Politecnico di Milano – III Facoltà di Ingegneria

1. Politecnico di Milano – III Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Nucleare Anno Accademico 2004-2005 Chaos and Nonlinear Dynamics in Financial and Nonfinancial Time Series: Evidence from Finland Mattia Gazzola Matricola: 666333 Corso di Caos Deterministico e sue Applicazioni

2. INTRODUZIONE SCOPO DELL’ARTICOLO: Analisi di 10 serie temporali di natura economica per rilevare la presenza di eventuali non linearità. CONTENUTI: • Sguardo ai dati utilizzati nell’analisi • Breve presentazione delle statistiche discriminanti utilizzate • Risultati ottenuti sulle singole serie in questione (modelli univariati) • Analisi di cross-correlazione fra i diversi momenti delle serie (modelli multivariati) • Conclusioni Politecnico di Milano

3. I DATI Le osservazioni di tutte le serie sono state registrate mensilmente in Finlandia tra il 1922 e il 1994 per un totale di 893 osservazioni per ogni serie. LE DIECI SERIE: • Industrial production • Bankruptcies • Terms of trade • Real exange rate index • Yeld on long term government bonds • Consumer price index • Wholesale price index • Banks’ total credit supply • Narrow money • UNITAS (Helsinki) stock exange index Reali Nominali Politecnico di Milano

4. I DATI NOTE: • La qualità generale delle serie è nel complesso buona • Solo le serie n° 5 e 9 sono in qualche modo deficienti: nella nona alcuni dati sono frutto di stime, mentre nella quinta i tassi, per alcuni periodi sono stati fissati amministrativamente e dunque non riflettono genuinamente l’andamento del mercato Politecnico di Milano

5. LE STATISTICHE TEST Oltre a tutta una serie di statistiche “tradizionali” nell’analisi si farà uso delle seguenti statistiche discriminanti: THE BDS TEST FOR CHAOTIC PROCESS Il test è stato originalmente costruito per evidenziare la presenza di caos deterministico, ma risulta molto efficace anche per testare la presenza di altre forme di non linearità. DEFINIZIONE DI DIMENSIONE DI CORRELAZIONE: La dimensione di correlazione è una stima della dimensione frattale e fornisce informazioni sulle caratteristiche topologiche della serie. Data una serie temporale di dati Y=(y(0), y(1), …. , y(N)) ed una dimensione di embedding m si costruisce la serie vettoriale delle uscite ritardate X=(…, xm,t-1, xm,t) Politecnico di Milano

6. LE STATISTICHE TEST dove xm,t è il vettore delle uscite ritardate così definito xm,t=(y(t), y(t-1), … , y(t-m+1)) Si definisce inoltre la grandezza dove T=N-m+1. Se per  piccolo Cm( )  d Allora d è la dimensione di correlazione che viene così definita: Politecnico di Milano

7. LE STATISTICHE TEST Variabile puramente casuale Caos deterministico d cresce monotonicamente con m. Cioè d invade tutto lo spazio di embedding d si mantiene costante Quindi posso valutare d(m) al variare di m e vedere se la dimensione di correlazione si mantiene costante. In alternativa posso effettuare il TEST BDS Politecnico di Milano

8. LE STATISTICHE TEST IPOTESI NULLA: xt,m è indipendentemente e identicamente distribuita STATISTICA DISCRIMINANTE: (m,) = stima della deviazione std Se BDS “grande” rifiuto l’ipotesi nulla Infatti sotto l’ipotesi nulla, fissati m ed : Cm,T()  C1()m, per T Politecnico di Milano

9. LE STATISTICHE TEST DIFFICOLTA’: • La potenza del test dipende in modo cruciale da  • Cm() satura per  troppo grande • Cm()0 per  0 in quanto la serie non è infinita • La serie è affetta da rumore Politecnico di Milano

10. LE STATISTICHE TEST Mappa logistica Vs Rumore Bianco Politecnico di Milano

11. LE STATISTICHE TEST Politecnico di Milano

12. LE STATISTICHE TEST THE HURST EXPONENT: Permette di classificare una serie in termini di persistenza (“antipersistenza”) dei meccanismi di generazione dei dati, quindi distingue tra serie casuali e non casuali. COME SI CALCOLA: • Si valuta la deviazione cumulativa Xt, su  periodi: dove: ei=afflusso all’anno i M=la media ricorsiva di ei su  periodi Politecnico di Milano

13. LE STATISTICHE TEST • Si calcola il range tra il massimo ed il minimo di Xt, : R=max(Xt, )-min(Xt, ) • Dal seguente modello “range riscalato” si ricava H: dove: S=deviazione standard delle osservazioni originali =costante Politecnico di Milano

14. LE STATISTICHE TEST Se H=0.5 Se H0.5 La serie è random walk Le osservazioni non sono più indipendenti, cioè posseggono memoria degli eventi precedenti In particolare: H<0.5 H>0.5 Il sistema è antipersistente, cioè alti valori nel periodo precedente preludono con alta probabilità bassi valori nel successivo Il sistema è persistente, cioè “trend-enforcing” Politecnico di Milano

15. LE STATISTICHE TEST THE RAMSEY IRREVERSIBILITY TEST: L’irreversibilità nel tempo è un concetto che è utile nell’analisi di possibili asimmetrie (nonlinearità) STATISTICA DISCRIMINANTE: K=ampiezza massima dell’intervallo di dati considerato Se La serie è reversibile Politecnico di Milano

16. RISULTATI SULLE SERIE L’analisi statistica tradizionale non supporta l’ipotesi di modelli lineari L’analisi della dimensione di correlazione non è consistente con un comportamento caotico di bassa dimensione Politecnico di Milano

17. RISULTATI SULLE SERIE BDS risulta invece molto alto suggerendo che il meccanismo di generazione dei dati sia nonlineare. L’ipotesi nulla è respinta in tutti i casi. Politecnico di Milano

18. RISULTATI SULLE SERIE La stima di H, ben al di sopra di 0.5, ci dice che i dati contengono alcune proprietà di memoria. A conferma di ciò mischiando casualmente i dati questa memoria si perde e H0.5 Politecnico di Milano

19. RISULTATI SULLE SERIE Si può anche stimare quanto sia “lunga” la memoria dei dati a partire dal cambio di pendenza di R/S Forte persistenza per circa 200 punti (16 anni) poi cambio di pendenza con H0.5 Cambio di pendenza Anche il test di irreversibilità di Ramsey evidenzia segni di nonlinerità in tutte le serie Politecnico di Milano

20. ANALISI DI CROSS CORRELAZIONE Lo scopo di questa analisi è unicamente quello di evidenziare eventuali correlazioni esistenti fra le diverse variabili attraverso la statistica di Portmanteau RISULTATI: In accordo con i risultati ottenuti con i modelli univariati anche in questo caso il test suggerisce la presenza di fenomeni di lunga memoria applicati ai co-movimenti di differenti variabili, sia nominali che reali. Politecnico di Milano

21. CONCLUSIONI • Le analisi empiriche evidenziano chiaramente la presenza di nonlinearità sia nel caso univariato che multivariato • Il caos deterministico non appare una probabile spiegazione per queste nonlinearità • Sembrano emergere alcune differenze tra variabili nominali e reali • Emergono alcune differenze tra comportamento nel lungo e breve periodo Politecnico di Milano

22. BIBLIOGRAFIA • Kari Takala, Matti Virén Chaos and nonlinear dynamics in financial and nonfinancial time series: Evidence from Finland European Journal of Operational Research 93 (1996) 155-172 Politecnico di Milano