Csom ó elm élet

1. Csomóelmélet Gáspár Merse Előd 2004. március 23.

2. Egy csomó mindenre jó! • Az inkák bürokratikus jegyzőeszköze: a quipu Az inka birodalmi hivatalnokok még a XVI. században is ún. Quipucamayocs - ok voltak, azaz csomókötők. Az ő feladatuk volt a csomózás és a csomójelek magyarázata.

3. A szimbolikus jelentésű kelta csomók A kelta csomók a VII. sz. környékén kerültek írországba. Az önmagába záródás az örökkévalóságot szimbolizálja, az egyes csomók pedig: barátságot, szerencsét, könnyeket ...

4. A hegymászók, barlangászok, hajósok csomói életeket menthetnek • A halászok, bűvészek mesterségéhez is elengedhetetlen a csomókötés

5. Alapfogalmak • Csomódiagram (síkábrázolás,projekció) • Csomók, láncok, fonatok Hurokbog (hollandi csat) Whitehead-lánc Fonat (gubanc)

6. Matematikai precizitással… Az alábbihoz hasonló végtelen csomókkal most nem szeretnénk foglalkozni!

7. A csomóelmélet kezdete • Johann Frederich Carl Gauss (1775 –1855 ) • Felvetette az alapproblémát: miként lehet eldönteni a csomódiagram alapjánkét csomóról, hogy ekvivalensek-e? • Bevezette két csomó ún. hurkolódási együtthatóját. • Tanítványai elkezdtek foglalkozni a csomók osztályozásával. Két csomó ún. hurkolódási együtthatója A két C1 és C2csomóban folyjon áram, amik B1 és B2 mágneses térerősségeket határoznak meg.

8. Lord Kelvin, William Thomson (1824–1907 ) • Kitalálta az éter gondolatát, és úgy gondolta, az atomok csomót formálóörvények a láthatatlanéterben. • Peter Guthrie Tait • (1831–1901 ) • Megpróbálta a kereszteződési szám szerint osztályozni a csomókat. A jelöléseit még ma is használjuk. • Kelvin elmélete alapján remélte, hogy a csomók osztályozásának megoldásával megoldódik az atomok osztályozása is. • Tait volt az első, aki rámutatott a csomók és síkgráfok közti kapcsolatra.

9. Csomók irányított síkgráffá alakítása

10. Tait táblázata a legfeljebb 7 kereszteződési számú prímcsomókra

12. Kurt Reidemeister • (1893 –1971 ) • Két csomódiagram pontosan akkor definiálja ugyanazt a csomót, ha megkaphatók egymásból a reidemeister-lépések véges sokszori alkalmazásával. • 1932-ben befejezte a csomók osztályozását 9 kereszteződési számig.

13. Bizonyítás (vázlat) szakaszonként folytonos kategóriában • Definiáljuk a ∆-lépést: Egy szakaszonként folyt. csomó egy szakaszának 2 végpontja legyen x és y. Legyen y olyan térbeli pont, hogy az xyz- háromszög az xy-szakasz kivételével diszjunkt a csomótól. Ekkor az xy-szakasz [xz][zy] töröttvonalra való cseréjét nevezzük ∆-lépésnek. • Megmutatható, hogy a ∆-lépések a csomók ekvivalenciáját generálják, azaz ha 2 csomó ekvivalens, akkor véges sok ∆- lépéssel, vagy annak inverzével átvihetők egymásba. • A ∆-lépések vetületei a síkon pontosan a Reidemeister- lépések. Q.E.D.

14. Csomóinvariánsok A csomóinvariánsok a csomó deformálásával nem változnak • Egyszerű csomóinvariánsok: komponensek száma, • kereszteződési szám. • Alexander-polinom (James W. Alexander,1928) • Jones-polinom (Vaughan F. R. Jones,1984) • HOMFLY-polinom (az előzők általánosítása,1985) A csomóinvariánsok kiszámításának módszerei • Kibogozási reláció (John Horton Conway) • Kauffman féle-állapotmodell

15. Kibogozási reláció A Jones-polinom kiszámításának lépései: • A kibogozni kívánt csomót irányítással látjuk el, és • kiválasztunk egy kereszteződést, melynek alapján 3 • csomót hozunk létre. L+ L- L0 • A kibogozási reláció így szól • A triviális csomó Jones-polinomja 1, azaz

16. Példa A legegyszerűbb 2 db triviális csomó kiszámítása Háromlevelű csomó kiszámítása Menetrend

17. Kauffman-féle állapotmodell • Az összes kereszteződést egymással nem kapcsolódó • körökre bontjuk az összes lehetséges módon az • alábbi 2 átalakítás segítségével A A-1 • A lánc ún. zárójeles polinomja: ,ahol Az összes kereszteződésbeli A és A-1-ek szorzata A körök száma az előálló diagramban • A zárójeles polinomból helyetteséssel kapjuk • a Jones-polinomot (egy hatványszorzó erejéig).

