Общи теореми на динамиката.

1. Общи теореми на динамиката. Учебни въпроси 1. Количество на движение на механично система. 2. Кинетичен момент на механична система.

2. 1. Количество на движение на механична система. 1.1 Количество на движение. Количеството на движение на една точка се дава с израза: qi = mi.vi . (вектор) За механична система от n точки количеството на движение ще бъде сума от количествата на движение на всички точки:Q = ∑ mi.vi [1] Уравнението [1] може да се представи по следния начин: Q = ∑ mi.dri/dt = d/dt ∑ mi. ri = d/dt(m.rC) = m.drC/dt. Q = m.vC [2] Количеството на движени на механична система е равно на количеството на движение на масовия й център, ако там се съсредоточи масата на цялата система. (То характеризира само транслационното движение.)

3. 1.2 Теорема за изменение на количеството на движени на механична система. Диференциалното уравнение за движение на една материална точка – елемент на механична система е: • mi.ai = Fi(външни)+Fj(вътр.), тогава: ∑ mi.ai= ∑ Fi(външни)+∑ Fj(вътр.), където: ∑ Fj(вътр.)= 0. d/dt ∑ mi.vi= Frа(външни) ; Окончателно: dQ/dt = Fra [3] Производната спрямо времето на количеството на движение на механична система е равна на главния вектор на външните сили, приложени към системата. Ако Fra =0 или Fraх= 0, то:Q = const и Q(x) = const.[4] – закон за съхранение на количеството на движение.

4. 1.3 Теорема за импулсите. Зависимостта [3] може да се представи във вида: dQ = Fra.dt [5] Тук: Fra.dt = d*Sa = ∑Fia.dt = ∑d*Sia - елементаренглавен импулс на външните сили. Ако се интегрира [5] в някакъв интервал от време, ще се получи: Q – Q0 = Sa [6] Sa = ∑Sia = ∑ ∫Fia.dt - главен импулс. Уравнението [6] изразява теоремата за импулсите: Изменението на количеството на движение за интервал от време е равен на главния импулс на всички външни сили, които действат върху системата през този интервал. От [6] се получава теоремата за импулсите в скаларна форма, ако се проектира върху осите на координатната система О x,y,z.

5. 2. Кинетичен момент на механична система. 2.1 Що е кинетичен момент? Видяхме, че количеството на движение на механична система характеризира само нейното транслационно движение. Необходимо е въртеливите свойства на движението на системата да се опишат чрез друга динамична характеристика. Кинетичен момент на точка от система спрямо неподвижен център О се нарича векторното произведение на радиус вектора на точката от центъра О с количеството на движение на точката:КОi = ri x mi.vi. Кинетичен момент на система от точки спрямо център О е геометричната сума от кинетичните моменти на всички точки: КО = ∑КОi = ∑ri x mi.vi. [7]Проекциите на КО върху координатните оси ще бъдат: Кx=∑mi.(yi.viz–zi.viy), Кy=∑mi.(zi.vix–xi.viz), Кz=∑mi.(xi.viy–yi.vix). Ако механичната система е твърдо тяло: КО=∫r xv.dm (v)

6. 2.2Теорема на Кьониг за кинетичния момент. Ако механичната система е свързана с една подвижна координатна система О1х1у1z1, която има ъглова скорост ω1 и се движи по определен закон спрямо неподвижната система Охуz, то радиус вектора riще бъде:ri = r01 + ri1и като заместим в [7] получаваме за кинетичния момент: КО= ∑ri x mi.vi = ∑(r01 + ri1) x mi.vi = r01x ∑mi.vi + ∑ri1 x mi.vi. Или: КО= r01 x Q + ∑ri1 x mi.vi. [8] Като имаме пред вид, че: vi = vir + v01 + ω1 x ri1, то: ∑ri1 x mi.vi= ∑ri1 x mi.vir + (∑ mi.ri1) x v01 + ∑ mi.ri1 x (ω1 x ri1). Полагаме: Кr01 = ∑ri1 x mi.vir – кинетичен момент на механичната система при относителното й движение спрямо подвижната координатна система О1х1у1z1и (∑ mi.ri1) = m.r1C. Тук: r1C – радиус вектора на МЦв системата О1х1у1z1.

