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1. 规律探究的问题的处理（数量与 形式 ） 2001 年：几何图形规律的探究． （比例关系） 2002 年：探索图形的规律． （小路问题）

1. 规律探究的问题的处理（数量与 形式 ） 2001 年：几何图形规律的探究． （比例关系） 2002 年：探索图形的规律． （小路问题） 2003 年：方案设计问题． （三角形面积） 2004 年：合情推理问题 （面积分割） 2005 年 : 四边形的面积计算 ( 特殊到一般的数学思想 ; 观察、分析、类比、归纳、抽象、概括、猜想 ) 2006 年：三角形面积的计算问题（种花） 2007 年 : 复合图形的拼图 2008 年 : 铺设管道最短问题 2009 年：圆的转动规律. F. A. H. E. D. G. C. B.

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1. 规律探究的问题的处理（数量与 形式 ） 2001 年：几何图形规律的探究． （比例关系） 2002 年：探索图形的规律． （小路问题）

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  1. 1.规律探究的问题的处理（数量与形式） 2001年：几何图形规律的探究． （比例关系） 2002年：探索图形的规律．（小路问题） 2003年：方案设计问题． （三角形面积） 2004年：合情推理问题 （面积分割） 2005年: 四边形的面积计算(特殊到一般的数学思想;观察、分析、类比、归纳、抽象、概括、猜想 ) 2006年：三角形面积的计算问题（种花） 2007年:复合图形的拼图 2008年:铺设管道最短问题 2009年：圆的转动规律

  2. F A H E D G C B F （2b＜a） 图14-1 F F A A A E E D D (E) D B C B C B C （2b＝a） （a＜2b＜2a） （b＝a） F A E D C B （b＞a） 图14-5 23．（本小题满分10分） 在图14-1—14-5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上． 操作示例 当2b＜a时，如图14-1，在BA上选取点G，使BG＝b，连结FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH． 思考发现 小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上．连结CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图14-1），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形． 实践探究 （1）正方形FGCH的面积是；（用含a，b的式子表示） （2）类比图14-1的剪拼方法，请你就图14-2—图14-4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图． 联想拓展 小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．当b＞a时，如图14-5的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由． 本题的问题是要求学生按照“操作”的界定再给出其它的操作，核心是等积变形特点是动手操作

  3. D （G） A F 1 4 3 2 B E C （H） 5 6 D A N F G 图11—1 M E B C （H） N 图11—2 （05大纲）26．（本小题满分12分） 操作示例 对于边长均为a的两个正方形ABCD和EFGH，按 图11—1所示的方式摆放，再沿虚线BD，EG剪开后， 可以按图中所示的移动方式拼接为图11—1中的四边 形BNED． 从拼接的过程容易得到结论： ①四边形BNED是正方形； ②S正方形ABCD+S正方形EFGH=S正方形BNED ．ABCDEFGMN图11—2（H） 实践与探究 （1）对于边长分别为a，b（a＞b）的两个正方形ABCD和EFGH，按图11—2所示的方式摆放，连结DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M作MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN与EN相交于点N． ①证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表 示正方形MNED的面积； ②在图11—2中，将正方形ABCD和正方形EFGH 沿虚 线剪开后，能够拼接为正方形MNED．请简略说明你的拼接方法（类比图11—1，用数字表示对应的图形）． （2）对于n（n是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接为一个正方形？请简要说明你的理由．

  4. A B D C E A 图12－1 B D C 图12－2 E A B C D F 图12－3 M E A H C B D F G 图12－4 （06）22．（本小题满分8分） 探索 在如图12－1至图12－3中，△ABC的面积为a．   （1）如图12－1, 延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S1，则S1=________（用含a的代数式表示）；  （2）如图12－2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S2，则S2=__________（用含a的代数式表示），并写出理由；   （3）在图12－2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD， FE，得到△DEF（如图12－3）．若阴影部分的面积为S3， 则S3=__________（用含a的代数式表示）． 像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图12－3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的_______倍． 应用 去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图12－4）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m2？ 本题是在逐步探索结论的前提下，体验经过图形扩展，使图形面积发生变化的过程，经猜想获得结论，并通过计算获得验证．使学生亲身经历类似科学家的探究过程，并在过程中获得探究问题的感受和体验，也是“课题学习”领域内容的具体体现．

