عندA. فإنEيحوي كل مستقيم عمودي على LعندA. نظرية 3-2-2:إذا كان مستقيم عمودياً على مستقيمين متقاطعين عند نقطة تقاطعهما فإنه عمودي على المستوي الذي يعينانه.

12. نظرية 3-2-3:إذا كانت A نقطة واقعة على المستقيم L. فيوجد مستوياً واحداً فقط يحوي A ويكون عموديا على L. نتيجة:كل الأعمدة على مستقيم عند نقطة عليه تقع في مستو واحد عمودي على ذلك المستقيم. نظرية 3-2-4: إذا كانت A نقطة واقعة في المستوي E،فيوجد مستقيماً واحداً فقطA ويكون عمودياً على E. نتيجة 1:المستوى العمودي على أحد مستقيمين متوازيين يكون عمودياً على الآخر. البرهان:نفرض أن K,Lمستقيمان متوازيان، وأن عند A، والمستقيم L يقطع المستويE في B،إذاً إما L عمودي على E أو أن L ليس عمودياً علىE. فإذا كان Lليس عمودياً علىE، فليكن مستقيماً عموديــاً علىEعندB،إذاً . لكنوعليه يوجد مستقيمان موازيان للمستقيم Kمن نقطةوهذا يناقض مسلمة هلبرت للتوازي، إذاً ،وعليه فإن . نظرية 3-2-5: المستقيمان العمودان على مستو واحد متوازيان .

13. نتيجة 2: المستقيمان الموازيان لمستقيم ثالث يكونان متوازيان. البرهان: نفرض أن مستقيمان موازيان للمستقيم ، ولنفـرض أن E مستوي عمودي على . إذاً حسب نتيجة (1). وعليه فإن حسب نظرية (3-2-5) . 3-3 التــــوازي تـــعــريــف 1-3-3 : أ) يقال عن مستقيم ومستوي E أنهما متوازيان إذا كان L ∩ E =Φ ب) يقال عن مستويينE2 ،1E أنهما متوازيان إذا كانΦ=E2E1∩ نـظـريـــة 1-3-3 : إذا كان L1 مستقيماً واقعاً خارج المستوي E وكان L2 مستقيما ً واقعاً في المستوي E وكان L1 // L2 فإن L1// E . نفرض أن L1 لا يوازي E . إذاً توجد نقطة A  L1∩ E وعليه إذا كان D هو المستوي المعين بالمستقيمين L1 L2 , فإن A  D ∩ E , لكن E  D = L2 حسب مسلمه (4) . إذاً A  L2 وهذا غير ممكن لأن L1 L2 = Φ . إذاً L1 // E البــرهـــان :

14. نـظـريـــة2-3-3 : إذا قطع مستوي أحد مستقيمين متوازيين في نقطة واحدة , فإنه يقطع الآخر في نقطة واحدة أيضاً . ليكن E المستوي المعين بالمستقيمين المتوازيين L1 , L2 ولنفرض أن المستوي D يقطع المستقيم L1 عند النقطة A. البــرهـــان : D L1 A L2 ولكي نثبت أن L2 يقطع E في نقطة واحدة يجب أن نثبت أن : أ) L2 لا يقع في المستوي D . ب) L2 لا يوازي D . ولإثبات (أ) نفرض أن L2 يقع في المستوي D , إذاً Dيشترك مع E بالمستقيم L2 والنقطة A , وعليه فإن D=E , وهذا يناقض كون L1 يشترك مع D في نقطة واحدة فقط . إذاً L2 لا يقع في D . ولإثبات (ب) نفرض أن L2 // D . إذاً L2 لا يقطع L لأن L  D وعليه يوجد في D مستقيمين مختلفين L , L1 يمران بالنقطة A وكل منهما يوازي L2 وهذا يناقض مسلمة هلبرت للتوازي . إذاً L2 لا يوازي D . L E

15. نـظـريـــة3-3-3 : إذا قطع مستقيم أحد مستويين متوازيين , فإنه يقطع الآخر . إذا قطع مستوي مستويين متوازيين , فإنه يقطعهما في مستقيمين متوازيين . * نفرض أن المستوي E يقطع المستويين D , B بالمستقيمين L2 , L1 . ولكي نثبت أن L2//L1 , لاحظ أن L2 , L1 يقعان في مستوٍ واحد ، وإذا كانت A  L1∩ L2 فإن A  B  D وهذا يناقض كون B // D .إذاً L1∩ L2 = Φ , وعليه فإن L1 // L2 . ************************************* البــرهـــان : نـــتيـــجة : العمود على أحد مستويين متوازيين يكون عمودياً على الآخر . نـظـريـــة 4-3-3 :

