مسئله بازسازی گراف

1. مسئله بازسازی گراف آمنه فرهادیان

2. فهرست • معرفی مسئله • مروری بر کارهای انجام گرفته • استفاده از تبدیل فوریه برای حل مشتقی از مسئله

3. معرفی مسئله • صورت ساده و جذاب • توسط کلی در پایان نامه دکتری درسال 1942برای درخت ها ثابت کرد. • سه سال بعد توسط اولام • ایده های مسئله به 1929 می رسد. • برای گراف های جهت دار و گراف های نامتناهی درست نیست.

4. مسأله بازسازی گراف(1942)

5. تلاش های انجام گرفته • بازسازی ویژگی های گراف • تعداد رئوس، تعداد یال ها، دنباله درجات،... • اهمیت این کار؟ • بازسازی کلاس هایی از گراف ها • درخت ها، گراف های اویلری،...

6. ویژگی‌های قابل بازسازی • تعداد رأس‌ها و یال‌ها • دنباله درجات گراف • همبندی گراف • عدد استقلال و عدد خوشه‌ای • دنباله درجه همسایه‌های هر رأس • تعداد یال‌های میان همسایه‌های هر رأس • چندجمله‌ای رنگی و عدد رنگی • تعداد زیرگراف‌ها (با شرایط)

7. ویژگی‌های قابل بازسازی • تعداد دورهای ‌هامیلتونی • کمر و محیط گراف • تعداد مسیرهای هامیلتونی • چندجمله‌ای رنگی و عدد رنگی • چند جمله‌ای مشخصه گراف • طیف گراف

8. لم کلی، فن شمارش

9. سوال • صورت لم کلی مربوط به تعداد زیر گراف های از مرتبه حداکثر n-1 است. چگونه می توان تعداد دورهای هامیلتونی که زیرگرافی n راسی است، شمرد؟

10. گراف‌های قابل بازسازی • گراف‌های منتظم • گراف‌های اویلری • گراف‌های ناهمبند • درخت‌ها • گراف‌هایی که درجات ممکن برای رأس‌های آن حداقل دو واحد با هم اختلاف داشته باشند. • کلاس گراف‌های مسطح قابل تشخیص استو گراف‌های مسطح ماکسیمال قابل بازسازی اند.

11. گراف‌های قابل بازسازی

12. وضعیت گراف های قابل بازسازی

13. مسئله بازسازی و تقارن در گراف • گراف نامتقارن: گراف G ای که Aut(G)=I • تقریبا تمام گراف ها نامتقارن اند.

14. تقریبا همه گراف ها قابل بازسازی اند.

16. مسائل مشتق شده • مسئله بازسازی یالی • توسط هرری در سال 1964 • حدس: هر گراف ساده با حداقل چهار یال قابل بازسازی یالی است. • قابل کاهش به مسئله بازسازی راسی • باز سازی گراف سوئچینگ • توسط استنلی در سال 1985 • گراف از روی دسته کارتی که از سوئیچ تک تک رئوس بدست آمده است، قابل بازسازی است.

17. گراف سوئیچ شده

18. بازسازی از روی دسته کارت سویچ شده • استنلی 1985: • به ازای nهایی که بر چهار بخش پذیر نیستند، گراف از روی دسته کارت سوئیچ شده قابل بازسازی است.

20. تبدیل فوریه • تابع f ازZ2k به R است. • تبدیل فوریه تابع f به صورت زیر تعریف می شود. تبدیل رادون

21. بازسازی سوئیچینگ • تابع مشخصه Г • بنابراین تبدیل فوریه آن • لم: تبدیل رادون وارون پذیر است اگر وفقط اگر تبدیل فوریه تابع مشخصه Г هرگز صفر نشود.

23. بازسازی سوئیچینگ • همه گراف های n راسی برچسب دار • فضای برداری تمام ترکیبات خطی عناصر بالا • تعریف تابع

24. بازسازی سوئیچینگ • لم: تابع بالا وارون پذیر است اگر و فقط اگر n بر چهار بخش پذیر نباشد. برهان: را به صورت طبیعی با متناظر می کنیم. به ازای راس i ، Ci را ستاره K1,n-1 با مرکز xi می گیریم. قرار دهید تابع f

25. بازسازی سوئیچینگ • بنابراین • بنابر لم گفته شده Ф وارون پذیر است اگروفقط اگر

26. برچسب برداری • گروه تمام جایگشتهای که با جایگشت دادن راسها روی عمل می کند. • اگر نگاشت برچسب برداری f را تعریف می کنیم • اگر ، آنگاه • پس یک برچسب برداری است

27. بازسازی سوئیچینگ • قضیه اگر n بر 4 بخشپذیر نباشد، آنگاه گراف از روی دسته کارت سوئیچ شده قابل بازسازی است. به عبارت دیگر برهان: داریم

28. برهان قضیه • قضیه برهان: داریم پس

29. برهان قضیه • وقتی n بر 4 بخشپذیر نباشد، با توجه به لم قبل خواهیم داشت • که نتیجه مطلوب است.