  5. 图11－1 图11－2 m m m m 图11—3 n 图11—4 图11－5 （04）22．（本小题满分12分）我们知道：由于圆是中心对称图形，所以过圆心的任何一条直线都可以将圆分割成面积相等的两部分（如图11－1）． 探索下列问题： （1）在图11－2给出的四个正方形中，各画出一条直线（依次是：水平方向的直线、竖直方向的直线、与水平方向成45°角的直线和任意的直线），将每个正方形都分割成面积相等的两部分； （2）一条竖直方向的直线m以及任意的直线n，在由左向右平移的过程中，将正六边形分成左右两部分，其面积分别记为S1和S2． ①请你在图11－3中相应图形下方的横线上分别填写S1与S2的数量关系式（用 “＜”，“＝”，“＞”连接）； ②请你在图11－4中分别画出反映S1与S2三种大小关系的直线n，并在相应图形下方的横线上分别填写S1与S2的数量关系式（用“＜”，“＝”，“＞”连接）． （3）是否存在一条直线，将一个任意的平面图形（如图11－5）分割成面积相等的两部分？请简略说出理由．  过圆心的任何一条直线可以将圆分割成面积相等的两部分进而探索正方形、正六边形直到任意平面图形，遵循了由特殊到一般的认知规律，考查合情推理能力

  6. A A A 3 4 D B 6 D O B O D 5 O 4 B 2 C C C 图13—1 图13—3 图13—2 A B D O C 图13—4 （05）22．（本小题满分8分） 已知线段AC=8，BD=6． （1）已知线段AC垂直于线段BD．设图13—1、图13—2和图13—3中的四边形ABCD的面积分别为S1，S2和S3，则S1=，S2=，S3=； （2）如图13—4，对于线段AC与线段BD垂直相交(垂足O不与点A，C，B，D重合)的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的猜想； 图13—4 （3）当线段BD与AC（或CA）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点A，B，C，D，A所围成的封闭图形的面积是多少？

  7. B K l C P 图13 -3 A A B B l l C P P 图13 -1 图13 -2 在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3 km和2 km，AB= a km（a＞1）．现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水． 方案设计 某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图13-1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1=PB+BA（km）（其中BP⊥ l于点P）；图13-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2=PA+PB（km）（其中点与点A关于l对称，B与l交于点P）． 观察计算 （1）在方案一中，d1=km（用含a的式子表示）； （2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2=km（用含a的式子表示）． 探索归纳 （1）①当a = 4时，比较大小：d1d2（填“＞”、“=”或“＜”）； ②当a = 6时，比较大小：d1d2（填“＞”、“=”或“＜”）； （2）请你参考右边方框中的方法指导，就a（当a＞1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？

  8. G F A B C 图15-1 G F A E C B D 图15-2 G A E F C B D 图15-3 24．（本小题满分10分） 在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图15-1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B． （1）在图15-1中请你通过观察、测量BF与CG的 长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系， 然后证明你的猜想； （2）当三角尺沿AC方向平移到图15-2所示的位置时， 一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条 直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于 点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG 的长度，猜想并写出DE＋DF与CG之间满足 的数量关系，然后证明你的猜想； （3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平 移到图15-3所示的位置（点F在线段AC上， 且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由） 前几年是以旋转变换为切入点，07年通过学生所熟悉的三角板的平移来构造问题,立足于学生熟知的、常见的基本图形

  9. G F A F G G G B F A C A A E F 图15-1 E G B C B C B C F AB=AC，D为BC上一点， DE⊥BA于E，DF⊥CA于F． 图③′ A AB=AC BF⊥CA，CG⊥BA于G． 图①′ AB=AC，D为BC上一点， DE⊥BA于E，DF⊥CA于F． 图②′ E C B D 图15-2 G A E F C B D 图15-3 排除“三角尺”和其平移的表面干扰，图①、②、③对应的几何图形就是：是我们早已熟悉的基本模式

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