§1 － 3 　多元函数的偏导数

§1－3　多元函数的偏导数

一、偏导数的定义 在二元函数 z = f (x, y)中, 有两个自变量 x, y, 但若固定其中一个自变量, 比如, 令y = y0, 而让 x 变化. 则 z 成为一元函数 z = f (x, y0), 我们可用讨论一元函数的方法来讨论它的导数, 称为偏导数.

定义　　设 z = f (X) = f (x, y) 在 X0 = (x0, y0) 的某邻域 U(X0)内有定义. 固定 y = y0, 在x0 给 x 以增量 x . 相应函数增量记作称为 z在点 X0 处关于 x的偏增量.

则称这个极限值为 z = f (x, y) 在 (x0, y0) 处对 x 的偏导数. 即此时也称 f (x, y)在(x0, y0) 处对x 的偏导数存在. 否则称f (x, y)在(x0, y0) 处对x的偏导数不存在.

　　类似, 若固定 x = x0, 而让y 变, z = f (x0, y)成为 y的一元函数. 则称它为z = f (x, y) 在 (x0, y0) 处对 y 的偏导数. 即

　　若 z = f (x, y) 在区域 D 内每一点 (x, y) 处时x的偏导数都存在, 即(x, y)D, 　　此时, 它是 x, y的二元函数. 称为 z 对 x的偏导函数. 简称偏导数. 存在. 类似定义 z对 y的偏导函数.

注 1.由偏导数定义知, 所谓 f (x, y) 对x 的偏导数, 就是将 y 看作常数, 将 f (x, y) 看作一元函数来定义的. 　　因此,在实际计算时, 求 f 'x(x, y)时, 只须将 y看作常数,用一元函数求导公式求即可. 　　求 f 'y(x, y)时, 只须将 x看作常数,用一元函数求导公式求即可.

2.f 'x(x0, y0) 就是 f 'x(x, y) 在点(x0, y0)的值. f 'y(x0, y0) f 'y(x, y) f 'y(x0, y0) 算 f 'x(x0, y0) 可用3种方法. (1) 用定义算. (2) 先算 f 'x(x, y), 再算 f 'x(x0, y0) f 'y(x, y), f 'y(x0, y0). (3)先算 f (x, y0), 再算 f 'x(x, y0) 再算 f 'x(x0, y0) f (x0, y), f 'y(x0, y), f 'y(x0, y0).

例1. 解: 或 f (x, 2) = x2 + 6x + 4, f 'x(x, 2) = 2x + 6, 故 f 'x(1, 2) = 2+ 6 = 8.

例2. 解:

例3. 解: 偏导数的概念可推广到三元以上函数中去. 比如, 设 u = f (x, y, z) . 它的求法, 就是将 y, z 均看作常数来求即可.

例4. 解:

二、偏导数的几何意义 　　由一元函数的导数的几何意义, 可以得到偏导数的几何意义. 设 z = f (x, y) 在点 X0=(x0, y0) 处的偏导存在, 记 z0 = f (x0, y0 ). 点M0(x0, y0 , z0)则

f 'x(x0, y0)就是以平面 y = y0与曲面z = f (x, y) 相截, 得到截线 1 . 1 上点 M0(x0, y0 ,z0)处切线对 x轴的斜率. 　　而 f 'y(x0, y0)就是以就是以平面 x = x0与曲面 z = f (x, y) 相截, 得到截线 2 . 2 上点 M0(x0, y0 ,z0) 处切线对 y轴的斜率.

故只须搞清一元函数 f (x, y0)的几何意义. 就可得到 f 'x(x0, y0)的几何意义. 以平面y = y0与曲面z = f (x, y)相截, 得截线 z = f (x, y) 1 : y = y0 也就是 z = f (x, y0). 且 M0 (x0, y0 ,z0)在 1 上.