16. نظرية 3-3-5 المستويان العموديان على مستقيم واحد متوازيان البرهان : نفرض Lعامودي على المستوىE1عند النقطة Aوعمودي علىE2 عند النقطة .B ولنفرض أن إذاَ ABC مثلث فيه زاويتين قائمتين هما A ، B وهذا مستحيل. إذاً وعليه فإن E1 E2 . نتيجة: المستويان الموازيان لمستوٍ ثالث متوازيان . البرهان: نفرض أن E1 E3،E2 E3 ، ولنفرض أن المستقيم L عمودي على E3 .إذاً E1L ، L E2حسب نظرية (3-3-4) ، وعليه فإن E1 E2 حسب نظرية (3-3-5). تعريف 3-3-2 البعد أو المسافة بين نقطة Aومستوى E هو طول القطعة العمودية من Aإلى E.

17. نظرية 3-3-6: 3-4 الزاوية الزوجية والمساقط: البعد بين مستويين متوازيين ثابت لا يتغير. البرهان : ليكن E2 ، E1مستويين متوازيين ، ولتكن B، A أي نقطتين في E1،وليكن AC ، BD عامودين من A ،Bعلى E2. ولكي نثبت أن لاحظ أن حسب نظرية (3-2-5), كما أنA,B,C,D تقع في مستوٍ واحد لأنها واقعة على مستقيمين متوازيين وأن حسب نظرية (3-3-3) إذاً ABCD متوازي أضلاع وعليه فإن . لقد عرفنا في الفصل الثاني الزاوية بين مستقيمين , وسنعرف في هذا البند الزاوية بين مستويين , والزاوية بين مستقيم ومستوٍ, وندرس خواصهما وكيفية قياس كلاً منهما , ونعرف مسقط مجموعة من النقاط على مستوٍ , ونثبت بأن مسقط مستقيم غير عامودي على مستوٍ يكون مستقيماً أيضاً.

18. تعريف 3-4-1: ولتعريف الزاوية بين مستويين , لاحظ أنه : إذا كان L مستقيماً واقعاً في المستوى E , فإنه يجزئه إلى نصفين منفصلين يطلق على كلاً منهما نصف مستوى حسب نظرية (2-2-4) ، وإذا تقاطع مستويان مختلفانD،E نتج عن ذلك أربعة أشكال . انظر شكل (3-8أ) كل منهما مكون من نصف مستويين يلتقيان في مستقيم مشترك ويشبه شكل (3-8ب)، ومثل هذا الشكل يسمى زاوية زوجية وعليه نورد التعريف الآتي : شكل ( 3-8أ) الزاوية الزوجية بين مستويين متقاطعين هي الزاوية الناتجة من اتحاد نصفي مستويين وحدهما المشترك. يسمى كل من نصفي المستوي وجه الزاوية الزوجية ، ويسمى الحد المشترك بينهما حرفها. شكل (3-8ب) E B E B D C C

19. x y z جميع الزوايا المستوية لزاوية زوجية تكون متطابقة. نظرية 3-4-1: وإذا كان BCحرف الزاوية الزوجية وكانت A,B نقطتين في وجهين مختلفين, عُبر عن الزاوية الزوجية بالشكل A-BC-D أو -DBCA- . وإذا كان Hمستوياً عمودياً على BC, فتسمى الزاوية الناتجة من تقاطع H مع وجهي الزاوية الزوجية A-BC-Dبالزاوية المستوية للزاوية الزوجية . xyzزاوية مستوية لزاوية الزوجية A-BC-D. E تعريف 3-4-2: (أ)قياس الزاوية الزوجية هو قياس أي من زواياها المستوية. وتسمى الزاوية الزوجية حادة , أو منفرجة بحسب زاويتها المستوية. (ب)يقال عن مستويين أنهما متعامدان , إذا كانت الزاوية الزوجية بينهما قائمة. F G B Q A P X R Z D C

