Διδάσκοντας Μαθηματικά με Δημιουργικότητα

1. Διδάσκοντας Μαθηματικά με Δημιουργικότητα Διδάσκοντας Μαθηματικά γιαΔημιουργικότητα Λούκας Τσούκκας Σύμβουλος Πληροφορικής

2. Η εκπαίδευση σκοτώνει τη δημιουργικότητα. Sir Ken Robinson • Το μόνο πράγμα που με εμπόδιζε ήταν η εκπαίδευσή μου. Albert Einstein

3. Δημιουργικότητα • Μπορούμε να υποθέσουμε ότι το μυαλό πετάει ένα σύνολο από μπάλες στο γνωστικό πεδίο και τις κουνάει με ταχυδακτυλουργικές κινήσεις, ώστε να συγκολληθούν σε δημιουργικούς σχηματισμούς. Εφόσον πραγματοποιηθούν συσχετισμοί μεταξύ ιδεών που σπανίως συνδυάζονται – δηλαδή αν οι μπάλες που συνήθως δεν πλησίαζαν μεταξύ τους, ενωθούν - θα επιτευχθεί ένα δημιουργικό αποτέλεσμα. Εφημερίδα «Η Σημερινή», 23/11/2008 • Η δημιουργικότητα οφείλεται 99 % στην επιμονή και 1 % στην έμπνευση. Thomas Edison

4. Βασικές πτυχές της δημιουργικότητας The Torrance Tests of Creative Thinking (TTCT) (Torrance, 1966,1974,1988) • Ευχέρεια- Fluency • Ο αριθμός των ιδεών που παράγονται ως αντίδραση σε ένα ερέθισμα (Ποσότητα ιδεών) • Ευελιξία • Οι μεταβάσεις ανάμεσα σε διαφορετικές προσεγγίσεις που προκύπτουν ως αντίδραση σε ένα ερέθισμα (Διαφορετικά είδη ιδεών) • Πρωτοτυπία • Των ιδεών που παράγονται ως αντίδραση σε ένα ερέθισμα (Σπανιότητα ιδεών)

5. H δημιουργικότηταμέσα από την επίλυση μαθηματικού προβλήματος Silver (1987) • Fluency • Οι μαθητές διερευνούν ανοικτού τύπου προβλήματα, με πολλές ερμηνείες, μεθόδους επίλυσης ή και απαντήσεις • Ευελιξία • Οι μαθητές επιλύουν το πρόβλημα με μια μέθοδο και μετά με άλλες • Οι μαθητές συζητούν διαφορετικές μεθόδους επίλυσης • Πρωτοτυπία • Οι μαθητές προτείνουν και διερευνούν μια διαφορετική μέθοδο επίλυσης

6. H δημιουργικότηταμέσα από τη διατύπωση μαθηματικού προβλήματος Silver (1987) • Ευκαίρια (Fluency) • Οι μαθητές διατυπώνουν δικά τους προβλήματα προς επίλυση μέσα από μια δεδομένη κατάσταση • Ευελιξία • Οι μαθητές διατυπώνουν προβλήματα τα οποία μπορούν να επιλυθούν με διαφορετικούς τρόπους • Χρησιμοποιούν τη μέθοδο «Τι θα γινόταν αν… / Τι θα γινόταν αν δεν…» • Πρωτοτυπία • Οι μαθητές διατυπώνουν ένα διαφορετικό πρόβλημα από τα υπόλοιπα

7. Κατασκευή προβλήματος Εφαρμογή Αν διπλώσεις ένα τετράγωνο, το ορθογώνιο που προκύπτει έχει περίμετρο 39 cm. Διατύπωση προβλημάτων

8. Εφαρμογή Αν διπλώσεις ένα τετράγωνο, το ορθογώνιο που προκύπτει έχει περίμετρο 39 cm. Ποιο είναι το εμβαδόν του αρχικού τετραγώνου; Επίλυση προβλήματος Τρόποι επίλυσης – Διαφορετικοί τρόποι επίλυσης