　　即 z = f (x, y0)表示平面y = y0与曲面 z = f (x, y)的交线1. 如图 z = f (x, y0)上点M0处的切线对 x的斜率.

z 1: z = f (x, y0) M0 z = f (x, y) 1 o y0 y X0 x  T1 　　即 f 'x(x0, y0) 表示 y = y0 与 z = f (x, y)的交线在 M0处的切线对 x 的斜率.

z 2: z = f (x0 , y) z = f (x, y) M0 2 o  y x0 X0 T2 x 如图类似得f 'y(x0, y0)的几何意义. 　　即 f 'y(x0, y0) 表示 x = x0 与 z = f (x, y)的交线在 M0处的切线对 y 的斜率.

三、偏导与连续的关系 　　在一元函数中, 可导必连续, 但对多元函数不适用. 　　　　即, 对多元函数 f (X)而言, 即使它在 X0 的对各个自变量的偏导数都存在, 也不能保证 f (X)在 X0 连续.

例5.设 　　证明z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在, 但它在 (0, 0)不连续. 证: 　　前边已证 z = f (x, y)在(0, 0)的极限不存在, 因此它在 (0, 0)不连续.

下证 z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在. = 0 = 0 　　故 z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在, 但它在 (0, 0)不连续.

　　从几何上看, f 'x(x0, y0)存在. 只保证了一元函数f (x, y0)在 x0 连续. 　　　　　　　　　　　也即 y = y0 与 z = f (x, y)的截线 1 在 M0= (x0, y0 , z0)是连续的. 　　同理, f 'y(x0, y0)存在. 只保证了x = x0 与 z = f (x, y)的截线 2 在 M0连续. 但都不能保证曲面 z = f (x, y)在 M0连续.

　　　　　　　　　换句话说, 当 X 从任何方向, 沿任何曲线趋于X0时, f (X)的极限都是 f (X0). 显然, 上边两个条件都不能保证它成立.

z o y x 例. 如图　　易知, f (x, y)在(0,0)的两个偏导都存在,且为0. 但它在(0, 0)不连续.

§1－4　多元函数的微分

一、全微分的概念 　　在实际中,常需计算当两个自变量都改变时, 二元函数 z = f (X) = f (x, y)的改变量 f (x0+x,y0 +y) – f (x0,y0). 　　　　　　　　　　　　一般说来, 算这个改变量较麻烦, 希望找计算它的近似公式. 该近似公式应满足(1)好算. (2)有起码的精度.

类似一元函数的微分概念, 引进记号和定义. 记 z = f (x0+x,y0 +y) – f (x0,y0). = f ( X+X) – f (X0). 其中 X0 = (x0,y0). X= (x,y) 称为 z = f (X) = f (x, y)在点X0 = (x0,y0) 的全增量.

定义设 z = f (X) = f (x, y)在U(x0)内有定义. 　　若 z = f (x, y)在点(x0, y0) 的全增量 z = f (x0+x,y0 +y) – f (x0,y0)能表成 z = ax +by + 0 (|| X ||) 其中a, b是只与x0, y0有关, 而与x, y无关的常数.

则称 z = f (x, y)在点(x0, y0)可微. 称 ax +by 为 z= f (x, y)在点(x0,y0)处的全微分.

注 1.按定义, z = f (x, y)在点(x0, y0)可微 

2.若 z在点 X0 = (x0, y0)可微 即 z –( ax +by ) = 0 (|| X ||)

3.若 z = f (x, y)在区域 D 内处处可微. 则称 z = f (x, y)在 D 内可微. z 在(x, y)D 处的全微分记作 dz. 即 dz = a (x, y)x + b (x, y)y 　　它实际上是一个以 x, y ,x , y为自变量的四元函数.

　　对照一元函数的微分, z = f (x), 若z = ax +0 (x) 则dz = ax = f ' (x) ·x . 自然会提出以下问题. (1)若z = f (x, y)在点(x0, y0)可微, 微分式 dz = ax +by中系数 a, b 如何求, 是否与z的偏导有关? (2)在一元函数中, 可微与可导是等价的. 在二元函数中, 可微与存在两个偏导是否也等价? (3)在一元函数中, 可微连续, 对二元函数是否也对?