20. ~تعريف المساقط العمودية ودراسة بعض خواصها~ تعريف 3-4-3: (أ)إذا كانت Aنقطه خارج المستوى E,فإن مسقطها على Eهو موقع العمود النازل من AعلىE وإذا كانت ,فإن مسقطها على E هو A. (ب)المسقط العمودي لمجموعة من النقاط في الفضاء على مستوٍ ,هو مجموعة جميع مساقط تلك النقاط على ذلك المستوى.إذاً مسقط مستقيم على مستوٍ هو مجموعة جميع النقاط في المستوى التي هي مساقط نقاط ذلك المستقيم على المستوى.لاحظ أنه إذا كان المستقيم عمودياً على المستوى, فمن الواضح أن مسقطه على ذلك المستوى هو نقطة واحدة. أما إذا كان المستقيم غير عمودي على المستوى, فإن مسقطه يكون مستقيماً, وهذا ما تثبته النظرية الآتية: نظرية 3-4-2: مسقط مستقيم غير عمودي على مستوٍ يكون مستقيماً.

21. تعريف 3-4-4: الزاوية بين مستقيم غير عمودي على مستوٍ والمستوى هي الزاوية ين ذلك المستقيم ومسقطه على ذلك المستوى. نظرية 3-4-3: الزاوية بين مستقيم ومستوى هي أصغر زاوية يكونها Lمع أي مستقيم محتوى في ذلك المستوى. لتكن , ,والنقطة Dهي مسقط Bعلى E. إذاً ولكي نثبت أن ∡BAD< ∡BAC,ننزل من Bعموداً على عند Cوحيث إن ,إذاً ,وعليه فإن لكن Sin(∡BAD)=, Sin(∡BAC)= إذاً Sin(∡BAD) < Sin(∡BAC). لكن هاتين الزاويتين حادتان . إذاً∡BAD < ∡BAC . البرهان: نفرض أن Lمستقيم يلاقي المستوى Eفي A,وأن هو مسقط LعلىE , و نفرض أن مستقيم في المستوى Eيمر بالنقطةA.

22. إذا كان 1£ مسقط المستقيم £ على المستوى E فإن أي مستقيم في Eعمودي على أحد المستقيمين£ ,1£ يكون عمودي على الآخر نظرية 3- 4 – 4 مثال ABCمثلث فيه m(∡A) = 30° ، = 8cm | |AB رسم BD عمودياً على المستوي ABC وكان |BD| = 4cm ورسم BE عمودياً على AC عند E... أحسبي ∡D – A C - B بما أن BE هو مسقط DE على المستوي ABC ، BE ┴ AC إذاً DE ┴ AC حسب نظرية (3 – 4 – 4) وعليه فإن ∡DEB زاوية مستوية للزاوية الزوجية D – AC – B لكن |BE| = |AB| sin(30°) = 4cm ، tan ∡DEB= |DB|/|BE| = 4/4 = 1 إذاً m(∡DEB) = 45° وعليه فإن m(∡D – AC – B) = 45° D الحل E A B C

23. الهندسة الزائدية لم تنجح جميع المحاولات التي تمت لإثبات المسلمة الخامسة وقد ذكر الألماني كلونج في رسالتة لنيل الدكتوراه من جامعة كوننجن عام 1763م ثمان وعشرين محاولة لإثبات المسلمة الخامسة ورأى أنه لا يمكن إثبات تلك المسلمة من المسلمات الأربعة الأخرى والمبرهنات المشتقة منها لكنة لم يبين بأن وجود هندسة جديدة تناقض المسلمة الحامسة ممكن منطقياً ولم يتم ذلك إلا بعد نصف قرن وقد كان الألماني جاوس أكثر تصوراً لطبيعة الهندسة بعد إقليدس وهو أول من توصل عام 1813م إلى بناء هندسة جديدة متسقة تناقض المسلمة الخامسة أطلق عايها هندسة لا إقليدية تعتمد على كل مسلمات الهندسى الإقليدية ونقيض مسلمة التوازي التي تنص على انة يمكن رسم أكثر من مواز واحد لمستقيم معلوم من نقطة حاجة عنه وفي عام 1818 – 1856م استلم جاوس من الألماني شوايكارت رسالة تؤكد اكتشافة لنفس النوع من الهندسة لكن كل من جاوس وشويكارت لم ينشر نتائجة وفي عام 1829م قدم الروسي نيكولاي لوباتشفسكي عملاً متكاملا ً عن الهندسة الجديدة وفي عام 1832م نشر المجري جون بوليا كملحق لكتاب والده ولفجانج بوليا الذي بعث بنسخة منه إلى صديقة جاوس فرد علي قائلاً ** إن الأسلوب الذي استخدمة ابنك والنتائج التي توصل إليها تنطبق تماماً مع النتائج التي توصلت إليها أما بالنسبة لأعمالي فقد قررت ألا نتشر أثناء حياتي لأن أكثر الناس ليس لديهم العمق لفهم تلك النتائج وإنني سعيد جداً بأن ابن صديق لي قد حصل على تلك النتائج العظيمة**... لم تنشر أعمال بوليا ولوباتشفسكي إلا بعد وفاة جاوس عام 1855م ونشر أعماله في هذا المجال وخاصة رسائله إلى كل من شويكارت والفلكي الألماني اولبرس عام 1817م والألماني تورينوس عام 1824م والألماني بسل عام 1829م ورده على رسالة ولفجانج بوليا عام 1832م والتي أدت إلى إهتمام علماء الرياضيات بدراسة هذا النوع من الهندسة مثل الإيطالي بليرامي إلى أثبت عام 1868م اتساق تلك الهندسة والألماني كلاتين الذي أطلق عام 1871م اسم الهندسة الزائدية على هذا النوع من الهندسة اللا اقليدية والفرنسي بونكارية والألماني ريمان اللذين طوروها وطبقوها على فروع الرياضيات المخلفة وخاصة نظريات الدوال المركبة...

