第 5 章 有限元法 (2)

1. 第5章 有限元法(2) Ⅴ Finite Element Method(FEM)

2. 5.3有限元法的工程应用 5.3.1有限元法的解题步骤 1.结构的力学模型简化 采用有限元法来分析实际工程结构的强度和刚度问题时： 首先应从工程实际问题中抽象出力学模型，即需对实际问题的 边界条件、约束条件和外载荷进行简化。 这种简化应尽可能反映实际情况，使简化后的弹性力学问题的解与实际相近，但也不要使计算过于复杂。 力学模型简化时，必须明确以下几点： (1)判断实际结构的问题类型，是属于一维问题、二维问题还是 三维问题。如果是二维问题，应分清是平面应力状态，还是平面应变 状态。

3. (2) 结构是否对称，如果结构对称，则充分利用结构对称性简化计算，如图5-a 所示（取原分析对象的1/2部分或1/4部分来计算）。 图5-a 取原分析对象的1/2部分或1/4部分来计算 (3) 简化后的力学模型必须是静定结构或超静定结构。 (4) 进行力学模型简化时，还要给定结构力学参数如材料弹性模量E，泊松系数 ，外载荷大小及作用位置，以及结构的几何形状及尺寸等。

4. 2. 单元划分和插值函数的确定 根据分析对象的结构几何特性、载荷情况及所要求的变形 点，建立由各种单元所组成的计算模型。 单元划分后，利用单元的性质和精度要求，写出表示单元内 任意点的位移函数；并利用节点处的边界条件，写出用节点位移表 示的单元体内任意点位移的插值函数式。

5. 3. 单元特性分析 根据位移插值函数，由弹性力学中给出的应变和位移关系，可计算出单元内任意点的应变； 由物理关系，得应变与应力间的关系式，进而可求单元内任意点的应力； 由虚功原理,可得单元的有限元方程，即节点力与节点位移之间的关系，从而得到单元的刚度矩阵。

6. 4. 整体分析（单元组集） 整体分析是对由各个单元组成的整体进行分析。 整体分析的目的是建立节点外载荷与节点位移之间的关系，以求解节点位移。 　　把各单元按节点组集成与原结构体相似的整体结构，得到整体结构的节点力与节点位移之间的关系。 （5-33） 上式称为整体有限元方程式。式中： {F}为整体总节点载荷列阵； [K]为整体结构的刚度矩阵，或称总刚度矩阵； {q}是整体结构的所有节点的位移列阵。

7. 上式写成分块的形式，则为 （5-34） 对于弹性力学平面问题： 子向量{ F }i、{ q }i都是二维向量， 子矩阵{K }ij是2×2阶矩阵，角标( i, j )为节点总码编号， n为整体结构中的节点总数。

8. 整体有限元方程式中的{ F }、{ K } 和 { q } 可按以下步骤建立： (1)整体节点位移列阵{ q } { q } 的建立，可直接按节点编号顺序和每个节点的自由度数排列而成。 　　这相当于将各个单元的节点位移 　直接叠加，共同节点只取一 个表示即可。 (2) 总刚度矩阵{ K } 由各个单元刚度矩阵直接叠加而成。 这种叠加是按各单元节点编号的顺序，将每个单元刚度矩阵送入总刚度矩阵中对应节点编号的行、列位置，而且交于同一节点编号的不同单元，对应于该节点的刚度矩阵子块要互相叠加。 总刚度矩阵中其余元素均为零。 {K}

9. 下面通过一个简单实例来说明总体刚度矩阵{ K }的形成。 图5-7 三角形薄板结构 图5-7所示为一块三角形薄板离散后的三角形网格，该结构共有 四个单元和六个节点，其编号情况以及节点载荷如图所示。支承情况 是在节点4、5、6 三处共有四个位移分量限定为零，即

10. 1 (1) 2 3 2 3 (3) 2 3 5 (2) (4) 4 5 5 6 图5-8离散后的三角形薄板单元 四个单元的节点局部码如图5-8a 所示。

11. 　　对比图5-7与图5-8可以看出，四个单元节点局部码与节点总码的对应关系为： 单元1： 单元2： 单元3： 单元4：

12. 假设在单元分析中，已得出单元 1在整体坐标系中的单元刚度矩阵[K] (1)，写成分块形式为 局码i j m i j m 2 3 1 2 3 1总码 它是一个6×6阶矩阵。矩阵中下标的数字是节点总码。 　　对单元2、3、4 经过坐标转换后，可得出在整体坐标系中的单元刚度矩阵，写成分块形式为

