Chap i t re 5

1. Chapitre5 Choix et demande

2. Rationalité économique • Un consommateur choisit un panier préféré dans l’ensemble des paniers disponibles. • Ensemble des paniers disponibles = ensemble de budget. • Nous avons vu au chapitre précédent ce qu’on voulait dire par « préféré » • Nous voulons dans ce chapitre intégrer ces deux dimensions (ensemble de budget et préférences)

3. Rationalité économique • Notre objectif: étudier comment le panier choisi par le consommateur est affecté par des changements exogènes dans les prix ou dans la richesse du consommateur. • Important: Les prix et/ou la richesse changent mais les préférences ne changent pas.

4. Programme mathématique (PC) décrivant le choix rationnel sous-contrainte

5. Le programme mathématique (PC) • A toujours au moins une solution (théorème de Bolzano-Weirstrass) • Une solution est un panier qui est préféré par le consommateur à tous les autres paniers disponibles • Peut on obtenir une intuition géométrique sur ce choix rationnel ?

6. Choix Rationnel sous contrainte x2 x1

7. Choix Rationnel sous contrainte Utilité x2 x1

8. Choix Rationnel sous contrainte Utilité x2 x1

9. Choix Rationnel sous contrainte Utilité x2 x1

10. Choix Rationnel sous contrainte utilité x2 x1

11. Choix Rationnel sous contrainte utilité x2 x1

12. Choix Rationnel sous contrainte utilité x2 x1

13. Choix Rationnel sous contrainte utilité x2 x1

14. Choix Rationnel sous contrainte utilité Disponible mais pas optimal x2 x1

15. Choix Rationnel sous contrainte Le préféré parmiles paniers Disponibles. Utilité disponible, mais pas optimal. x2 x1

16. Choix Rationnel sous contrainte Utilité x2 x1

17. Choix Rationnel sous contrainte Utilité x2 x1

18. Choix Rationnel sous contrainte x2 Utilité x1

19. Choix Rationnel sous contrainte x2 Utilité x1

20. Choix Rationnel sous contrainte x2 x1

21. Choix Rationnel sous contrainte x2 paniersdisponibles x1

22. Choix Rationnel sous contrainte x2 Paniers disponibles x1

23. Choix Rationnel sous contrainte x2 Paniers préférés Paniers disponibles x1

24. Choix Rationnel sous contrainte x2 Paniers préférés Paniers disponibles x1

25. Choix Rationnel sous contrainte x2 x2* x1 x1*

26. Choix Rationnel sous contrainte x2 (x1*,x2*) est le panierpréféré dans l’ensembledes paniers disponibles. x2* x1 x1*

27. Choix Rationnel sous contrainte • Le panier préféré dans l’ensemble des paniers disponibles (solution du programme PC) est appelé DEMANDE MARSHALLIENNE • Cette demande Marshallienne est une fonction (si solution unique) ou une correspondance (si solution multiples) des prix et de la richesse. • On note cette relation fonctionnelle x1*(p1,p2,R) et x2*(p1,p2,R).

28. Choix rationnel sous contrainte • Lorsque C = Rn+et xi* > 0 pour tous les biens i, le panier demandéest ditINTERIEUR. • Si acheter (x1*,…,xn*) coûteR eurosalors la contrainte budgétaire est saturée.

29. Choix Rationel sous-contrainte x2 (x1*,x2*) est intérieur. (x1*,x2*) sature la Contrainte budgetaire. x2* x1 x1*

30. Choix Rationnelsous Constrainte x2 (x1*,x2*) est intérieur.(a) (x1*,x2*) sature la C. B.p1x1* + p2x2* = R. x2* x1 x1*

31. Choix Rationnel sous Contrainte x2 (x1*,x2*) est intérieur .(b) Lapente de la courbed’indifférence à (x1*,x2*) est égale à la pentede la droite de budget. x2* x1 x1*

32. Choix Rationnel sous contrainte • (x1*,x2*) satisfait2 conditions: • (a) la contrainte budgétaire est saturée p1x1* +…+ pnxn* = R • (b) lapente de la droite de budget, -pi/pj, et la pente de la courbe d’indifférence passant par (x1*,x2*) sont égales à (x1*,x2*).

33. Choix Rationnel sous contrainte • La condition (a) sera vérifiée par tout choix d’un panier préféré dès lors que les préférences sont localement non-saturables (que le panier demandé soit intérieur ou non) • La condition (b) ne sera vérifiée que si le panier choisi est intérieur.

34. Comment résoudre PC ?

35. Comment résoudre PC ? • Puisque la contrainte budgétaire est saturée (si les préférences sont localement non-saturables) on peut écrire • p1x1* +…+ pnxn* = R  • x1* = (R - p2x2*-…- pnxn* )/p1

36. (PC) devient donc:

37. Les solutions intérieures de ce programme (sans contrainte) satisfont (si dérivabilité) les conditions de 1er ordre:

38. Et donc:

39. Si les préférences sont convexes, ces conditions sont en fait SUFFISANTES pour indiquer un panier optimal

40. Plus précisément un panier (x1*,…xn*) qui satisfait:

41. Déterminer les demandes marshalliennes: un exemple Cobb-Douglas • On se rappelle que les préférences Cobb-Douglas se représentent par la fonction d’utilité.

42. Déterminer les demandes marshalliennes: un exemple Cobb-Douglas • Si les préférencesse représentent par. • Alors

43. Déterminer les demandes Marshalliennes un exemple Cobb-Douglas. • Donc le TMSest

44. Déterminer les demandes Marshalliennes un exemple Cobb-Douglas. • Donc le TMSest • A (x1*,x2*), TMS = -p1/p2donc (A)

45. Déterminer les demandes Marshalliennes un exemple Cobb-Douglas. • Puisque (x1*,x2*) sature également la contrainte budgétaire, on a (B)

46. Déterminer les demandes Marshalliennes un exemple Cobb-Douglas.. • Nous savons donc que (A) (B)

47. Déterminer les demandes Marshalliennes un exemple Cobb-Douglas.. • Nous savons donc que • Substituons dans (B) (A) (B)

48. Déterminer lesdemandes Marshallienneun exemple Cobb-Douglas. • Nous savons donc que (A) Substituons (B) Pour obtenir Ce qui se simplifie pour donner ….

49. Déterminer lesdemandes Marshallienneun exemple Cobb-Douglas .

50. Déterminer les Demandes Marshalliennes – un exemple Cobb-Douglas. En substituant pour x1* dans On obtient