9. Αναπτύσσοντας τις πτυχές της δημιουργικότητας - Το παράδειγμα της μέτρησης

10. Ευχέρεια (Ποσότητα ιδεών) Ο εκπαιδευτικός: • Παροτρύνει τη ελεύθερη έκφραση και ανταλλαγή απόψεων και ιδεών • Παρακινεί τη χρήση της φαντασίας • Ενθαρρύνει τη διενέργεια συγκρίσεων για τον εντοπισμό διαφορών και ομοιοτήτων • Βοηθά στον εντοπισμό και οικοδόμηση σχέσεων ανάμεσα στις μαθηματικές έννοιες από τους μαθητές • Παρακινεί τους μαθητές να αιτιολογούν τις απαντήσεις που δίνουν

11. Ευχέρεια (Ποσότητα ιδεών) Ο εκπαιδευτικός: • Χρησιμοποιεί διαφορετικές μορφές αναπαραστάσεων : λεκτικές, εικονικές, συμβολικές • Χρησιμοποιεί διάφορες διδακτικές τεχνικές, προσεγγίσεις και μεθόδους • Παρουσιάζει διαφορετικά είδη ασκήσεων και δραστηριοτήτων

12. Ευελιξία (Διαφορετικά είδη ιδεών) Ο εκπαιδευτικός: • Αξιοποιεί το ανθρώπινο και τεχνικό περιβάλλον. Μπορεί να αξιοποιήσει ένα συγκεκριμένο θέμα για την προώθηση διαφορετικού μαθηματικού περιεχομένου. • Προωθεί τη σύνδεση και συσχέτιση των μαθηματικών με άλλους τομείς μελέτης, άλλα θέματα και μαθήματα και με την καθημερινή ζωή. • Λαμβάνει υπόψη την εφαρμογή της γνώσης

13. Ευελιξία (Διαφορετικά είδη ιδεών) Ο εκπαιδευτικός • Ενθαρρύνει την ανακάλυψη • Χρησιμοποιεί έργα ανοικτού τύπου • Προωθεί τον επαγωγικό και αναλογικό συλλογισμό

14. Πρωτοτυπία (Σπανιότητα ιδεών) Ο εκπαιδευτικός • Ενεργοποιεί τη χρήση πρωτοποριακών μέσων και υλικών. • Επιτρέπει τη δημιουργική χρήση του περιβάλλοντος των μαθητών • Προτείνει ρεαλιστικά, ενδιαφέροντα και πρωτότυπα έργα και δραστηριότητες • Αναγνωρίζει και αποδέχεται τις ασυνήθιστες απαντήσεις των μαθητών

15. Ανάλυση των πτυχών της δημιουργικότητας μέσα από μια διδακτική προσέγγιση

19. Πρακτικά παραδείγματα στις διάφορες περιοχές των Μαθηματικών Εμβαδόν Όγκος Αριθμοί και πράξεις Γεωμετρία ............................................ Λύση προβλήματος Κατασκευή προβλήματος

20. ΧΩΡΙΖΟΝΤΑΣ ΕΝΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΕΜΒΑΔΟΝ Να χωρίσετε το τετράγωνο σε 5 σχήματα με ίσο εμβαδόν.

21. Λύση: Παιχνίδια με σχήματα http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=5908

22. ΣΧΗΜΑΤΑ ΜΕ ΙΣΟ ΕΜΒΑΔΟΝ Να χωρίσετε το πιο κάτω σε 4 σχήματα με ίσο εμβαδόν.

23. Λύση:

24. ΕΜΒΑΔΟΝ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΕΜΒΑΔΟΥ Μπορείς να τοποθετήσεις τα μικρά σχήματα πάνω στα μεγάλα. http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=5561

25. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ • Τι πρέπει να αλλάξουμε ώστε : • Ένα παραλληλόγραμμο να γίνει ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. • Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο να γίνει τετράγωνο • Ένα παραλληλόγραμμο να γίνει ρόμβος • Ο ρόμβος να γίνει τετράγωνο Geogebra • Πώς η δραστηριότητα αυτή αναπτύσσει τη δημιουργικότητα των μαθητών; • Ποια χαρακτηριστικά της δημιουργικότητας αναπτύσσει;

26. ΑΡΙΘΜΟΙΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΑΠΟ ΝΤΟΜΙΝΟ Με βάση τα πιο κάτω ντόμινο να συμπληρώσετε τα κενά τετράγωνα με τελείες, ώστε το άθροισμα των τελειών σε κάθε πλευρά των τετραγώνων να είναι 8.

27. ΑΡΙΘΜΟΙΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΑΠΟ ΝΤΟΜΙΝΟ Λύσεις:

28. ΑΡΙΘΜΟΙ Ανάλυση αριθμού 9 • Δίνονται ντόμινο χωρίς κουκίδες και καλούνται οι μαθητές να τις τοποθετήσουν οι ίδιοι, για να συμπληρώσουν τα ντόμινο του αριθμού 9. Τέσσερις πράξεις • Τα παιδιά γράφουν διάφορες εξισώσεις που δίνουν αποτέλεσμα 48. Π.χ. (100-50)-2= (100:2) – 2= 50-2 = • Τα παιδιά καλούνται να δείξουν έναν τρόπο για να εξηγήσουν σε μικρότερα παιδιά πώς μπορούμε να βρούμε την απάντηση σε εξισώσεις. (χρήση αντικειμένων, σχεδίου, θεατρικής αναπαράστασης προβλήματος κ.λ.π.)

29. Αριθμοί • Ποιους αριθμούς μπορείς να φτιάξεις με 6 χάντρες; • Ποιος είναι ο μεγαλύτερος μόνος αριθμός που μπορείτε να φτιάξετε; • Ποιος είναι ο μικρότερος μονός αριθμός που μπορείτε να κατασκευάσετε;

30. ΑΡΙΘΜΟΙΠαιχνίδι μυστικού αριθμού Δίνεται σε κάθε μαθητή μια αριθμοκάρτα. Τα παιδιά καλούνται, χωρίς να αποκαλύψουν τον αριθμό που έχουν, να δώσουν πληροφορίες που να βοηθούν τους υπόλοιπους μαθητές να βρουν ποιον αριθμό γράφει η καρτελίτσα. • Πιθανές πληροφορίες /στοιχεία • Ο αριθμός της δικής μου κάρτας: • Έχει 4 δεκάδες και 8 μονάδες. • Έχει 2 δεκάδες και 28 μονάδες. • Είναι η διαφορά του 50 από το 2. • Είναι το γινόμενο του 8 με το 6. • Αν βρεις το διπλάσιο του 20 και προσθέσεις 8, θα βρεις το δικό μου αριθμό. 48

31. ΑΡΧΗ 5 δεκάδες 1 μονάδα 51 8 μονάδες 9 δεκάδες 98 5 δεκάδες 2 μονάδες 52 100 – 1 = 99 100 - 10= 90 ΤΕΛΟΣ Δημιουργία ντόμινο από τους μαθητές Γεωργία Παπανικολάου - Ζεβεδαίου

32. Λύση με διάφορους τρόπους - ΕυελιξίαΌχι απλή εκμάθηση αλγορίθμων • 315 : 35 • 315 : 5 = 63 και 63 : 7 = 9 • 3 1/5 : 4/5 = • 16/5 : 4/5 = 4 • 3 1/5 - 4/5 = 2 2/5→ 2 2/5 – 4/5 = 1 3/5 → 1 3/5 – 4/5 = 4/5→4/5 - 4/5 = 0 • Λύση με βάση τον αλγόριθμο

33. Λύση με διάφορους τρόπους - ΕυελιξίαΌχι απλή εκμάθηση αλγορίθμων • Η Αλίκη απάντησε ορθά στο 75% των ερωτήσεων του διαγωνίσματος στο μάθημα της ιστορίας. Αν απάντησε ορθά σε 9 ερωτήσεις, πόσες ήταν όλες οι ερωτήσεις του διαγωνίσματος. • Με αλγόριθμο • Το 75% ισοδυναμεί με ¾ . Άρα τα ¾ των ερωτήσεων είναι 9. • Το 75% των ερωτήσεων είναι 9 ερωτήσεις. Το 25 % είναι 3 ερωτήσεις. Το 100 % είναι 9 + 3 = 12 ερωτήσεις. • Λύση με σχέδιο 25% 25% 25% ; • Η δημιουργική διδασκαλία συμβάλλει στην κατάκτηση των μαθηματικών εννοιών από τους μαθητές. • Τα μαθηματικά συμβάλουν στην ανάπτυξη της δημιουργικότητας των μαθητών.

34. ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΕΣ • Να συμπληρώσετε τα κενά τετράγωνα με εννέα διαφορετικούς αριθμούς από το 1 μέχρι το 9, ώστε η διαφορά δύο συνεχόμενων αριθμών να είναι μονός αριθμός. (http://nrich.maths.org/content/id/2790/Differences.swf)

35. ΟΓΚΟΣ – ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΑ

36. Dalest Stereometry (Developing and Active Learning Environment for the teaching of Stereometry) http://www.ucy.ac.cy/dalest/

37. ΟΓΚΟΣ - ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΚΟΥΤΙΩΝ Να κατασκευάσετε κουτιά με διαφορετικό όγκο χρησιμοποιώντας το πιο κάτω τετράγωνο.

38. Παραδείγματα: • Δημιουργία νέων προβλημάτων (γενίκευση, εξειδίκευση, αναλογία, περιορισμοί)

39. Κάποιες λύσεις:

40. Επίλυση προβλήματος • Προβλήματα με περιττά ή ελλιπή δεδομένα • Κατηγοριοποίηση προβλημάτων • Λύσεις με ποικιλία μεθόδων (διάγραμμα, γραφική παράσταση, πίνακας, μοτίβο κτλ.) • Υπολογισμός της απάντησης – λογικότητα • Προβλήματα που απαιτούν κατά προσέγγιση υπολογισμό • Τροποποίηση προβλήματος (αλλαγή δεδομένων, αλλαγή ζητουμένων, αντίστροφο πρόβλημα, επέκταση, γενίκευση κτλ) • Προβλήματα διαδικασίας που λύνονται με την εφαρμογή κάποιας στρατηγικής • Προβλήματα της καθημερινής ζωής (real life problems) • Μαθηματική μοντελοποίηση της πραγματικότητας • Κατάστημα τάξης – Τιμοκατάλογος • Ανοιχτά προβλήματα (open-ended problems) • Προβλήματα με πολλούς τρόπους λύσης

41. Επίλυση προβλήματος Αποφυγή Διδακτικού Συμβολαίου • «Ο κύριος Κώστας, ο χασάπης, είχε 26 κιλά κρέας στο κρεοπωλείο του και παράγγειλε ακόμα 10 κιλά. Πόσο κρέας έχει τώρα;» • Σχόλιο: Το κρέας που έχει παραγγείλει δε θα φτάσει έγκαιρα στο κρεοπωλείο και όταν φτάσει μερικά από τα 26 κιλά θα έχουν ήδη πωληθεί. Δρ Μύρια Σιακαλλή

42. Προβλήματα που απαιτούν μαθηματική μοντελοποίηση της πραγματικότητας • «Ο Κώστας και ο Γιάννης θα κάνουν κοινό πάρτι. Ο Κώστας έχει 5 φίλους και ο Γιάννης έχει 6 φίλους. Προσκαλούν όλους τους φίλους τους. Όλοι οι φίλοι είναι στο πάρτι. Πόσοι φίλοι είναι στο πάρτι;» • Αναμενόμενη μη-ρεαλιστική απάντηση: • 5+6 = 11 Οι μαθητές θεωρούν δεδομένο ότι ο Κώστας και ο Γιάννης δεν έχουν κοινούς φίλους. • Ρεαλιστικές απαντήσεις: • Δε γνωρίζω γιατί ο Κώστας και ο Γιάννης ίσως έχουν κοινούς φίλους. • Πρέπει να συμπεριλάβω τον Κώστα και τον Γιάννη;

43. Επίλυση Προβλήματος Ανοιχτά προβλήματα • Προβλήματα με περισσότερες από μία σωστές λύσεις. • Προβλήματα όπου η σωστή απάντηση μπορεί να βρεθεί με περισσότερο από έναν τρόπους.