24. مسلمة التوازي الزائدية وبعض مكافآتها بما الهندسة الزائدية هي إحدى الهندسات اللا اقليدية التي تعتمد على كل مسلمات الهندسة الأقليديه ما عدا مسلمة التوازي التي تستبدل بالمسلمة التالية... مسلمة التوازي الزائدية... يوجد مستقيم £ ونقطة £ ∉A بحيث يمكن رسم مستقيمين مختلفين على الأقل من A يوازيان £... إذاً جميع النظريات التي لا تعتمد على مسلمة التوازي الأقليديه تكون صحيحة في الهندسة الزائدية وعلية فإن البرهنة الآتية تكون صحيحة أيضاً... إذا كان ABCD شكلاً رباعياً فيه m (∡B) = m(∡C)=90°فإن ∡D < ∡A ⇔ AB < DC نظرية 4 – 1 - 1

25. العبارات الآتية متكافئة : ( أ )مسلمة التوازي الزائدية . •( ج ) لا يوجـد مستطيل . ( ب ) يوجد مثلث مجموع قياسات زواياه أقل من 180ْ . ( د ) مجموع قياسات زوايا أي مثلث قائم الزاوية أقل من 180ْ . ( هـ ) مجموع قياسات زوايا أي مثلث أقل من 180ْ . نظريـة 4 - 1- 2 : • ( و ) مجموع قياسات زوايا أي شكل رباعي محدب أقل من 360ْ . • ( ز ) الزاوية الرابعة في رباعي ابن الهيثم – لامبرت حادة ، كما أن الضلع المقابل لها أقصر من الضلع المقابل للزاوية الأخرى . • ( ح ) زوايا القمة في رباعي الخيام – سكاري حادة ، والخط الواصل بين منتصفي القمة والقاعدة أقصر من الجانبين .

26. (ب) (ج) نفرض وجود مستطيل إذاً يوجد مثلث قائم الزاوية مجموع قياسات زواياه يساوي 180 و عليه فإن مجموع قياسات زوايا أي مثلث يساوي 180 حسب النظرية (2-2-37 ) و هذا يناقض (ب) (ج ) (د) نفرض وجود مثلث قائم الزاوية مجموع قياسات زواياه يساوي 180 إذاً يوجد مستطيل حسب النظرية (2-2-37 ) و هذا يناقض (ج) البرهـان A (د) (هـ) ليكن ABC مثلثا , ننزل من A العمودAD على BC فيلاقيه في Dإذاً 90ْ > (∡B)m+ (∡1)m , 90ْ > (∡C)m + (∡2) حسب (د) وعليه فإن 180ْ>(∡C)m+(∡2)+(∡B)m+(∡1) , وبالتالي فإن : 180ْ >(∡C) +(∡B)+(∡A) m 1 2 C B D