7. Теорема на Кьониг за кинетичния момент – продължение. За връзката между кинетичните моменти на една механична система в подвижната и неподвижната координатна система се получава окончателно: КO = Кr01+r01x Q+ m.r1Cx v01+ ∑ mi.ri1 x (ω1 x ri1). [9] Частни случаи: 1) подвижната система се движи транслационно (ω1=0) КO = Кr01+r01x Q+ m.r1Cx v01. [10] 2) подвижната система извършва постъпателно движение и началото й се намира в МЦ т.С≡О1 (ω1=0 r1C= 0, r01 = rC) : КO = КrC+ rC x Q - Теорема на Кьониг. [11]

8. 2.3 Кинетичен момент на твърдо тяло. Когато механичната система е твърдо тяло с ъглова скорост ω(ω= ω1)и неизменно свързана с него координатна система О1х1у1z1(vir = 0, Кr01 = 0), то: КO = r01x Q+ m.r1Cx v01+ ∫[ri1 x (ω x ri1)] dm. [12] Ако се приеме, че: С≡О1 (r1C =0), тогава: КO = rСx Q+ ∫[ri1 x (ω x ri1)] dm[13] Уравнението [13] изразява теоремата на Кьониг за твърдо тяло. Изразът: КrC = ∫[ri1 x (ω x ri1)] dm [14] е кинетичния момент на тялото спрямо масовия му център при релативното му движение около него. (v) (v) (v)

9. [15] Кинетичен момент на твърдо тяло – продължение Изразът [14] напълно съответства и на кинетичния момент на твърдо тяло, което извършва движение около неподвижна точка – център на неподвижната и подвижната координатна система (О≡О1, rO1 = 0, vO1=0) – сравнетеи положете в зависимост [12]! Ако се проектира [14] върху осите на подвижната координатна система се получава: Krx1 = ωx1.Jx1 - ωy1.Jx1y1 - ωz1.Jx1z1 Kry1 = - ωx1.Jy1x1 + ωy1.Jy1 - ωz1.Jy1z1 Krx1 = - ωx1.Jz1x1 - ωy1.Jz1y1 + ωz1.Jz1 Ако тялото извършва ротация около неподвижна ос s≡z: ωx =0, ωy =0, ωz = ω, то: Kx= - Jxzω; Ky= - Jyzω; Kz= Jzω. [16]

10. 2.4 Теорема за изменение на кинетичния момент От определението за кинематичен момент за система от материални точки [7] имаме:КО= ∑ri x mi.vi. Диференцираме [7] по времето и получаваме: dКО/dt= d/dt.(∑ri x mi.vi) = ∑ (ri x mi.vi + ri x mi.vi). Но: ri =viи ri x mi.vi = 0, a mi.vi = mi.ai = Fia + Fiв, тогава: dКО/dt= ∑ (ri x Fia + ri x Fiв)= ∑(MOia + MOiв). Като се има предвид, че: ∑ MOiв= 0 , се получава: dКО/dt= ∑MOia [17] – теорема за изменение на кинетичния момент : Първата производна по времето на кинетичния момент на система от материални точки относно неподвижен център О е равна на главния момент на външните сили спрямо този център, приложени върху системата.

11. 2.5 Закон за запазване на кинетичния момент. Теоремата за изменение на кинетичния момент, която доказахме за система от материални точки спрямо полюс (център О), лесно може да се докаже, че е в сила и за кинетичен момент спрямо ос, спрямо масовия център и спрямо ос от релативната координатна система. От тази теорема следва непосредствено, че ако сумата на моментите от външните сили (главния момент на външните сили) е равна на нула, т.е. ∑ MOiа= 0, то: dКО/dt= 0 или КО = const[18] – закон за запазване на кинетичния момент: Когато главния момент на външните сили относно неподвижен център (ос и ...) е равен на нула, кинетичния момент спрямо този център (ос и...) остава постоянен. Примери!

12. Въпроси ?