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Chapter 4

Chapter 4. 連續時間訊號的 數位處理. 連續時間訊號的數位處理 -1. • 連續時間訊號的數位處理包含以下的基本步驟： (1) 連續時間訊號至離散時間訊號的轉換。 (2) 離散時間訊號的處理。 (3) 處理後，離散時間訊號至連續時間訊號的 轉換。. 連續時間訊號的數位處理 -2. • 將連續訊號轉換成一對應數位形式的介面電路 ， 稱為 類比至數位轉換器 (analog-to-digital converter, A/D) 。

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Chapter 4

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Presentation Transcript

  1. Chapter 4 連續時間訊號的 數位處理

  2. 連續時間訊號的數位處理-1 • 連續時間訊號的數位處理包含以下的基本步驟： (1) 連續時間訊號至離散時間訊號的轉換。 (2) 離散時間訊號的處理。 (3) 處理後，離散時間訊號至連續時間訊號的 轉換。

  3. 連續時間訊號的數位處理-2 • 將連續訊號轉換成一對應數位形式的介面電路，稱為類比至數位轉換器(analog-to-digital converter, A/D)。 • 相反的運算，將數位訊號轉換成類比訊號的介面電路，稱為數位至類比轉換器(digital-to-analog converter, D/A)。

  4. 連續時間訊號的數位處理-3 • 因為類比至數位轉換介面需要花費一些處理時間，所以在這段時間內必須確保輸入至轉換器的類比訊號的振幅能儘量保持定值，以降低轉換發生錯誤的機會。為達成此目的所使用的裝置稱為『取樣與維持』 (sample- and-hold, S/H) 電路。

  5. 連續時間訊號的數位處理-4 • 在 S/H 電路前通常會加上反混疊濾波器(anti-aliasing filter) 來降低混疊對訊號的傷害影響。 • D/A 轉換器的輸出訊號為一階梯狀波形，因此必須藉由一個類比重建（平滑）濾波器(reconstruction (smoothing) filter)來讓 D/A 轉換器的輸出訊號能夠平滑。

  6. 連續時間訊號的數位處理-5 • 連續時間訊號的數位處理功能方塊圖： • 因為上圖中的反混疊濾波器與重建濾波器屬於類比低通濾波器，接著我們將介紹一般常見類比濾波器設計的基礎理論。 • 同時，大部份數位濾波器的設計方法是基於其所對應類比濾波器的轉換，因此對數位訊號處理而言，類比濾波器設計的相關知識是非常有用的。

  7. 連續時間訊號的取樣-1 • 如先前所述，藉由取樣連續時間訊號可以產生離散時間訊號。 • 同時也發現，取樣一個以上不同的連續時間函數可能會產生相同的離散時間序列。

  8. 連續時間訊號的取樣-2 • 事實上，在相同的取樣頻率下，有無限多的連續時間訊號在取樣後會有相同的離散時間訊號 。 • 然而，在某些條件下，將一給予的離散時間序列對應到唯一的連續時間訊號是可能的。

  9. 連續時間訊號的取樣-3 • 若這些條件成立，我們也可能從取樣值還原回原來的連續時間訊號。 • 以下將討論上述唯一對應的關係及其相關條件。

  10. 頻域上取樣的效應-1 • 假設 ga(t) 是一個連續時間訊號，將它以 t = nT 的間隔均勻取樣而產生序列 g[n] g[n] = ga(nT), − ∞ < n < ∞ 其中 T 表示取樣週期 • T 的倒數被稱為取樣頻率 FT，也就是說：

  11. 頻域上取樣的效應-2 • 現在，ga(t) 的頻域表示法為其連續時間傅立葉轉換 (continuous-time Fourier transform，CTFT)。 • 另一方面，序列 g[n] 的頻域表示法為其離散時間傅立葉轉換 (discrete-time Fourier transform，DTFT)。

  12. 頻域上取樣的效應-3 • 為了建立以上兩個傅立葉頻譜，Ga( jΩ) 和 G(e jω)，之間的關係，我們將取樣的運算視為數學上連續時間訊號 ga(t) 與一個週期脈衝列 (impulse train) p(t) 的相乘

  13. 頻域上取樣的效應-4 • p(t) 包含一列理想脈衝，其週期為 T ，如下所示： • 相乘運算後產生一個脈衝列 gp(t)

  14. 頻域上取樣的效應-5 • gp(t) 是一個連續時間訊號，包含一列等距的脈衝，脈衝位於 t = nT 時間，而振幅則是在該時間對訊號 ga(t) 的取樣值 ga(nT)。