27. هـ) (و) ليكن رباعياً محدباً,نصل Ac فنحصل على المثلثين ABC, ACDوعليه فإن :180>(∡B)m+(∡1)m+(∡2)m <180 (∡D)m+(∡4)m+ (∡3)m A 3 1 B 2 D 4 C 360>(∡D)m+(∡4)m+(∡2)m+(∡B)m+(∡3)m+ (∡1)m وعليه فإن : ْ360 > (∡D)m+(∡C)m+(∡B)m+(∡A)m (و) (ز) ليكنABCD رباعي ابن الهيثم –لامبرت D A إذاً 360> (∡D)m+(∡C)m+(∡B)m+(∡A)mحسب(و), لكن 90=(∡C)m=(∡B)m=(∡A)mإذاً 90> (∡D)m, وعليه فإن∡Dحادة وبالتالي فإنAD>BC وCD > ABحسب النظرية (4-1-1) C B والآن إلى بعض نتائِج مُسلّمة التوازي ومكافآتها...... نظرية 4-1-3:/ لكل مستقيم L ولكل نقطة L∉A، يوجد على الأقل مستقيمين مختلفين يمران بالنقطة A كُل منهُما يوازي .L

28. نظرية4-1-4: كل مستقيم يقع بأكمله داخل زاوية ما . البرهان : ليكن L مستقيماً B L . إذاً يوجد مستقيمان K , m يمران بالنقطة B ويوازيان L حسب نظرية (4-1-3). وعليه فإن K, m يجزءان المستوى إلى أربعة مناطق كل واحدة منها هي داخل زاوية . فإذا كانت ,L فإن وعليه فإن D تقع داخل الزاوية . إذاً L يقع داخل . .

29. نظرية 4-1-5:إذا تشابه مثلثان فإنهما متطابقان. البرهان : نفرض أن المثلثين متشابهان، لكنهما غير متطابقين , إذاً اثنان على الأقل من أضلاع تختلف عن اثنين من اضلاع , ولنفرض . إذاً توجد نقطتان بحيث أن ، وعليه فان المثلثين متطابقان حسب (ت6) ، ومن التطابق ينتج أن . لكن المثلثين متشابهان بالفرض، إذاً ، وعليه فإن , و بالتالي فإن ، وعليه فإن رباعي محدب، كما أن ( وعليه فان مجموع قياسات زوايا يساوي360 وهذا يناقض نظرية (4-1-2)

30. نظرية4-1-6: الزاوية المحيطية أقل من نصف الزاوية المركزية المقابلة لنفس القوس . البرهان : أ. إذا كانت A تحوي قطر الدائرة AEفان : لكن لأن متساوي الساقين , إذاً , وعليه فإن . إذا كانت النقطتين B , D واقعتين في جهتين مختلفتين من القطر AE المار بالنقطة A , فإن كلاً من المثلثين ABC,ACD متساوي الساقين ,وعليه فإن ∡3 ≅ ∡4 , ∡1≅∡2 لكن إذاً وعليه فإن وبالتالي فإن

31. ج . إذا كانت النقطتين B,D واقعتين في جهة واحدة من القطر AE فإن2∡BAE < ∡BCE , 2∡DAE < ∡DCE حسب (أ) . لكن∡BCE = ∡BCD + ∡DCE , ∡BAE = ∡BAD + ∡DAE إذاً 2∡BAD + 2∡DAE < ∡BCD + ∡DCE . لكن 2∡DAE < ∡DCEإذاً 2∡BAD < ∡BCDوعليه فإن ∡BAD < (1/2) ∡BCD نتيجة : الزاوية المرسومة في نصف دائرة حادة , وليس لها قيمة ثابتة . نظرية 4-1-7 تحوي مجموعة من النقاط التي تبعد بأبعاد متساوية عن مستقيمين مختلفين ومتوازيين نقطتين على الأكثر ملاحظة: إن نظرية (4-1-7) تنص على وجود نقطتين على المستقيمLيتساوى بعدهما عن المستقيم m الموازي للمستقيم Lوهذا يعني إمكانية وجود أزواج من النقاط (A,B),(C,D),… على المستقيم L بحيث أن كل زوج يبعد بأبعاد متساوية عن m وعليه إذا كانتA' ,B' , C' , D' على m فإن AA' = BB‘ , CC' = DD'لكنAA' ≠ CC'

32. 4-2 الانحراف المثلثي والمساحة تعريف 4-2-1 : الانحراف المثلثي (Triangle defect) هو مقدار نقص مجموع قياسات زوايا المثلث عن 180° يرمز عادةً للانحراف المثلثي بالرمز d . إذاً d = 180°- S , حيث S مجموع قياسات زوايا المثلث مثال 4-2-1 : إذا كان مجموع قياسات زوايا مثلث يساوي 179° , فإن d = 180° - 179° = 1°. إذا كان مجموع قياسات زوايا مثلث يساوي 180° , فإن d = 0°. إذا كان مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي 135°, فإن d = 45°. نظرية 4-2-1 إذا جزأ المثلث T إلى مثلثين T1 , T2 , وذلك بوصل أحد رؤوسه مع الضلع المقابل له فإن d(T) = d(T1) + d(T2) .

