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10 장 . 관계

10 장 . 관계. 이산수학 및 응용 하병현 bhha@pusan.ac.kr. 목차. 10.1 집합에 대한 관계 10.2 반사성 , 대칭성 , 이행성 10.3 동치 관계 10.4 부분순서 관계. 관계. 예제 혈연 관계 혼인 관계 친구 관계 … 부분집합 관계 여집합 관계 대소 관계 x 2 + y 2  1 …. 10.1 집합에 대한 관계.

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Presentation Transcript

  1. 10장. 관계 이산수학 및 응용 하병현 bhha@pusan.ac.kr

  2. 목차 10.1 집합에 대한 관계 10.2 반사성, 대칭성, 이행성 10.3 동치 관계 10.4 부분순서 관계

  3. 관계 • 예제 • 혈연 관계 • 혼인 관계 • 친구 관계 • … • 부분집합 관계 • 여집합 관계 • 대소 관계 • x2 + y2 1 • …

  4. 10.1 집합에 대한 관계 Strange as it may sound, the power of mathematics rests on its evasion of all unnecessary thought and on its wonderful saving of mental operations. — Ernst Mach, 1838–1916

  5. 관계의 표현 • 예제 • A {0, 1, 2}, B  {1, 2, 3} • xA와 yB에 관해 x가 y보다 작을 때 x와 y가 관계가 있다고 하고 x R y로 표기하자. • 모든 관계? • 0 R 1, 0 R 2, 0 R 3, 1 R 2, 1 R 3, 2 R 3 • 관계가 없는 것은? • 1 R 1, 2 R 1, 2 R 2

  6. 관계의 표현 • 예제(계속) • 집합을 사용한 표현 • AB  {(x, y) | xA and yB}  {(0,1),(0,2),(0,3),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)} • R을 AB의 부분집합으로 볼 수 있음 • 즉, R  AB • R  {(0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 3)}

  7. 관계의 표현 • 정의 • A와 B를 집합이라 하자. A에서 B로의 (이항) 관계 R[(binary) relation R from A to B]은 AB의 부분집합이다. 순서쌍 (x, y)AB가 R에 속할 때 x는 R에 의해 y와 관계가 있다(x is related to y by R)고 하고 이를 xRy로 표기한다. • 표기 • xRy  (x, y)R, xRy  (x, y)R

  8. 관계 예제 • 예제 • A {1, 2}, B  {1, 2, 3}, 이항 관계 R • (x, y)AB, (x, y)R  x – y가 짝수. • AB? • {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)} • R? • {(1, 1), (1, 3), (2, 2)} • 1 R 3, 2 R 3, 2 R 2?

  9. 관계 예제 • 예제 • Z에서 Z로의 이항 관계 E • (m, n)ZZ, m En  m – n이 짝수이다. • 4 E 0, 2 E 6, 3 E (–3), 5 E 2? • E에 의해 1과 관계가 있는 정수 다섯 개? • n이 임의의 홀수라면 nE 1이 성립함을 증명 • n을 임의의 홀수라 하자. • 어떤 정수 k가 존재하여 n  2k + 1이다. • n – 1  (2k + 1) – 1  2k. • n – 1이 짝수 이므로 nE 1이 성립한다.

  10. y x –1 1 관계 예제 • 예제 • R에서 R로의 이항 관계 C • (x, y)RR, (x, y)C  x2 + y2  1. • (1, 0)C, (0, 0)C, (–1/2, (3)/2)C? • –2 C 0, 0 C (–1), 1 C 1? • 데카르트 평면에 C를 그리면?

  11. 관계의 화살 도표 • 예제 • A {1, 2, 3}, B  {1, 3, 5}, 이항 관계 S, T • (x, y)AB, (x, y)S  x <y. • T  {(2, 1), (2, 5)} • 화살 도표?

  12. 관계와 함수 • 정의 • 집합 A에서 집합 B로의 함수 F(function F from a set A to a set B)는 다음의 두 성질을 만족하는 A에서 B로의 관계이다. • xA, yB such that (x, y)F. • xA, yB, zB, (x, y)F  (x, z)F  y  z. • F가 A에서 B로의 함수일 때, 다음과 같이 쓴다. • y  F(x)  (x, y)F.

  13. 관계와 함수 • 예제 • R에서 R로의 관계 C • (x, y)RR, (x, y)C  x2 + y2  1. • C는 함수? • R에서 R로의 관계 L • (x, y)RR, (x, y)L  y  x– 1. • L은 함수?

