第二章：平面体系的几何组成分析

1. 第二章：平面体系的几何组成分析 • §2-1概　述§2-2平面体系的自由度 • §2-3平面体系的几何组成分析

2. §2-1　概　述 平面杆件结构，是由若干根杆件构成的能支承荷载的平面杆件体系，而任一杆件体系却不一定能作为结构。8888 本节内容：研究结构的组成规律和合理形式。 前提条件：不考虑结构受力后由于材料的应变而产生的微小变形，即把组成结构的每根杆件都看作完全不变形的刚性杆件。一、术语简介（图２-1-1） １、几何不变体系：在荷载作用下能保持其几何形状和位置都不改变的体系称之。 ２、几何可变体系：在荷载作用下不能保持其几何形状和位置都不改变的体系称之。

3. ３、刚片：假想的一个在平面内完全不变形的刚性物体叫作刚片。在平面杆件体系中，一根直杆、折杆或曲杆都可以视为刚片，并且由这些构件组成的几何不变体系也可视为刚片。３、刚片：假想的一个在平面内完全不变形的刚性物体叫作刚片。在平面杆件体系中，一根直杆、折杆或曲杆都可以视为刚片，并且由这些构件组成的几何不变体系也可视为刚片。 　刚片中任一两点间的距离保持不变，既由刚片中任意两点间的一条直线的位置可确定刚片中任一点的位置。所以可由刚片中的一条直线代表刚片。

4. 二、研究体系几何组成的任务和目的： １、研究结构的基本组成规则，用及判定体系是否可作为结构以及选取结构的合理形式。 ２、根据结构的几何组成，选择相应的计算方法和计算途径。

5. §2-2　平面体系的自由度 一、 自由度的概念 　　体系可独立运动的方式称为该体系的自由度。或表示体系位置的独立坐标数。 平面体系的自由度：用以确定平面体系在平面内位置的独立坐标数。

6. （图2-2-2）上３所示，为平面内一根链杆ＡＢ，其一端Ａ和大地相连，显然相对于大地来说这根链杆在平面内只有一种运动方式，即作绕Ａ点转动，所以该体系只有一个自由度。同时又可看到，如果用链杆ＡＢ与水平坐标的夹角作为表示该体系运动方式的参变量，即表示该体系运动中任一时刻的位置，表示体系位置的参变量数与体系的自由度数也是相等的。所以，该体系的自由度数为１个。（图2-2-2）上３所示，为平面内一根链杆ＡＢ，其一端Ａ和大地相连，显然相对于大地来说这根链杆在平面内只有一种运动方式，即作绕Ａ点转动，所以该体系只有一个自由度。同时又可看到，如果用链杆ＡＢ与水平坐标的夹角作为表示该体系运动方式的参变量，即表示该体系运动中任一时刻的位置，表示体系位置的参变量数与体系的自由度数也是相等的。所以，该体系的自由度数为１个。 平面内最简体系的自由度数： 　一个点：在平面内运动完全不受限制的一个点有２个自由度。 　一个刚片：在平面内运动完全不受限制的一个刚片有３个自由度。（图２-2-1）

8. 二、约束概念　当对体系添加了某些装置后，限制了体系的某些方向的运动，使体系原有的自由度数减少，就说这些装置是加在体系上的约束。约束，是能减少体系自由度数的装置。二、约束概念　当对体系添加了某些装置后，限制了体系的某些方向的运动，使体系原有的自由度数减少，就说这些装置是加在体系上的约束。约束，是能减少体系自由度数的装置。

9. １、单约束（见图２-2-2）　连接两个物体（刚片或点）的约束叫单约束。１）单链杆（链杆）（上图）　一根单链杆或一个可动铰（一根支座链杆）具有１个约束。２）单铰（下图）　一个单铰或一个固定铰支座（两个支座链杆）具有两个约束。３）单刚结点　一个单刚结点或一个固定支座具有３个约束。１、单约束（见图２-2-2）　连接两个物体（刚片或点）的约束叫单约束。１）单链杆（链杆）（上图）　一根单链杆或一个可动铰（一根支座链杆）具有１个约束。２）单铰（下图）　一个单铰或一个固定铰支座（两个支座链杆）具有两个约束。３）单刚结点　一个单刚结点或一个固定支座具有３个约束。

10. ２、复约束　连接３个（含３个）以上物体的约束叫复约束。１）复链杆：若一个复链杆上连接了Ｎ个结点，则该复链杆具有(2N-3)个约束，等于(2N-3)个链杆的作用。２）复铰：若一个复铰上连接了Ｎ个刚片，则该复铰具有2(N-1)个约束，等于(N-1)个单铰的作用。２、复约束　连接３个（含３个）以上物体的约束叫复约束。１）复链杆：若一个复链杆上连接了Ｎ个结点，则该复链杆具有(2N-3)个约束，等于(2N-3)个链杆的作用。２）复铰：若一个复铰上连接了Ｎ个刚片，则该复铰具有2(N-1)个约束，等于(N-1)个单铰的作用。