33. البرهان : ليكن Tهو المثلث ABC , والذي جزئ إلى المثلثين T1 , T2 , إذاً d(T1) = 180° - [m(∡1) + m(∡B) + m(∡3) ] , و d(T2) = 180° - [m(∡5) + m(∡C) + m(∡4) ]. وعليه فإن d(T1)+d(T2) =360°-[m(∡1)+m(∡5)+m(∡B)+m(∡3)+m(∡4)+m(∡C)] . لكن ∡1 + ∡5 = ∡A , m(∡3) + m(∡4) = 180° إذاً d(T1) + d(T2) = 360° - [m(∡A) + m(∡B) + 180° + m(∡C) ] = 180 - [ m(∡A) + m(∡B) + m(∡C) ]= d(T) نتيجة : إذا جزئ مثلث إلى عدة مثلثات بأي طريقة كانت , فإن انحراف ذلك المثلث يساوي مجموع انحرافات المثلثات التي جزئ لها .

34. نظرية 4-2-2 : إذا جزئ مثلث إلى مثلثين فإن مساحة المثلث تساوي مجموع مساحتي المثلثين اللذين جزئ المثلث لهما . البرهان:ليكن ABCمثلثاً جزئ إلى المثلثين ABD , ACD . إذاً d(ABC) = d(ABD) + d(ACD) وعليه فإن k.d(ABC) = k.d(ABD) + k.d(ACD) ومنه ينتج أن a(⊿ABC) = a(⊿ABD) + a(⊿ACD) نتيجة: مساحة مثلث تساوي مجموع مساحات المثلثات المجزئة له . نظرية 4-2-3 : يكون لمثلثين نفس المساحة إذا وإذا فقط كان لهما نفس مجموع قياسات الزوايا • البرهان : بما أن لأي مثلثين نفس المساحة إذا وإذا فقط كان لهما نفس الانحراف المثلثي . إذاً لأي مثلثين نفس المساحة إذا وإذا فقط كان لهما نفس مجموع قياسات الزوايا .0

35. 4-3 التوازي بعمود مشترك لاحظنا أثناء دراستنا للهندسة الإقليدية , أن العمودين على مستقيم واحد متوازيان , كما أن العمود على أحد مستقيمين متوازيين يكون عمودياً على الأخر ,وعليه يوجد عدد لا نهائي من الأعمدة المشتركة بين مستقيمين متوازيين , أما في الهندسة الزائدية فإن العمودين على مستقيم واحد متوازيان لكن ذلك العمود وحيداً , لأن وجود عمود مشترك آخر على كلا المستقيمين يعني وجود مستطيل , وهذا يناقض نظرية (4-1-2) , ويطلق عادة على هذا النوع من التوازي ( توازي بعمود مشترك ) إذا كان للمستقيم L زوج من النقاط المتساوية البعد عن المستقيم mالموازي للمستقيمL فإن للمستقيمين L , m أقصر قطعة مستقيمة عمودية على كل منهما نظرية 4-3-1 البرهان: لتكن A , B على L متساويتي البعد عن m , ولتكن C , D مسقطيهما على m . إذاً AC≅BD , كما أن كلاً من AC , BD عمودي على m , وعليه فإن ABCD رباعي الخيام–سكاري. والآن لتكن E , Fمنتصفي AB , CD إذاً EF عمودي على كل من L , m,كما أن EF أقصر من كل من AC , BD حسب نظرية (4-1-2) .

36. نظرية4-3-2إذا كان للمستقيمين L،M عموداً مشتركاً ، فإنهما متوازيان ، وإن ذلك العمود وحيد.كما أنه إذا كانت F،E نقطتي تقاطع العمود المشترك مع L،M على التوالي ، وكانت L AB بحيث إن E منتصف القطعة AB،فإن A، B متساويتي البعد عن M. نظرية 4-3-3 البعد عن مستقيمين متوازيين بعمود مشترك يكون أقل ما يمكن عند العمود المشترك، ويزداد البعد بينهما كلما بعدنا عن العمود المشترك من الجهتين.