13. 则按下标的编码将各子矩阵写入总体刚度矩阵中相应的位置，对应项相加，则得总体刚度矩阵为则按下标的编码将各子矩阵写入总体刚度矩阵中相应的位置，对应项相加，则得总体刚度矩阵为

15. 综上所述，在弹性力学平面问题中，通过单元分析得到局部坐综上所述，在弹性力学平面问题中，通过单元分析得到局部坐 标系下的各个单元的刚度矩阵后，由它们组集成整体坐标系下的总 体刚度矩阵，需经如下步骤： 　　① 将所得的局部坐标系下的各单元刚度矩阵节点局部码 转换为对应的节点总码，从而得到整体坐标系的单元刚度矩阵； 　　② 将整体坐标系的单元刚度矩阵的各子矩阵根据其下标的两个 总码对号入座，写在总体刚度矩阵相应的位置上； 　　③ 将下标相同的子矩阵相加，形成总体刚度矩阵中相应的子矩 阵。

16. (3) 整体总节点载荷列阵{ F } 整体总节点载荷列阵{F}是由各单元节点载荷列阵 叠加而成的。 它是将各单元的 送到 {F}中对应节点编号的行上，而且交 于同一节点的不同单元，对应于该节点的节点载荷子块要互相叠加。 在组集载荷列阵前，应将非节点载荷离散并等效地转移到相应单 元的节点上。转移方法根据力的性质不同有不同的转换关系： (1) 体积力 {p} 的单元等效节点载荷 （5-35）

17. (2)表面力{q}的单元等效节点载荷 （5-36） (3) 非节点集中力{P}的单元等效节点载荷 （5-37） 上式中：[N]为单元形函数； [N]p为单元形函数在载荷作用点的取值。 总的单元等效节点力用叠加法求出 （5-38）

18. 在进行整体分析时，有时一个节点往往是几个单元的共有节点，该节点的节点力应该是共有节点的单元在该节点上的力的叠加，由此可以得到整体结构的节点载荷列阵{F}。在进行整体分析时，有时一个节点往往是几个单元的共有节点，该节点的节点力应该是共有节点的单元在该节点上的力的叠加，由此可以得到整体结构的节点载荷列阵{F}。 　现以图5-9所示的某弹性体边界上的一部分单元的组合为例，来说明其叠加过程。

19. 　　如图5-9所示，假设节点i是三个单元①、②、③的连接点，受相关单元上移置而来的外载荷 Rix与 Riy ，如图5-9(a)所示。 　　同时三个单元都受到节点i所施加的节点力Rix(1)、Riy(1)、Rix(2)、Riy(2)、Rix(3)、Riy(3)，如图5-9(b)所示。 图5-9某简单结构体

20. 　　利用在单元分析中，已建立的这三个单元在节点处的节点力与节点位移的关系式(5-3b)，就可把相邻的三个单元在节点i处加以集合，如图5-9 (c)所示，此时在三个单元的共同点上，总的节点力应为： 式中， 表示围绕 i 节点相连接的所有单元之和。 根据节点 i 的平衡条件，总的节点力应等于作用在该节点处的外载荷（图5-9 d），即 用分块矩阵表示：

21. 5.解有限元方程 　　可采用不同的计算方法解有限元方程，得出各节点的位移。 　　在解题之前，应根据求解问题的边界条件，可将式(5-33)进行缩 减，这样更有利于方程的求解，然后再解出节点位移{q}。 6. 计算应力应变 　 若要求计算应力、应变，则在计算出节点位移{q}后，则可通过 前述有关公式计算出相应的节点应力和应变值。

22. 5.3.2计算实例 　　下面通过一个简单的计算实例来说明有限元法的工程应用的分析与计算过程。 例5-1图5-10(a)所示为一个平面薄梁，载荷沿粱的上边均匀分布，单位长度上的均布载荷q =100N/cm 。假定材料的弹性模量为E，泊松比μ= 0，梁厚为t = 0.1cm。在不计自重的情况下，试用有限元法计算该梁的位移和应力。 图5-10 平面薄梁的受载状态及单元划分