11. 三、多余约束 　在体系上加上或撤除某一约束并不改变原体系的自由度数，则该约束就是多余约束。

12. §2-3　平面体系的几何组成分析 一、几何不变体系的简单组成规则规则一　（两刚片规则）：（图2-3-1） 　　　两个刚片用不全交于一点也不全平行的三根链杆相连，组成无多余约束的几何不变体系。　或：两个刚片用一个单铰和杆轴不过该铰铰心的一根链杆相连，组成无多余约束的几何不变体系。＊虚铰的概念：　虚铰是由不直接相连接的两根链杆构成的。虚铰的两根链杆的杆轴可以平行、交叉，或延长线交于一点。　当两个刚片是由有交汇点的虚铰相连时，两个刚片绕该交点（瞬时中心，简称瞬心）作相对转动。　从微小运动角度考虑，虚铰的作用相当于在瞬时中心的一个实铰的作用。

14. 规则二　（三刚片规则）： 三个刚片用不全在一条直线上的三个单铰（可以是虚铰）两两相连，组成无多余约束的几何不变体系。

15. ＊铰接三角形规则（简称三角形规则）： 平面内一个铰接三角形是无多余约束的几何不变体系。 以上三个规则可互相变换。之所以用以上三种不同的表达方式，是为了在具体的几何组成分析中应用方便，表达简捷。 规则三　（二元体规则）： 二元体特性：在体系上加上或拆去一个二元体，不改变体系原有的自由度数。 　利用二元体规则简化体系，使体系的几何组成分析简单明了。

16. 例2-3-1　对下列图示各体系作几何组成分析 (简单规则的一般应用方法)。

19. 二、瞬变体系的概念　１、瞬变体系几何组成特征：二、瞬变体系的概念　１、瞬变体系几何组成特征： 在微小荷载作用下发生瞬间的微小的刚体几何变形，然后便成为几何不变体系。

22. ２、瞬变体系的静力特性：　在微小荷载作用下可产生无穷大内力。因此，瞬变体系或接近瞬变的体系都是严禁作为结构使用的。２、瞬变体系的静力特性：　在微小荷载作用下可产生无穷大内力。因此，瞬变体系或接近瞬变的体系都是严禁作为结构使用的。 　瞬变体系一般是总约束数满足但约束方式不满足规则的一类体系，是特殊的几何可变体系。 FNAB =FNAC =FP 2FNsina=FPFN =FP /(2sina )

23. 例2-3-2 对下列图示体系作几何组成分析（说明刚片和约束的恰当选择的影响）.

25. 三、三个刚片的三个单铰有无穷远虚铰情况： 　 两个平行链杆构成沿平行方向上的无穷远虚铰。 　 三个刚片由三个单铰两两相连，若三个铰都有交点，容易由三个铰的位置得出体系几何组成的结论。当三个单铰中有或者全部为无穷远虚铰时，可由分析得出以下依据和结论： 　 １、当有一个无穷远虚铰时，若另两个铰心的连线与该无穷远虚铰方向不平行，体系几何不变；若平行，体系瞬变。 　 ２、当有两个无穷远虚铰时，若两个无穷远虚铰的方向相互不平行，体系几何不变；若平行，体系瞬变。 　 ３、当有三个无穷远虚铰时，体系瞬变。

27. 例2-3-3　对下列图示体系作几何组成分析

30. 例2-3-4　对图示各体系作几何组成分析。

31. 四、有多余约束的几何不变体系： 　拆除约束法：去掉体系的某些约束，使其成为无多余约束的几何不变体系，则去掉的约束数即是体系的多余约束数。 　１、切断一根链杆或去掉一个支座链杆，相当去掉一个约束； 　２、切开一个单铰或去掉一个固定铰支座，相当去掉两个约束； 　３、切断一根梁式杆或去掉一个固定支座，相当去掉三个约束； 　４、在连续杆（梁式杆）上加一个单铰，相当去掉一个约束。

32. 例2-3-5　对图示各体系作几何组成分析。

33. 本 章 小 结 一、本章要求 　 １、了解几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系、刚片、体系的自由度、虚铰、约束及多余约束的概念； ２、重点理解并掌握平面几何不变体系的简单组成规则，并能灵活应用到对体系的分析中； 二、简单规则应用要点 　 简单规则中的四个要素：刚片个数、约束个数、约束方式、结论。 　 应用简单规则对体系进行几何组成分析的要点是：紧扣规则。即，将体系简化或分步取为两个或三个刚片，由相应的规则进行分析；分析过程中，规则中的四个要素均要明确表达，缺一不可。

34. 三、对体系作几何组成分析的一般途径 １、恰当灵活地确定体系中的刚片和约束 　体系中的单个杆件、折杆、曲杆或已确定的几何不变体系，一般视为刚片。但当它们中若有用两个铰与体系的其它部分连接时，则可用一根过两铰心的链杆代替，视其为一根链杆的作用。 ２、如果上部体系与大地的连接符合两个刚片的规则，则可去掉与大地的约束，只分析上部体系。 ３、通过依次从外部拆除二元体或从内部（基础、基本三角形）加二元体的方法，简化体系后再作分析。