37. التوازي بدون عمود مشترك .. تتناول في هذا البند نوعاً من التوازي يطلق عليه التوازي الحدي ويختلف عن سابقه بأنه إذا توازى مستقيمان حدياُ فلا عمود مشترك بينهما، كما أنه إذا توازى مستقيمان باتجاه معين فقد لا يكونا متوازيين في الاتجاه الآخر. والزاويتين المتبادلتان(المتناظرتان) اللتان يكونهما قاطع المستقيمين متوازيين حدياً لا تتساويان. كما أنه يسمح لنا بدراسة نوع معين من ثلاثيات الأضلاع يطلق عليها المثلثات التقاربية .

38. تعريف4-4-1 (أ)إذا كان L مستقيماً،A L ،AB L ،فيقال عن الشعاع AC أنه موازي حدي أيمن للمستقيم L،إذا كان كل شعاع بين AC و AB يقطع L و بنفس الطريقة نعرف الشعاع الحدي الأيسر للمستقيم L (ب)يقال عن شعاعين AB، CD أنهما متوازيان حدياً من النقطةA إذا كان AB يوازي المستقيم CD من النقطة Aوكانت B ،D من جانب واحد من المستقيم AC AB L AB L بينماAB L L AB والآن إلى المبرهنة الآتية التي تتضمن وجود ووحدانية الموازيات الحدية لمستقيم معلوم. ملاحظة :

39. نظرية 4-4-1: لكل مستقيم Lولكل نقطة A , إذا كانت B مسقط العمود النازل من Aعلى L فإن: (أ)- يوجد شعاعان وحيدانAD,AC في جهتين مختلفتين من AB كل منهما يوازي L (ب)- أي شعاع مار بالنقطة A يقطع L إذا وإذا فقط كان واقعاً بين AD,AC. (ج)-∡ CAB = ∡ DAB . نتيجة :إذا كان AD , AC موازيين حديين للمستقيم L من النقطة A , وكانت B مسقط A على L فإن كلاً من DAB∡ , CAB∡ حادة . ملاحظة :يطلق على أي من الزاويتين المتطابقتين CAB , DAB زاوية التوازي عند النقطة A نسبة للمستقيم Lويرمز لقياسها بالرمز كما أن حسب نتيجة نظرية ( 4 – 4 – 1 ) . و الآن إلى بعض خواص الموازيات الحدية والمبرهنات الآتية:

40. نظرية 4-4-2: إذا وازى مستقيم عند أحد نقاطه مستقيم معلوم وفي اتجاه معين فإنه يوازي المستقيم المعلوم عند كل نقطة من نقاطه وفي نفس الاتجاه. نظرية 4-4-3:إذا كان mموازياً حدياً للمستقيم L فإن Lموازي حدي للمستقيم m. نظرية 4-4-4: إذا كان كل من ، موازيا حديا للشعاع ، فإن موازي حدي للشعاع نظرية 4-4-5: إذا توازى مستقيمان حديا ، فإن الزاويتين المتناظرتين اللتان يكونهما قاطع مع المستقيمين لا تتساويان نتيجة 1: (أ) الزاويتان المتبادلتان اللتان يكونهما قاطع لمستقيمين متوازيين حديا لا تتساويان.(ب) مجموع قياسات الزاويتين الداخليتين الواقعتين على جهة واحدة من قاطع لمستقيمين متوازيين أقل من 180

41. والآن إلى تعريف المثلثان التقاربية ودراسة خواصها نتيجة 2: إذا كان mموازيا حدياً للمستقيم L،فلا يوجد عمود مشترك للمستقيمين L,m . تعريف 4-4-2: إ ذا كان AB , CDمستقيمين متوازيين حديا , فيسمى اتحاد الشعاعين AB,CDوالقطعة المستقيمة ACثلاثي أضلاع أو مثلث تقاربي (أ) يرمز عادة للمثلث التقاربي بالرمزABCDأو(CD,AB) ويسمىA,Cرأسي المثلث التقاربي ,AB,CD,ACأضلاعه,وتسمىCABACD زوايا المثلث التقاربي. ∡ ∡ A A ضلع داخلي B C D ضلع خارجي