23. 解：1.力学模型的确定 由于此结构的长度和宽度远大于梁厚，而载荷作用于梁的平面内，且沿厚度方向均匀分布，因此可按平面应力问题处理。 因为此结构与外载荷相对其垂直方向的中线是对称的，所以取其一半作为分析对象如图5-10(b)，对称轴上的点约束横向位移为0。 图5-10 分析对象

24. 2.结构离散化 由于该问题属于平面应力问题，本例题选用单元类型为三节点三角形单元。 　　然后对该结构进行结构离散化，共划分两个单元，选取坐标系，并对单元和节点进行编号如图5-10(b)所示。 3.求应变距阵[B]与弹性距阵[D] 对单元①，见图5-10(c)，由于节点坐标：i (0, 0)，j(6, 6), m(0, 6)代入式(5-8)和式(5-9)，得

25. 　　则由式(5-15)和式(5-18)，求得应变距阵[B]和平面应力问题的弹性距阵[D]为　　则由式(5-15)和式(5-18)，求得应变距阵[B]和平面应力问题的弹性距阵[D]为

26. 则得单元①应力矩阵： 　对于单元②，见图5-10(d)，由节点坐标：i (0, 0), j (6, 0), m (6, 6)。 同理可得单元②应力矩阵：

27. 4. 求各单元刚度距阵[K] 对于三角形单元，由式(5-30)，可得单元①的刚度距阵：

28. 同理，可得单元②的刚度距阵：

29. 5.建立整体有限元方程式 　　根据刚度集成方法，按节点位移序号组建整体结构的总刚度距阵[K]： 　　如图5-10(b)所示，作用在1、4边上的均布载荷按静力等效原理移置到1、4节点上，得整体结构的等效节点载荷列阵{F}：

30. 进而，可得该结构的整体限元方程式： 为

31. 6.引入边界约束简化有限元方程组 由于对称轴上 u3= u4= 0，节点2为固定绞支点，即 u2= v2= 0，所以只需考虑四个位移u1, v1, v3, v4，则相应刚度方程变为 这样划去对应的行和列，上述整体限元方程式缩减为

32. 7. 解线性代数方程组求各节点位移 解上面方程组，可得各节点位移： 8.计算各单元的应力 根据式(5-19)，计算各单元的应力： 单元①：

33. 单元②：

34. 5.4 有限元软件简介 1.有限元软件的选用 　　基于有限元法是一种十分重要的分析工具，可在众多领域获得应用，为此国际上的一些软件公司先后开发出了许多性能优良、功能齐全的大型通用化有限元分析软件，例如：ABAQUS、ADINA、ANSYS、NASTRAN、MARC、SAP等。 这些通用软件的特点是： ●单元库内有齐全的一般常用单元，如杆、梁、板、轴对称、板壳、多面体单元等； ●功能库内有各种分析模块，如静力分析、动力分析、连续体分析、流体分析、热分析、线性与非线性模块等； ●应用范围广泛，并且一般都具有前后置处理功能，汇集了各种通用的标准子程序，组成了一个庞大的集成化软件系统。

35. ●在一些CAD/CAM/CAE系统嵌套了有限元分析模块，它们与设计软件集成为一体，可在设计环境下运行。●在一些CAD/CAM/CAE系统嵌套了有限元分析模块，它们与设计软件集成为一体，可在设计环境下运行。 　　例如：设计软件I-DEAS、Pro/ENGINEER、UNIGRAPHICS等，其有限元分析模块虽没有通用或专用软件那么强大全面，但是完全可以解决一般工程设计问题。 在选用有限元软件时，可综合考虑以下几个方面： (1) 软件的功能； (2) 单元库内单元的种类； (3) 前后处理功能； (4) 软件运行环境； (5) 软件的价位； (6) 数据交换类型、接口及二次开发可能性。

36. 2.有限元分析的前、后置处理 有限元软件一般由三部分组成： (1) 前置处理部分； (2) 有限元分析，这是其主要部分，它包括进行单元分析和整体分析、求解位移和应力值的各种计算程序； (3) 后置处理部分。 　　采用有限元法进行机械结构分析时，需要输入大量的数据，如单元数、单元特性、节点数、节点编号、节点位置坐标等，这些称为有限元的前置处理。

