Juhuslik suurus

1. Juhuslik suurus

2. Juhuslik suurus Juhuslikuks nimetatakse suurust, mis sõltub juhuslikest sündmustest ja mille väärtust pole seetõttu võimalik enne sündmuse toimumist kindlalt ennustada. Näiteid juhuslikest suurustest: • Konkreetse Web-serveri poole pöördumiste arv ööpäevas • Kümnevõistleja punktisumma võistlustel • Laskude arv märklaua tabamiseni • Keskpäevane temperatuur ilmavaatluspunktis • Vooluvõrgu pinge mõõtmise tulemus • Kartuli keskmine hektarisaak Eestis 2000. aastal • Mõõtmistulemuse viga auto kiiruse mõõtmisel

3. Diskreetsed ja pidevad juhuslikud suurused Juhuslikke suurusi tähistatakse ladina suurtähtedega X, Y, ... ja juhuliku suuruse võimalikke väärtusi indeksitega väiketähtede abil: x1, x2, ..., y1, y2, ... . Juhuslikud suurused jaotuvad kahte klassi: diskreetseteks ja pidevateks. Diskreetseks nimetataksejuhuslikku suurust, mille võimalike väärtuste hulk on lõplik või loenduv (nummerdatav). Diskreetsed juhuslikud suurused on näidetes 1, 2, 3. Juhuslikku suurust nimetatakse pidevaks, kui tema võimalike väärtuste hulk on arvtelje (lõplik või lõpmatu) vahemik. Pidevad juhuslikud suurused on näidetes 4, 5, 6, 7 .

4. Jaotustabel sisaldab juhusliku suuruse kõik võimalikud väärtused ja seetõttu Diskreetse juhusliku suuruse jaotusseadus Tõenäosus, et juhuslik suurus X saavutab ühe oma võimalikest väärtustest xi: Diskreetse juhusliku suuruse jaotusseaduseks nimetatakse vastavust tema kõikide võimalike väärtuste x1, x2, ... ja nende tõenäosuste p1, p2, ... vahel. Üheks võimaluseks on esitada jaotusseadus jaotustabelina:

5. X Jaotushulknurk e. jaotuspolügoon. Diskreetset juhuslikku suurust esitatakse sageli ka graafiliselt jaotushulknurgana e. jaotuspolügoonina, kus arvupaaridele (xi ,pi) vastavad punktid ristkoordinaadistikus on ühendatud sirglõikudega. Näide Juhuslik suurus on antud jaotustabeliga ja jaotuspolügooniga.

6. Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon. Juhusliku suuruse jaotusfunktsioonF(x) määrab tõenäosuse selleks, et juhuslik suurus on väiksem tõkkest x , s. t. F(x) = P(X < x), kus argument x võib omandada mistahes reaalarvulisi väärtusi. Jaotusfunktsioon on juhusliku suuruse universaalne iseloomustaja, mis kirjeldab võimalike väärtuste tõenäosuste jaotust. Jaotusfunktsioon on olemas nii pidevatel kui ka diskreetsetel juhuslikel suurustel. Sagedamini kasutatakse seda pideva juhusliku suuruse korral. Diskreetse juhusliku suuruse jaotusfunktsioon võrdub argumendist rangelt väiksemate väärtuste xi tõenäosuste summaga:

7. x < 0: F(x) = P(X < x) = 0 0 < x < 1: F(x) = P(X < x) = 0,0016 1 < x < 2: F(x) = P(X < x) = 0,0016+0,0256 = 0,0272 2 < x < 3: F(x) = P(X < x) = 0,0272+0,1536 = 0,1808 3 < x < 4: F(x) = P(X < x) = 0,1808+0,4096 = 0,5904 F(x) = P(X < x) = 0,5904+0,4096 = 1,0 4< x : Näide jaotusfunktsioonist I. Juhuslik suurus on antud jaotustabeliga Leiame jaotusfunktsiooni:

8. , kui x 0, , kui0 < x 1, , kui1 < x 2, , kui2 < x 3, , kui3 < x 4, , kui4 < x . F(x) 1 0,5904 0,5 0,1808 0,0272 0,0016 0 x 1 2 3 4 Näide jaotusfunktsioonist II. Seega on jaotusfunktsioon: Graafiliselt:

9. 1. ehk 2. ehk y 1 F(x) 0 x Jaotusfunktsiooni omadusi I. 3. Jaotusfunktsioon on mittekahanev (monotoonselt kasvav), s.t. kui x2 x1, siis F(x2)  F(x1). 4. 0  F(x2)  1 Jaotusfunktsiooni graafik asub sirgete y = 0 ja y = 1 vahel ja kulgeb üdiselt tõusvalt:

10. Jaotusfunktsiooni omadusi II. 5. Pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on pidev. 6. Kui on teada, et juhusliku suuruse X väärtused saavad asuda ainult vahemikus (a; b), siis rahuldab jaotusfunktsioon järgmisi tingimusi:F(x)  0, kui x a,0  F(x)  1, kui a < x < b,F(x)  1, kui x b 7. Tõenäosus selleks, et juhuslik suurus omandaks väärtusi poollõigust [a; b) on võrdne jaotusfunktsiooni juurekasvuga selles poollõigus: P(a  x < b ) = F(b) - F(a)

11. Pideva juhusliku suuruse eriomadus. Tõenäosus selleks, et pidev juhuslik suurus omandaks üksikväärtuse x1 : P(x1 X < x1 + x) = F(x1 + x) - F(x1) Leiame piirväärtuse : kuna pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on pidev. Tulemus : Pideva juhusliku suuruse korral on suuruse mistahes üksikväärtuse esinemise tõenäosus null. See tähendab, et kindel, etteantud väärtus realiseerub väga harva. Pideva suuruse korral on mõtet rääkida ainult vahemikku sattumise tõenäosusest.

12. kui x 0, kui 0 < x 2, kui x 2. Näide. Pideva juhusliku suuruse võimalikud väärtused saavad asetseda vahemikus (0; 2). Jaotusfunktsioon on järgmine: Leida kordaja a väärtus. Lahendus Kuna suurus on pidev, siis peab olema pidev ka jaotusfunktsioon F(x). Kirjutame pidevuse tingimuse punktis x = 2: = Saadud võrrandist järeldub, et a = ¼.

13. Tõenäosuse tihedus e. tihedusfunktsioon I Jaotusfunktsiooni abil on raske otsustada juhusliku suuruse käitumise üle mingi punkti ümbruses. Seetõttu kasutatakse lisaks jaotusfunktsioonile ka sellest tuletatud tihedusfunktsiooni. F(x) – juhusliku suuruse jaotusfunktsioon. Tõenäosus, et juhuslik suurus X satub poollõiku [x; x+x) on siis F = F(x+x) – F(x) Pikkusühiku kohta tuleb keskmiseks tõenäosuseks siis

14. Tihedusfunktsioon II Juhusliku suuruse tõenäosuse tiheduseksp(x) e. tihedusfunktsiooniks e. jaotustiheduseks nimetatakse keskmise tõenäosuse tiheduse piirväärtust vahemiku pikkuse x tõkestamatul kahanemisel: Tihedusfunktsioon on võrdne jaotusfunktsiooni tuletisega. Diskreetsel juhuslikul suurusel ei ole tihedusfunktsiooni, kuna vastav piirväärtus on juhusliku suuruse võimalike väärtuste kohal lõpmatu.

15. , kui x 0, , kui 0 < x < 2, , kui 2 x. Näide 1 Leida juhusliku suuruse tihedusfunktsioon, kui jaotusfunktsioon on järgmine : Lahendus 0, kui x 0, 2x / 4 = x / 2 , kui 0 < x < 2, 0, kui 2 x.

16. 1) 2) Päratu integraal = Jaotusfunktsiooni omadused Tihedusfunktsiooni omadused See omadus järeldub asjaolust, et mittekahaneva funktsiooni F(x) tuletis ei saa olla negatiivne. Tõestus mida oligi vaja näidata.

17. p(x) S=1 0 x Tihedusfunktsiooni graafik Tihedusfunktsiooniks saab olla ainult nimetatud kaht tingimust rahuldav funktsioon. Tihedusfunktsiooni graafiku põhjal on lihtne otsustada, kui sageli satuvad juhusliku suuruse X väärtused punkti x ümbrusse. Tüüpiline tihedusfunktsiooni graafik

18. Kuna siis p(x) S = P(x1 X < x2) 0 x x1 x2 Juhusliku suuruse antud poollõiku sattumise tõenäosus Juhusliku suuruse antud poollõiku sattumise tõenäosus on võrdne tihedusfunktsiooni graafiku aluse kõverjoonelise trapetsi pindalaga vahemikus (x1, x2).

19. p(x) S = F(x) 0 x x Jaotusfunktsiooni leidmine tihedusfunktsiooni kaudu Kui x1 = - ja x2 = x, siis Teiselt poolt P( - < X < x) = P(X < x) = F(x) ja seega Jaotusfunktsiooni väärtus punktis x on arvuliselt võrdne tihedusfunktsiooni graafiku aluse pindalaga abstsissist x vasakul.

20. Juhusliku suuruse tihedusfunktsioon on antud kujul Leida kordaja a väärtus, jaotusfunktsioon ja P(-1 < X < 1). Seega a = 1 / . ja Näide 2 - Cauchy jaotus (I) Lahendus Tihedusfunktsiooni 2. omaduse kohaselt peab kehtima võrdus Sellise jaotusfunktsiooniga juhusliku suuruse kohta öeldakse, et ta on Cauchy jaotusega.

21. Näide 2 (II) Jaotusfunktsioon avaldub kujul Antud vahemikku sattumise tõenäosus