  15. 頻域上取樣的效應-6 • 對訊號 gp(t)，存在兩種不同形式的 Gp(jΩ) • 其中一種形式為 (t-nT)的 CTFT 的加權和 • 為了推導第二種形式，我們將 p(t) 表示為傅立葉級數 其中

  16. 頻域上取樣的效應-7 • 脈衝列 gp(t) 因此可以表示為： • 從 CTFT 的頻率移位性質， 的 CTFT 為：

  17. 頻域上取樣的效應-8 • 因此，gp(t) CTFT 的另一種形式為： • 從上式可以看出，Gp( jΩ) 是一個 Ω 的週期函數，由位移且縮放後的 Ga( jΩ) 複本所組成，其中位移量為 ΩT 的整數倍，而縮放比例為 1/T。

  18. 頻域上取樣的效應-9 • 上式右邊 k = 0 的項代表 Gp( jΩ) 的基頻 (base band) 部份，而其餘項被稱為 Gp( jΩ)的頻率平移 (frequency-translated) 部份。 • 頻率範圍 的部分被稱為基頻(base band)，或是尼奎斯特頻帶 (Nyquist band)。

  19. 頻域上取樣的效應-10 • 假設 ga(t) 是一個有限頻寬的訊號，其 CTFT 頻譜 Ga( jΩ) 如下所示： • 週期脈衝列 p(t) 的頻譜為 P( jΩ) ，且其取樣週期為 ，如下所示：

  20. 頻域上取樣的效應-11 • Gp( jΩ) 的兩種可能頻譜形式如下：

  21. 頻域上取樣的效應-12 • 從上圖中可明顯看出，若ΩT≥ 2Ωm，則 Ga( jΩ) 的各位移版本間並沒有任何重疊 。 • 另一方面，如圖所示，若 ΩT< 2Ωm，則構成 Gp( jΩ) 的各 Ga( jΩ) 位移版本之間彼此會有重疊。

  22. 頻域上取樣的效應-13 若ΩT> 2Ωm ，則藉由將 gp(t) 送經一個增益為 T 且截止頻率 (cutoff frequency) Ωc大於 Ωm 並小於 ΩT− Ωm 的理想低通濾波器 Hr( jΩ) ，則 ga(t) 可由 gp(t) 完整重建，如下圖所示：

  23. 頻域上取樣的效應-14 • 濾波器及相關訊號的頻譜如下所示：

  24. 頻域上取樣的效應-15 • 然而，若 ΩT< 2Ωm，由於 Ga( jΩ) 的位移版本彼此間重疊的緣故，造成基頻的一部份外圍頻譜被摺疊回來 (folded back)，而引起基頻的混疊 (aliasing) 失真。在此情形下，想藉由濾波將 Ga( jΩ) 分開以回復 Ga( jΩ) 是不可能的。

  25. 頻域上取樣的效應-16 取樣定理 - 假設 ga(t) 是一個有限頻寬訊號，且在|Ω| > Ωm時，其 CTFT Ga( jΩ) = 0 若 ΩT≥ 2Ωm 其中 ΩT= 2π/ T 則 ga(t) 可由其取樣值 ga(nT)，−∞< n <∞ ，來唯一決定。

  26. 頻域上取樣的效應-17 • 條件 ΩT≥ 2Ωm 通常被稱為尼奎斯特條件(Nyquist Condition) 。 • 我們通常將 頻率稱為折疊頻率(folding frequency) 或是尼奎斯特頻率(Nyquist frequency)。

  27. 頻域上取樣的效應-18 • 給予一個 {ga(nT)}，藉由產生脈衝列 gp(t) 並將它通過一個增益為 T 且截止頻率為 Ωc，並滿足 的理想低通濾波器，即可完整重建 ga(t) 。

  28. 頻域上取樣的效應-19 • ga(t) 所包含的最大頻率 Ωm 通常稱為尼奎斯特頻率 (Nyquist frequency)，因為它決定了從 ga(t) 的取樣值完整重建原訊號所必須滿足的取樣頻率最小值 ΩT= 2Ωm。 • 頻率 2Ωm 稱為尼奎斯特取樣速率 (Nyquist rate) 。

  29. 頻域上取樣的效應-20 • 超取樣 (Oversampling) - 取樣速率大於尼奎斯特取樣速率 。 • 低取樣 (Undersampling) - 取樣速率小於尼奎斯特取樣速率 。 • 臨界取樣 (Critical sampling) - 取樣速率等於尼奎斯特取樣速率 。 • 注意：若將純弦波訊號以尼奎斯特取樣速率取樣，無法從其取樣值來重建原弦波訊號。