  14. 역관계 • 정의 • R이 A에서 B로의 관계라 하자. B에서 A로의 역관계 R–1은 다음과 같이 정의한다. R–1 {(y, x)BA | (x, y)R} • 즉, xX, yY, (y, x)R–1  (x, y)R.

  15. 역관계 • 예제 • A {2, 3, 4}, B  {2, 6, 8}, ‘나누기’ 관계 R • (x, y)AB, (x, y)R  x |y. • R, R–1? • R–1는 무엇?

  16. 관계의 방향 그래프 • 정의 • 집합 A에 대한 이항 관계(binary relation on a set A)는 A에서 A로의 이항 관계이다. • 방향 그래프(directed graph) • A의 모든 점 x와 y에 대해, x에서 y로 가는 화살표가 존재  (x, y)R

  17. 관계의 방향 그래프 • 예제 • A {3, 4, 5, 6, 7, 8}, A에 대한 이항관계 R • xA, xRy  2 | (x– y) • R의 방향 그래프?

  18. 10.2 반사성, 대칭성, 이행성 Mathematics is the tool specially suited for dealing with abstract concepts of any kind and there is no limit to its power in this field. — P. A. M. Dirac, 1902–1984

  19. 관계의 특성 • 예제 • A {2, 3, 4, 6, 7, 9}, A에 대한 관계 R • (x, y)AA, xRy  3 | (x– y). • 방향 그래프?

  20. 관계의 특성 • 예제(계속) • 화살표: 자신에게 돌아옴, 서로에게로 향함, 거쳐가면 바로 감

  21. 관계의 특성 • 정의 • R을 집합 A에 대한 이항 관계라 하자. • R이 반사적(reflexive)이다  xA, x Rx. • R이 대칭적(symmetric)이다  (x, y)AA, x Ry  y Rx. • R이 이행적(transitive)이다  (x, y, z)AAA, x R y  y Rz  x R z.

  22. 유한 집합과 관계의 특성 • 예제 • A {0, 1, 2, 3}, A에 대한 관계 R • R  {(0, 0), (0, 1), (0, 3), (1, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 0), (3, 3)} • R은 반사적, 대칭적, 이행적?

  23. 유한 집합과 관계의 특성 • 예제 • A {0, 1, 2, 3}, A에 대한 관계 S • S  {(0, 0), (0, 2), (0, 3), (2, 3)} • S는 반사적, 대칭적, 이행적?

  24. 무한집합과 관계의 특성 • 예제 • R에 대해 정의된 이항 관계 R • (x, y)RR, x R y  x<y. • R은 반사적? • xR, x Rx?  xR, x < x? • R은 대칭적? • (x, y)RR, x < y  y < x? • R은 이행적? • (x, y, z)RRR, x < y  y < z  x < z?

  25. 무한집합과 관계의 특성 • 예제 • Z에 대해 정의된 이항 관계 R • (m, n)ZZ, m R n  3 | (m–n). • R은 반사적? • mZ, 3 | (m–m)  mZ, 3 | 0? • R은 대칭적? • (m, n)ZZ, 3 | (m–n) 3 | (n–m)? • 어떤 m과 n이 3 | (m–n)을 만족한다면 m– n  3k인 정수 k가 존재한다. • 따라서, n – m  3(–k)이므로 3 | n – m이다.

  26. 무한집합과 관계의 특성 • 예제(계속) • Z에 대해 정의된 이항 관계 R • (m, n)ZZ, m R n  3 | (m–n). • R은 이행적? • (m, n, p)ZZZ, 3 | (m–n)  3 | (n–p) 3 | (m–p)? • m–n  3r이고 n–p  3s인정수 r과 s가 존재한다. • 따라서, m–p  3(r + s)이므로 3 | m–p이다.