42. وإذا اصطلح على تسمية نقطة التقاء المستقيمين المتوازيين حدياً بالنقطة المثالية. ورمزنا لها بالرمزΩ قلنا أن ACΩ ثلاثي أضلاع أحد رؤوسه نقطة مثالية أو مثلث تقاربي أحادي أو مثلث أما إذا حوى ثلاثي أضلاع نقطتين مثاليتين سمي مثلث تقاربي ثنائي(ب) وإذا حوى ثلاثي أضلاع ثلاثة نقاط مثالية سمي مثلث تقاربي ثلاثي (ج) وسنذكر اهتمامنا على النوع الأول من المثلثات التقاربية. نظرية4-4-: 6إذا كان AbΩمثلثاً تقاربياً وكانت Pنقطة داخل ِAbΩفإن (أ) المستقيم الواصل بين أحد رأسيه وPيقطع الضلع الأخر.(ب)المستقيم المار بالنقطة Pموازيا لكل من AΩ,BΩ يقطع AB A البرهان : (أ)بما انPتقع داخل الزاوية BAΩ,وداخل الزاوية ABΩ, وبما أن AΩ,BΩ متوازيان حديا,إذا APيقطع BΩ وBPيقطع AΩ. p L Ω C B

43. ( ب)نفرض أن APيقطع BΩفي C وليكن L مستقيما مارا بالنقطة Pموازياً لكل من AΩ,BΩ,إذاً Lيقطع ABحسب نظرية (باش). نظرية4-4-7: إذا قطع مستقيم احد أضلاع مثلث تقاربي ABΩ ولم يمر بأي من رؤوسه الثلاثة , فانه يقطع أحد من الضلعين الآخرين على أن لا يكون موازياً حدياً لأحد الأضلاع الخارجية AΩ, BΩ. L • البرهان: (أ)ليكن L مستقيما قاطعا للضلع AΩفي CإذاًL يجزئ 1 أو2 ,فإذا جزئ1 فإنه يقطع AB(حسب نظرية ياش) • وإذا جزئ2 ،فإنLيقطعBΩمن المثلثBCΩحسبنظرية(4-4-6أ) • (ب) إذا كانLمستقيماً قاطعاً للضلعAB في نقطة مثلD,فليكن DΩ موازي حدي لـ AΩإذاً DΩموازي حدي للضلع BΩ, وحيث أنLيختلف • عنDΩ بالفرض,إذنLيجزي1 أو2, فإذا جزي 1فإنه • يقطعAΩ,,وإذا جزي2، فإنه يقطعBΩ حسب نظرية(4-4-6أ) • A • B C 1 2 ∡ ∡ ∡ Ω ∡ • A • B L ∡ ∡ 1 D Ω 2

44. نظرية 4 – 4 – 8: الزاوية الخارجية في مثلث تقاربي أكبر من الزاوية الداخلية المقابلة لمجاورتها. البرهان:نفرض أنABΩمثلث تقاربي مُدَ ضلعه AB إلى نقطة مثل Cولكي نثبت أن 1 <3 لاحظ أن 180 > ( 2 ) m+(1) m حسب نتيجة نظرية (4–4–4) كما أن 180 = (2) m + ( 3 ) m إذاً: 3+ 2 > 2 + 1 وعليه فإن1 < 3 ∡ ∡ ∡ ∡ ∡ ∡ ∡ ∡ ∡ ∡ ∡ ∡ C والآن إلى تطابق المثلثات التقاربية والتعريف الآتي:- تعريف 4 – 3 – 3:يقال عن مثلثين تقاربين AB Ω، CDΩ أنهما متطابقان إذا كان ABCD، DCΩ BA Ω,CD Ω AB Ω ∡ ∡ ∡ ∡

45. نظرية 4 – 4 – 9: يتطابق المثلثانالتقاربيان إذا طابقت زاوية والضلع الداخلي في أحدهما نظيريهما في الآخر. نظرية 4 – 4 – 10: إذا تطابقت الزوايا الداخلية في مثلثين تقاربين تطابق المثلثان وأخيراً إلى المبرهنة الآتية التي تؤكد على وجود نوعين فقط من المستقيمات المتوازية نظرية 4 – 4 – 11: إذا كانLm بحيث أن m لا يحوي شعاع موازي حدي للمستقيم L فيوجد عمود مشترك للمستقيم L,m.