  30. 頻域上取樣的效應-21 • 在數位電話通訊的例子中，3.4 kHz 的頻寬已足夠用於一般電話的對談 。 • 在此，我們使用8 kHz 取樣頻率，其大於可接受訊號頻寬 3.4 kHz 的兩倍。

  31. 頻域上取樣的效應-22 • 在高品質類比音樂的訊號處理中，通常需要 20kHz 的頻寬才能忠實的保持音樂中最重要的部分 。 • 因此，雷射唱片 (CD) 系統以約大於兩倍頻寬的 44.1 kHz 速率進行取樣，可以保證音樂不致因取樣而造成失真。

  32. 頻域上取樣的效應-23 • 範例- 考慮三個純弦波訊號 • 它們各自所對應的連續時間傅立葉轉換為：

  33. 頻域上取樣的效應-24 • 轉換後圖形如下：

  34. 頻域上取樣的效應-25 • 上述訊號是以 T = 0.1 秒的取樣率取樣，亦即，具有取樣頻率 弳度/秒 。 • 取樣過程將產生連續時間脈衝列 g1p(t)，g2p(t)，及 g3p(t)。 • 它們對應的連續時間傅立葉轉換為：

  35. 頻域上取樣的效應-26 • 上述 3 個脈衝列的 CTFT 如下圖：

  36. 頻域上取樣的效應-27 • 這些圖形同時指出，具截止頻率： 及增益 T = 0.1 的低通濾波器頻率響應 (以虛線表示)。 • 低通濾波器輸出的連續時間傅立葉轉換也顯示在三個圖中。 • 在 g1(t) 的例子中，取樣率滿足尼奎斯特條件，因此沒有混疊 。

  37. 頻域上取樣的效應-28 • 甚而，其重建的連續時間輸出確實是原始的連續時間訊號 g1(t) 。 • 然而，在其他兩個例子中，取樣率並不滿足尼奎斯特條件，造成混疊 ，因此其輸出皆等於被混疊的訊號。

  38. 頻域上取樣的效應-29 • 注意，在最下圖中，低通濾波器的正頻率通帶部分出現在 的脈衝是因 在 的脈衝混疊所造成。 • 另一方面，在 出現的脈衝是因 在 的脈衝混疊所造成 。

  39. 頻域上取樣的效應-30 • 我們現在來建立序列 g[n] 的離散時間傅立葉轉換和類比訊號 ga(t) 的連續時間傅立葉轉換兩者之間的關係。 • 為達此目的，我們將 與下式比較 並且利用

  40. 頻域上取樣的效應-40 • 觀察：我們得到： 或等同是 • 從上述的發現及

  41. 頻域上取樣的效應-41 • 我們得到想要的結果如下：

  42. 頻域上取樣的效應-42 • 前張投影片的結果亦可以表示為： • 從 或 可知：若代入 ，則 可以從 求得。

  43. 頻域上取樣的效應-43 • 現在，CTFT 是 Ω 的週期函數，其週期為　　　　　。　 • 因為上述的對映關係，使得離散時間傅立葉轉換 是 的週期函數，週期為 　　　　　　

  44. 類比訊號的回復-1 • 我們現在推導理想低通重建濾波器 的輸出 ，將其式子表為 g[n] 取樣值的函數。 • 藉由對下面 進行反向 DTFT，可以得到它的脈衝響應

  45. 類比訊號的回復-2 • 因此，脈衝響應為： • 假設低通濾波器的輸入為脈衝列 gp(t)

  46. 類比訊號的回復-3 • 因此，得到理想低通濾波器的輸出 為： • 將 代入上式，為了簡化，假設 ，我們可得到

  47. 類比訊號的回復-4 • 理想限頻 (bandlimited) 內插過程如下圖所示

  48. 類比訊號的回復-5 • 我們可以證明，當下式中 則在 n≠ 0 時， 且 • 因此，從 我們發現，對所有整數 r ，

  49. 類比訊號的回復-6 • 無論取樣定理條件是否被滿足，下列關係 永遠成立。 • 然而，只有當取樣頻率 滿足取樣定理條件時，對所有的時間 t，等式 才會成立 。

  50. 取樣過程所隱含的意義-1 • 再一次考慮三個連續時間訊號的取樣： ， 及 • g1(t) 取樣版本 g1p(t) 的 CTFT 繪圖如下：

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