非線形方程式に対する反復解法

非線形方程式に対する反復解法

非線形方程式とは？ 方程式　　　f（x）＝０　　（f（x）はxの関数） f（x）は線形（一次）　　 f（x）＝ax + b f（x）は非線形　　それ以外の関数

コンピュータ＋アルゴリズムの利用 反復解法 xを繰り返し更新、近似的な解を求める反復解法の必要性一次、二次の方程式：　公式を使えば簡単！三次の方程式：　頑張れば手計算で解けるかも… 一般の非線形方程式：　手計算で解くのはほとんど無理

反復解法の種類 • 二分法 • はさみうち法 • 割線法（セカント法） • ニュートン‐ラフソン法 • 減速ニュートン法今週説明来週説明

f（c）＝０ f(b)>0 a c b f(a)<0 二分法（その1）「中間値の定理」に基づく方法

f(b)>0 f(c)の絶対値は大きい a b f(a)<0 c=(a+b)/2 二分法（その2） • f(a)<0 なる aと f(b)>0 なる b を求める 2．　c=(a+b)/2 とおく 3．　 f(c) の絶対値が十分小さい => 終了 4．　f(c)>0 ならば b = c,f (c)<0 ならば a = cとおく 5．　1へ戻る f(c)>0 なので b = c

c=(a+b)/2 f(b)>0 a b f(a)<0 f(c)の絶対値はまだ大きい二分法（その３） 2．　c=(a+b)/2 とおく 3．　 f(c) の絶対値が十分小さい => 終了 4．　f(c)>0 ならば b = c,f (c)<0 ならば a = cとおく 5．　1へ戻る f(c)<0 なので a = c

a a b b b 方程式の解が見つかる！二分法（その4） f(b)>0 f(a)<0

f(b)>0 a c b f(a)<0 はさみうち法（その1）二分法の場合：はさみうち法の場合： f(c)>0 なので b = c

c a b f(a)<0 はさみうち法（その2） f(b)>0 f(c)<0 なので a = c

a f(b)>0 a 方程式の解が見つかる！ b b f(a)<0 はさみうち法（その3）

反復解法の性能評価 よい反復解法とは？ • わかりやすい • プログラムを組みやすい • 反復回数が少ない • 解の精度が良い • 　f(x)　の絶対値がほとんど０

今週の課題（その１） １.　レポート用紙に書かれた関数に対して自分の手で二分　　　法・はさみうち法を実行し、解を求めよ。また、二分法及びはさみうち法それぞれが得意・不得意　　とするする関数はどのようなものか、自分の考えを　　　　　述べよ。　　締め切り：12月15日（金）11時まで　　　　　　　　　　問題1：所定のレポート用紙に書いて提出問題2,3：PCを使って提出

今週の課題（その２） 2.　はさみうち法のプログラムを作れ。　　（二分法のプログラムを参考に） 3.　下記の3種類の方程式に対して二分法、はさみうち法を　　適用し、反復回数および解の精度を比べて2つの解法を　　評価せよ。なお、上記の式の中で a =学籍番号の下二桁目（０の場合は１０） b = 学籍番号の下一桁目（０の場合は１０）　とする。例えば、A0071321の学生の場合　a = 2, b = 1

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