设 z = f (x, y)在点(x0, y0)可微, 要证 z 在(x0, y0)连续. 则 z = f (x0+x, y0+y) – f (x0, y0) 令x  0, y  0, 由最后一式知, z  0.

　　结论: 对二元函数 z = f (x, y), z 在(x0, y0)可微(不是存在两个偏导)  z 在(x0, y0)连续.

若 z = f (x, y)在点 X =(x, y)处可微, 则 z = f (x, y)在点(x, y)处两个偏导定理1 且 z在 (x, y)处的全微分为证:因 z在(x, y)处可微, 由定义, z的全增量. 此式对任何充分小的x, y 都成立.

特别, 当 y =0时, 有同除以 x ( 0), 并令x  0. 得 = a

定理1回答了问题1, 并指出二元函数z = f (x, y) 可微 存在两个偏导,

反之不对. 右端式子也可写出. 可能不是全微分. 从而 z 不能写成定义中的形式, 故不可微.

例1. 证明 z 在 (0, 0)处的两个偏导存在, 但 z 在 (0, 0)不可微. 证:由偏导定义 = 0 = 0

而故 z 在 (0, 0) 不可微.

定理2 　　若 z = f (X) = f (x, y)的两个偏导数f 'x (x, y), f 'y (x, y)在X0 = (x0, y0)的某邻域 U(x0)内存在, 且它们都在 X0 = (x0, y0)连续, 则 z = f (x, y)在(x0, y0)可微.

因 f 'x (x, y), f 'y (x, y)在U(x0)内存在. 证: 　　由偏导数的定义, 以及一元函数可导与连续的关系知. 　　　　　　　　　以x为自变量的一元函数 z = f (x, y) 对于固定的 y , 在该邻域所对应的 x的区间上连续, 可导.

　　　　　　　　　以 y为自变量的一元函数 z = f (x, y)在该邻域所对应的 y的区间上连续, 可导. 对于固定的 x , 　　从而它们都满足拉格朗日中值定理条件(在相应区间上).

取 (x0+x, y0+y)  U(X0) z = f (x0+x, y0+y) – f (x0, y0) = [ f (x0+x, y0+y) – f (x0, y0+y)] +[ f (x0, y0+y) – f (x0, y0)] 在上式第一括号中, 将 y0+y 固定. 则它是以 x 为自变量的一元函数 f (x, y0+y)在[x0,x0+x]上的改变量. 　　　　　　　　　　　因 f (x, y0+y)在 [x0,x0+x]上满足拉格朗日中值定理条件, 从而,

f (x0+x, y0+y) – f (x0, y0+y) = f 'x(x0+1x , y0 +y]  x , 其中 0<1<1 同理f (x0, y0+y) – f (x0, y0) = f 'y(x0, y0 +2y]  y , 0<2<1 故 z = f 'x(x0+1x , y0 +y]  x + f 'x(x0, y0 +2y]  y 因 f 'x (x, y), f 'y (x, y)都在(x0, y0)连续.

有由极限与无穷小量的关系, f 'x(x0+1x , y0 +y) = f 'x(x0, y0)+1 其中 1 0, (x 0, y 0时)

f 'x(x0+1x , y0 +y) = f 'x(x0, y0)+1 有, 　　f 'y(x0, y0 +2y) = f 'y(x0, y0)+2 其中 2 0, (x 0, y 0时) 由于 z = f 'x(x0+1x , y0 +y]  x + f 'x(x0, y0 +2y]  y 因此, z = f 'x(x0, y0)x +f 'y(x0, y0)y +(1x +2y)

易见  |1 |+|2 |0, (x 0, y 0时) 即由全微分的定义知, z = f (x, y)在(x0, y0)可微.

在点 X处雅可比向量(矩阵). 也记作(z). 2.若 z = f (X)在区域 D 内有一阶连续偏导. 则记 f (X)C1(D) 3.和一元函数微分一样, 自变量 x, y 的微分就等于它们的改变量, 即 dx = x , dy = y . 且记 dX = (dx , dy)

§1 － 3 多元函数的偏导数