18. Példa A Hopf-lánc kiszámítása A2 AA-1=1 AA-1=1 A-2 2 1 1 2

19. A HOMFLY-polinom • A bogozó-reláció általánosításával kapjuk az • alábbi relációt, ami polinomok végtelen seregét • definiálja. • n=0 az Alexander-polinomnak, • n=1 a Jones-polinomnak felel meg. • Az egyváltozós polinomok végtelen serege • egyértelműen kiterjeszthető egy kétváltozós • polinommá, ezt nevezzük HOMFLY-polinomnak.

20. Alternáló csomók • Alternáló diagram: Ha elidulunk a diagram egy • tetszőleges pontjából, akkor a diagram görbéje • felváltva halad felül és alul. • Alternáló csomó: Létezik alternáló diagramja. Alternáló diagram Nem alternáló diagram • A legtöbb csomó alternáló. Az első nem alternáló • csomó 819. • Megoldatlan probléma: 3 dimenziós definíciót adni • az alternáló csomókra a diagram említése nélkül.

21. További Megoldatlan problémák • Mikor ekvivalens egy csomó azinverzével? (Egy • irányított csomó inverze a tükörképe ellentétes • orientációval). • Mely csomókból kapunk triviális csomót, ha a minimális számú kereszteződést tartalmazó diagramjukon 1 kereszteződésben végrehajtjuk az alábbi transzformációk valamelyikét? • A háromlevelű lóhere az egyetlen olyan csomó, amelynek van olyan realizációja a térben, hogy nincs olyan sík, mely érintené 3 vagy több pontját a csomónak?

22. Borromean rings & n-Borromean links • Ha az egyik komponenst elvágjuk, akkor az egész • darabokra esik szét.

23. Csomók a részecskefizikában • Az alábbi fonatra úgy is tekinthetünk, mint részecskék • pályáira. • Az idő teljen felfelé. • A kétfajta kereszteződés jelöljön kétféle kölcsönhatást a • részecskék között. • A lokális maximumban legyen annihiláció. • A lokális minimum jelölje részecskék keletkezését.

24. Csomók a statisztikus fizikában az Ising-model története • Az Ising-model Ernst Ising (W. Lenz) doktori • disszertációja volt 1924-ben. • Azóta számos neves tudós hivatkozott rá (Lenz, • Heisenberg, Kramers, Montroll, Wannier, Kubo, • Onsager). • És számos fizikán kívűli területen is jelentős • eredményeket ért el (neurális hálózatok, • madárcsapatok mozgása, szívkamrák verése, • szociológiai modelek ). • 1969 és 1997 között több mint 120 000 cikk jelent • meg az Ising-modellel kapcsolatban!

25. APotts-model • A vektor Potts-model (1952) az Ising-model • általánosításaolymódon, hogy a spinek q diszkrét • irányban állhatnak.(q=2 az Ising-model ). • Q=2,3,4 esetén 2 dimenzióban ismert a megoldása • Potts által. • A ma standard Potts-modelnek hívott modelt Potts • ugyanabban a cikkben közölte megjegyzésként. • Q=2 standard Potts-model ekvivalens a q=2 vektor • Potts-modellel J2=-2J1 esetén, és q=3-nál pedig • 2J2=-3j1 esetén.

26. Q>2 modeleknek q=2-től eltérő kritikus exponensei • vannak. • q>5 és q=5-re elsőrendű fázisátalakulás van 2 • dimenzióban. • Bevezethető külső tér: • Az állapotösszeg (Z) számolása meglehetősen nehéz • probléma. Jones mutatott rá, hogy meglepő • kapcsolat van a csomóelmélettel ezen a téren. • Kiderül, hogy az álapotösszeg számolása • csomóinvariánsokat szolgáltat.

27. Csomóelmélet a molekuláris dinamikában • A DNS egy komplikáltan felcsavarodott és • összegubancolódott csomó, amit enzimek • “bogoznak” ki. • A csomóelmélet segítségünkre van abban, hogy • megbecsülhessük, milyen nehéz is a DNS-t • kicsomózni, s ezzel információt nyerjünk az enzimek • működésére és tulajdonságaira.

28. Irodalomjegyzék • Rimhányi Richárd: Csomók és 3-sokaságok (MAFIHE jegyzet, 1995) • Vaughan F. R. Jones: Knot Theory and Statistical Mechanics (Scientific American, November, 1990) Linkek • http://www.earlham.edu/~peters/knotlink.html • http://mathworld.wolfram.com/Knot.html • http://en.wikipedia.org/wiki/Knot_theory