44. Ανοικτού τύπου προβλήματα • Πόσα κέρματα των 5 σεντ χρειάζονται για να έχουμε 45 σεντ ; • Κρατώ 45 σεντ. Πόσα κέρματα έχω; • Κρατώ μερικά κέρματα των 5 σ. • Πόσα χρήματα είναι δυνατό να έχω; • Έχω πέντε κέρματα. Τρία από αυτά είναι τα ίδια. • Πόσα χρήματα είναι δυνατό να έχω; • Έχω 5 κέρματα. Πόσα χρήματα μπορεί να κρατώ; • Ποια είναι η μικρότερη/μεγαλύτερη γραμμή που μπορεί να γίνει με 5 κέρματα; Με ποιο τρόπο τροποποιήσαμε το αρχικό πρόβλημα για να δημιουργήσουμε νέα, ποιο ανοικτά προβλήματα; (αλλαγή δεδομένων, ζητούμενων, περιορισμών)

45. Κατασκευή / διατύπωση μαθηματικού προβλήματος • Είναι πιο σημαντικό να διατυπώνουμε προβλήματα, παρά να λύνουμε προβλήματα. (Χρίστου, 2004, Silver, 1996) • Η διατύπωση προβλημάτων προάγει ένα πνεύμα περιέργειας και παράγει πιο αποκλίνουσα και εύκαμπτη σκέψη. (English, 1997)

46. Διατύπωση προβλήματος με βάση δοσμένο πρόβλημα • Αλλαγή της γεωμετρίας του προβλήματος • Τι θα ίσχυε, αν εξετάζαμε κύβους αντί τετράγωνα; • Αλλαγή των αριθμών του προβλήματος • Τι θα συνέβαινε αν μια μεταβλητή μπορούσε να πάρει και κλασματικές τιμές; • Αλλαγή μιας μαθηματικής πράξης • Αφαίρεση ή πρόσθεση περιορισμών • Αν δύο από τα τρία παιδιά, κρατούσαν ακριβώς το ίδιο ποσό χρημάτων… • Αν το τρίγωνο δεν ήταν ορθογώνιο …

47. Διατύπωση προβλήματος με βάση δοσμένο πρόβλημα • Τροποποίηση της ερώτησης του προβλήματος • Ποια είναι η ελάχιστη τιμή (αν π.χ. αναφερόμαστε στο εμβαδόν ενός ορθογωνίου με σταθερή περίμετρο) • Γενίκευση του προβλήματος (Ισχύει πάντοτε;) • Ποιο είναι το αντίστροφο πρόβλημα; • Κατασκευή προβλήματος από εικόνα, τιμοκατάλογο, μαθηματική πρόταση • Κατασκευή προβλημάτων με βάση μαθηματικές καταστάσεις και καταστάσεις από τον πραγματικό κόσμο.

48. Διατύπωση προβλημάτων από τους μαθητές με βάση τιμοκατάλογο Κατάστημα παιχνιδιών €7 €6 €24 € 5 €4 €3 €18

49. Αναμενόμενα προβλήματα • Τι μπορώ να αγοράσω με τα χρήματα που έχω; • Πόσα ευρώ χρειάζομαι ακόμα για να αγοράσω το τρενάκι; • Η αξία του τρένου είναι ισοδύναμη με το άθροισμα της αξίας τεσσάρων άλλων παιχνιδιών. Ποια είναι αυτά; • Το ποδήλατο έχει τετραπλάσια αξία από ένα παιχνίδι του καταστήματος. Ποιο είναι αυτό; • Μπορώ να αγοράσω μία μπάλα, ένα αρκουδάκι και ένα αλογάκι με τα χρήματα που έχω; Γιατί; • Ο Γιώργος αγόρασε ένα ποδήλατο. Η Λένα αγόρασε μία κούκλα και ένα τρενάκι. Ποιος πλήρωσε τα περισσότερα και πόσα; Γεωργία Παπανικολάου - Ζεβεδαίου

50. Βρες όλα τα τετράπλευρα που μπορούν να κατασκευαστούν, ενώνοντας 4 οποιαδήποτε από τα 8 σημεία που βρίσκονται πάνω στην περιφέρεια ενός κύκλου και που το καθένα απέχει ίση απόσταση από το άλλο. Κατασκευή προβλήματος Προσπάθησε να κατασκευάσεις όσα πιο πολλά προβλήματα μπορείς, τροποποιώντας το πρόβλημα με διαφορετικό τρόπο κάθε φορά. …………………………………………………………………………………………...………………... …………………………………………………………………………………………...………………... ….…..………….……………………………………………………………………................................... Jamski, J. (1990) Mathematical Challenges for the middle grades ( From the Arithmetic Teacher Calendar Problems). NCTM, Reston, Virginia.