  27. 10.3 동치 관계 “You are sad” the Knight said in an anxious tone: “let me sing you a song to comfort you.” “Is it very long?” Alice asked, for she had heard a good deal of poetry that day. “It’s long,” said the Knight, “but it’s very, very beautiful. Everybody that hears me sing it–either it brings the tears into the eyes, or else–” “Or else what?” said Alice, for the Knight had made a sudden pause. “Or else it doesn’t, you know. The name of the song is called ‘Haddocks’ Eyes.’” “Oh, that’s the name of the song, is it?” Alice said trying to feel interested. “No, you don’t understand,” the Knight said, looking a little vexed, “That’s what the name is called. The name really is ‘The Aged Aged Man.’” “Then I ought to have said ‘That’s what the song is called’?” Alice corrected herself. “No, you oughtn’t: that’s quite another thing! The song is called ‘Ways and Means’: but that’s only what it’s called, you know!” “Well, what is the song, then?” said Alice, who was by this time completely bewildered. “I was coming to that,” the Knight said. “The song really is ‘A-sitting on a Gate’: and the tune’s my own invention.” So saying, he stopped his horse and let the reins fall on its neck: then, slowly beating time with one hand, and with a faint smile lighting up his gentle foolish face, as if he enjoyed the music of his song, he began. — Lewis Carroll, Through the Looking Glass, 1872

  28. 동치 관계 • 예제 • 1/2, 2/4, 3/6, –1/–2, … • 닮은 꼴

  29. 동치 관계 • 정의 • R을 집합 A에 대해 정의된 이항 관계라 하자. R이 반사적이고, 대칭적이고, 이행적이면 R은 동치 관계(equivalence relation)이다. • 예제 • 이산수학을 수강하는 학생들의 집합 A • A에 대해 정의된 이항 관계 R • (x, y)AA, x R y  x와 y는 같은 학년이다. • R은 동치 관계?

  30. 동치류 • 정의 • R을 집합 A에 대해 정의된 동치 관계라 하자. A의 원소 a에 대하여 a의 동치류(equivalence class of a)는 a와 R의 관계에 있는 A의 모든 원소 x의 집합이며 [a]로 표기한다. • 즉, [a]  {xA | xRa}이다. • 또는, xA, x[a]  x R a.

  31. 동치류 • 예제 • A {0, 1, 2, 3, 4}, A에 대한 이항관계 R • [0]? • {0, 4} • [1]? • [2]? • [3]? • [4]? • 서로 다른동치류?

  32. 동치류 • 예제 • 이산수학을 수강하는 학생들의 집합 A • A에 대해 정의된 이항 관계 R • (x, y)AA, x R y  x와 y는 같은 학년이다. • [이재화]? • [이재화]  [김애경]? • [김애경]  [송분조]? • 서로 다른 동치류는 몇 개?

  33. 분할과 동치류 • 동치류는 분할한다? • 항상 맞나? • 이를 위해 보조정리 둘과 정리 하나를 증명 • 보조정리 10.3.2 • 보조정리 10.3.3 • 정리 10.3.4

  34. 분할과 동치류 • 보조정리 10.3.2 • R을 집합 A에 대한 동치 관계라 하고, a와 b가 A의 원소라 하면, 다음이 성립한다. a R b  [a]  [b]. • 증명 개요 • 임의의 a와 b가 A의 원소이고 a R b라고 가정하자. • [a]  [b]를 보여야 한다. • [a]  [b] 이고 [b]  [a]임을 보인다. • 증명에 x[a]  x R a를 사용한다.

  35. 분할과 동치류 • 보조정리 10.3.2(계속) • 증명 개요(계속) • [a]  [b]: • 임의의 x[a]를 가정하자. • 정의에 의해, x R a. • 가정에 의해, a R b. • R은 동치 관계이므로 이행적이다. • 따라서, x R b. • 정의에 의해 x[b]. • 그러므로, [a]  [b].

  36. 분할과 동치류 • 보조정리 10.3.2(계속) • 증명 개요(계속) • [b]  [a]: • 임의의 x[b]를 가정하자. • 정의에 의해, x R b. • 가정에 의해, a R b. • R은 동치 관계이므로 대칭적이다. • 따라서, b R a이고, 이행적이므로 x R a. • 정의에 의해 x[a]. • 그러므로, [b]  [a]. • [a]  [b]이고 [b]  [a]이므로 [a]  [b]이다.

  37. 분할과 동치류 • 보조정리 10.3.3 • R이 집합 A에 대한 동치 관계이고 a와 b가 A의 원소라고 하면, 다음이 성립한다. [a]  [b]   또는 [a]  [b]. • 증명 개요 • 위를 곧바로 증명하는 것도 가능하겠지만, ‘또는’이라는 것을 처리하기가 귀찮다. • 따라서 정리의 내용을 논리적 동치인 다른 형태로 바꾸어 증명한다.