37. 前置处理的主要内容包括： ①按所选用的单元类型对结构进行网格划分； ②按要求对节点进行顺序编号； ③输入单元特性及节点坐标； ④生成并在屏幕上显示出带有节点和单元标号以及边界条件的网格图象，以便检查和修改； ⑤对显示图象进行放大、缩小、旋转和分块变换等。

38. 为实现上述内容而编制的程序叫做前置处理程序，一般包括以下功能：为实现上述内容而编制的程序叫做前置处理程序，一般包括以下功能： (1) 生成节点坐标 　　可用手工或交互式输入节点坐标，绕任意轴旋转生成一系列节点坐标，沿任意向量方向平移生成相应的节点坐标，生成有关面、体的节点坐标等，合并坐标值相同的节点号，按顺序重编节点号； (2) 生成单元 输入单元特性，进行网格单元平移、旋转、对称复制等； (3) 修改和控制网格单元 　　对单元体局部网格密度进行调整；平移、插入或删除网格单元； (4) 引进边界条件 引入边界条件，约束一系列节点的总体位移和转角；

39. (5) 单元属性编辑 定义单元几何属性、材料物理特性，删除、插入或修改弹性模量、惯性矩等参数； (6) 单元分布载荷编辑 定义、插入、删除和修改节点的载荷、约束、质量、温度等信息。 图5-11是用SAP5软件对矩形截面悬梁做结构分析时，根据输入的单元和节点数，前置处理自动生成的网格图。 系统把悬梁结构分成了5个三维实体单元，每个单元有20个节点，共68个节点。 　　根据网格图，可检查输入的数据是否正确，如输入数据有误，网格中的节点就会偏离正确的位置，从而产生错误的网格图。

40. 单元5单元4单元3单元2单元1 图5-11　某矩形截面悬梁的前置处理中生成的网格图

41. 　　经过有限元分析后得到的大量数据，如应力与应变、节点位移量等，需要进行必要的分析与加工整理，还可以利用计算机的图形功能，形象地显示出有限元分析的结果，以便设计人员正确地筛选、判断、采纳这些结果，并对设计方案进行实时修改，这些工作称为有限元后置处理。　　经过有限元分析后得到的大量数据，如应力与应变、节点位移量等，需要进行必要的分析与加工整理，还可以利用计算机的图形功能，形象地显示出有限元分析的结果，以便设计人员正确地筛选、判断、采纳这些结果，并对设计方案进行实时修改，这些工作称为有限元后置处理。 用于表示和记录有限元数据的图形主要有网格图、结构变形图、应力等值线图、色彩填充图（云图）、应力向量图和动画模拟图等。为了实现这些目的而编制的程序称为后置处理程序。 　　下面列示出的各图为采用有限元分析软件进行机械产品及其零部件分析的实例。

42. 图5-b　有限元法分析实例及应用

43. 图5-c　有限元法分析实例及应用

44. 拓扑优化 Topology optimization 在给定设计空间内优化材料的布局 形状优化 Shape optimization 优化给定的几何特性的形状 参数优化 例如：梁的厚度和截面尺寸等 尺寸优化 Size optimization 形貌优化 Topography optimization 优化Bead/Swage 布置方式 图5-d　有限元法分析实例及应用

45. 图5-e　有限元法分析实例及应用

46. AIRBUS A380缝翼前缘的优化 缝翼前缘上存在13根翼肋，尺寸变化从 ●3m x 2m x 0.12m到 ●1m x 0.89m x 0.12m 图5-f　有限元法分析实例及应用

47. 拓扑优化(Topology Optimization) 定义封闭的设计空间 拓扑优化 设计材料布局 拓扑优化 几何提取 ICAD 实体的几何提取 尺寸和形状优化 几何提取 尺寸和形状优化 考虑屈曲和应力分析 图5-g　有限元法分析实例及应用

48. 图5-h　有限元法分析实例及应用

49. Plate under torsion Design variable generation Final Design Final contour 图5-i　有限元法分析实例及应用

50. 图5-j　有限元法分析实例及应用