Introdução a Computação e Cálculo Numérico

1. Introdução a Computação e Cálculo Numérico Rodrigo Cristiano Silva rodrigo@facens.br

2. Agenda • Introdução ao Cálculo Numérico • O que é Cálculo Numérico? • Exemplo • Erros • Tipos de erros • Erros de arredondamento • Erros de truncamento • Erros na aritmética de Ponto Flutuante • Conclusão Introdução a Computação e Cálculo Numérico

3. Introdução • A utilização dos computadores como ferramentas auxiliares na resolução de problemas complexos é uma realidade; • Computador + técnicas numéricas = possibilidade de resolver inúmeros problemas práticos de engenharia em tempo relativamente pequeno. Introdução a Computação e Cálculo Numérico

4. O que é Cálculo Numérico? • “O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos utilizados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se aplicam principalmente a problemas que não apresentam uma solução exata, portanto precisam ser resolvidos numericamente”. Introdução a Computação e Cálculo Numérico

5. Exemplo • Calcular a derivada de f(x) = x2 no ponto x = 1. • Método Analítico: • Aplicando a definição de derivada temos: • Para : Introdução a Computação e Cálculo Numérico

6. Exemplo • Método Numérico: • Escolhemos inicialmente um valor arbitrário pequeno de h (por exemplo, h = 0,01) e substituímos tanto o valor de x = 1 quanto de h = 0,01 na definição de derivada. Com isso teremos: Introdução a Computação e Cálculo Numérico

7. Exemplo • Resultados: • Verificou-se uma diferença de 0,01 entre os valores calculados analítica e numericamente. Isto se deve ao fato de termos utilizado um valor finito de em vez de . • Conforme mencionado, os métodos de cálculo numérico permitem a obtenção de valores aproximados que satisfaçam as necessidades reais. Introdução a Computação e Cálculo Numérico

8. Erros • Como calcular ? • Uma boa resposta seria: utilizando a calculadora ou o computador. Porém se o resultado obtido for utilizado para projetar, construir ou manter pontes, edifícios, máquinas, sistemas, dispositivos eletrônicos, etc., não poderemos aceitá-lo antes de fazer alguns questionamentos, visando comprovar que o resultado é o correto. Introdução a Computação e Cálculo Numérico

9. Erros • Quando calculamos , qual é a precisão utilizada pelo computador ou calculadora, tendo em vista que é um número irracional? • Qual é a confiabilidade do resultado que obtivemos? • Quão próximo do valor real está o valor obtido? Introdução a Computação e Cálculo Numérico

10. Erros • Erro absoluto • Diferença entre o valor real da grandeza que queremos calcular e o valor aproximado que efetivamente calculamos. • Porém, se estivermos trabalhando com números muito grandes, o erro pode ser grande em termos absolutos, mas o resultado ainda será preciso. E o caso inverso também pode ocorrer, um erro absoluto pequeno, mas um resultado impreciso. Introdução a Computação e Cálculo Numérico

11. Erros • Exemplo • Resultado da operação: 2.123.542,7 • Valor real: 2.123.544,5 • Erro Absoluto: 1,8 • Quando comparado com o valor real, esse erro é pequeno, dessa forma podemos considerar o valor calculado como preciso. Introdução a Computação e Cálculo Numérico

12. Erros • Em outro exemplo porém: • Resultado da operação: 0,234 • Valor real: 0,128 • Erro Absoluto: 0,106 • Apesar do erro ser pequeno, o valor calculado é extremamente impreciso, tendo em vista os valores envolvidos. Introdução a Computação e Cálculo Numérico

13. Erros • A fim de evitar esse tipo de ambigüidade, podemos utilizar o erro relativo, que corresponde ao quociente entre o erro absoluto e o valor real da grandeza a ser calculada: Introdução a Computação e Cálculo Numérico

14. Erros • O erro relativo é uma forma mais interessante de se avaliar a precisão de um cálculo efetuado. Para o primeiro exemplo, teremos um erro relativo de 0,0000008 ou 0,00008% no segundo caso um erro relativo igual a 0,83 ou 83%. Introdução a Computação e Cálculo Numérico

15. Tipos de erros • Erro de arredondamento • Valor real: 0,36569812 • Valor arredondado: 0,4 • Erro de truncamento • Valor real: 0,36569812 • Valor truncado: 0,365 Introdução a Computação e Cálculo Numérico

16. Erros na aritmética de Ponto Flutuante • Além dos erros causados pelo arredondamento e truncamento de certos valores, quando utilizamos computadores e calculadores, existe um erro causado pela conversão de números da base decimal para a binária e vice-versa. Introdução a Computação e Cálculo Numérico

17. Erros na aritmética de Ponto Flutuante • Exemplo: • Fazer um programa para calcular: • Qual será o resultado obtido? Introdução a Computação e Cálculo Numérico

18. Conclusão • Assim como o cálculo numérico é importante para resolução de problemas complexos ou sem resolução analítica, os erros são importantes, pois permitem que avaliemos os valores obtidos através dos métodos numéricos, e dessa forma, garantir a coerência dos resultados. Introdução a Computação e Cálculo Numérico