第四章　随机变量的数字特征习题课

第四章　随机变量的数字特征习题课

一、本章主要内容 • 数学期望 • 方差 • 协方差、相关系数 • 矩、协方差矩阵

二、本章要求 • 理解数学期望、方差的概念，掌握它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望和方差。 • 要熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差。 • 理解契比雪夫不等式，要会用契比雪夫不等式作简单的概率估计。 • 了解协方差、相关系数的概念，掌握它们的性质与计算。 • 理解二维正态随机变量的不相关与独立的等价性。 • 理解矩的概念，了解协方差矩阵。

三、常见分布的数学期望与方差

四、范例分析： • 例1、如果ξ服从0-1分布, 又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍, 求ξ的期望和方差. • 解：由题可知ξ的分布率为因此有Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)=2/3,

例2、连续型随机变量ξ的概率密度为 又知Eξ=0.75, 求k和a的值。解: 由性质得即k=a+1 (1) 即k=a+1 (1) 又知得k=0.75a+1.5 (2) 由(1)与(2)解得:即a=2, k=3.

例3、一批零件中有9个合格品和3个次品, 在安装机器时, 从这批零件中任取一个, 如果取出的是次品就不再放回去. 求取得第一个合格品之前, 已经取出的次品数的数学期望和方差. • 解: 假设在取到第一个合格品之前已取出的次品数为ξ, 则可算出因此有

例4、已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的期望值.例4、已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的期望值. • 解: 假设ξ为取出5个产品中的次品数, 又假设ξi 为第i次取出的次品数, • 即, 如果第i次取到的是次品, 则ξi =1否则ξi =0, i=1,2,3,4,5, ξi服从0-1分布,而且有 • P{ξi =0}=90/100, P{ξi =1}=10/100, i=1,2,3,4,5 • 因此, E (ξi )=10/100=1/10, • 因为因此有

例5：设随机变量X的概率密度为 1)求D（X）, 2)求

例6、已知某种股票每股价格X的平均值为2元，标准差为0.1元，求m,使股价超过2+m元或低于2-m元的概率小于10%。(提示:利用切比雪夫不等式)例6、已知某种股票每股价格X的平均值为2元，标准差为0.1元，求m,使股价超过2+m元或低于2-m元的概率小于10%。(提示:利用切比雪夫不等式) 解:由切比雪夫不等式令

例7、 解: (1)

第四章随机变量的数字特征 例8、解：

例9、两个随机变量ξ与η, 已知Dξ=25, Dη=36, ,计算D(ξ+η)与D(ξ-η). • 解:

例10、(ξ,η)的联合概率分布如下表所示, 计算ξ与η的相关系数ρ, 并判断ξ与η是否独立? 解: 由上表的数据的对称性可知ξ与η的边缘分布一样, 算出为: P(ξ=-1)=P(η=-1)=3/8 P(ξ=0)=P(η=-0)=2/8 P(ξ=1)=P(η=1)=3/8 由对称性可知Eξ=Eη= . 因此cov(ξ,η)=E(ξη)-E(ξ)E(η)=0,则ρ=0 而P(ξ=0,η=0)=0≠P{ξ=0}P{η=0}=1/16,因此ξ与η不独立. 这是一个随机变量间不相关也不独立的例子.

五、练习题

六、练习题参考答案：

第四章 随机变量的数字特征 习 题 课