  38. 분할과 동치류 • 보조정리 10.3.3(계속) • 증명 개요(계속) • 다음과 같이 정의한다면, • 명제 p: R이 집합 A에 대한 동치 관계이고 a와 b가A의 원소이다. • 명제 q: [a]  [b]  . • 명제 r: [a]  [b]. • 위의 정리는 p  q  r  ~p  q  r  (p  ~q)  r. • 따라서 다음을 증명하면 된다. • R이 집합 A에 대한 동치 관계이고 a와 b가 A의 원소이고 [a]  [b]  이면 [a]  [b]이다.

  39. 분할과 동치류 • 보조정리 10.3.3(계속) • 증명 개요(계속) • R이 집합 A에 대한 동치 관계이고 a와 b가 A의 원소이고 [a]  [b]  이라고 가정하자. • [a]  [b]  이므로 어떤 x가 존재하여 x[a]이고 x[b]이다. • 정의에 의해, x R a이고 x R b이다. • R은 동치 관계이므로 대칭적이고 이행적이다. • 따라서, a R b이다. • 보조정리 10.3.2에 의해 [a]  [b]이다.

  40. 분할과 동치류 • 정리 10.3.4 • R이 집합 A에 대한 동치 관계이면, R의 서로 다른 동치류는 A를 분할한다. 즉, 동치류의 합집합은 A가 되고 서로 다른 두 동치류의 교집합은 공집합이다. • 증명 개요 • 서로 다른 동치류들을 A1, A2, …, An이라 하자. • 다음의 두 사실을 증명해야 한다. • A A1A2 … An. • AiAj이면 Ai Aj  .

  41. 분할과 동치류 • 정리 10.3.4(계속) • 증명 개요(계속) • A A1A2 … An: • A A1A2 … An: • 임의의 xA를 가정하자. • x R x이므로(반사적), 정의에 의해, x[x]이다. • 따라서, 어떤 i가 존재하여 xAi이다. • 그러므로, x  A1A2 … An이다. • A1A2 … An A: • 임의의 x  A1A2 … An를 가정하자. • 어떤 i가 존재해서 xAi이고 Ai  A이므로 xA.

  42. 분할과 동치류 • 정리 10.3.4(계속) • 증명 개요(계속) • AiAj이면 Ai Aj  : • AiAj를 가정하자. • 어떤 a,bA가 존재하여 Ai  [a]이고 Aj  [b]이다. • 가정에 의해, [a]  [b]이다. • 보조정리 10.3.3에 의해 [a]  [b]  이다. • 따라서, Ai Aj  이다.  보조정리 10.3.3 • R이 집합 A에 대한 동치 관계이고 a와 b가 A의 원소라고 하면, [a]  [b]   또는 [a]  [b]이다.

  43. 동치 관계 • 예제 • 이산수학을 수강하는 학생들의 집합 A • A에 대해 정의된 이항 관계 R • (x, y)AA, x R y  x와 y는 같은 학년이다. • R은 A를 분할한다.

  44. 동치 관계 • 예제 • A Z  (Z– {0}), A에 대한 이항 관계 R •  (a, b), (c, d)  A, (a, b) R (c, d)  ad  bc. • R은 반사적, 대칭적, 이행적이다. • R의 동치류는 무엇? • 예를 들면, [(1, 2)]  {(1, 2), (–1, –2), (2, 4), …} • 그럼 무엇?

  45. 동치 관계  산술학과 집합 이론 • 유리수를 동치류로 정의 가능 • 덧셈과 곱셈 또한 관계를 사용하여 정의 가능 • 즉, 유리수 체계를 정수의 순서쌍으로 정의 가능 • 정수는 양의 정수의 순서쌍으로 정의 가능 • 순서쌍은 집합을 사용하여 표현 가능 • 양의 정수는 집합을 사용하여 정의 가능 • 실수는 유리수의 집합을 사용하여 정의 가능 • 실수 체계는 집합과 논리로만 정의 가능

  46. 10.4 부분순서 관계 The “real” mathematics of the “real” mathematicians, the mathematics of Fermat and Euler and Gauss and Abel and Riemann, is almost wholly “useless.” …It is not possible to justify the life of any genuine professional mathematician on the ground of the “utility” of his work. — G. H. Hardy, A Mathematician’s Apology, 1941

  47. 부분순서 관계 • 시험 범위 아님

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