数学课堂教学设计研究

1. 数学课堂教学设计研究 鲍建生 华东师范大学数学系 jsbao@math.ecnu.edu.cn

2. 欢迎投稿 编辑部电子信箱： sxjxzz@math.ecnu.edu.cn 在线视频介绍（忻重义）： http://jsjy.dec.ecnu.edu.cn/magazine/math/1.htm

3. 一、数学教育是一门设计科学 (Lesh, R. & Sriraman, B. 2005) 研究者与实践者合作分析实践中的问题 在现有设计原理的基础上探讨创新设计 在实践中对设计进行反复的试验与修正 通过反思改进设计原理并推动设计的应用 对问题、策略、途径及设计原理的调整 设计研究（Design Research）的基本流程

4. 设计研究的六个特点 • 干预：设计的核心是对实际问题/环境的干预； • 循环：研究过程是分析、设计、发展、评价、修正之间的多重循环 • 实践：在研究的各个阶段和活动中，都有实践者的参与 • 过程：强调理解和改进干预的过程（避免黑箱式的、只考虑输入-输出的测量） • 效用：研究的功效必须在实践中检验 • 理论：设计必须（至少部分）基于概念框架和理论假设，通过对一系列干预原型（prototype）的系统评价来建构理论 (Van den Akker, et al., 2006: 5)

5. 数学课堂教学设计研究的论文体例 • 大体上可以分以下四节： • 问题的提出（阐明拟解决的问题及其教学意义。问题可大可小，应具备：现实性、普遍性和深刻性） • 策略筛选与创意设计（收集与提炼已有的教学经验与策略，形成初步的设计原理和具体的教学设计，设计方案应有创意） • 教学实施与效果评价（将设计用于课堂教学，并跟踪评价教学效果，发现设计与实施中的问题） • 反思与改进（通过深度反思从三个方面提出改进意见：原有的设计策略/原理；具体的教学设计；教师本身的教学行为）

6. . . • 目标定位 • 任务设计 • 过程与行为 • 监控与调节 • 知能结构 • 发展阶段 • 研修方式 • 行为跟进 走进课堂，解决学与教中的实际问题 课堂教学 教师专业发展 教学的有效性 案例研究 教学实验 设计研究

7. 数学课堂教学设计研究的基本问题 • 效率：事半功倍还是事倍功半？ • 数学主干知识是什么？有哪些核心概念与思想方法？ • 数学认知水平：发展层次，差异性 • 数学学习中的困难、错误与障碍（阮晓明，傅琳） • 超越双基：数学知识、技能与能力之间有什么关系？如何培养高层次的数学认知？ • 建模与应用：类型、功能与价值（APEC项目） • 情境的创设：什么样的问题情境是有效的？ • 技术的介入：如何有效的运用技术？ • 区分教学：学困生和资优生怎么办？

8. 主题研究工作坊：高中数学十大难点概念的设计研究主题研究工作坊：高中数学十大难点概念的设计研究 阮晓明,王琴. 高中数学十大难点概念的调查研究. 《数学教育学报》, 2012年第5期

9. 不同性别教师比较

10. 不同职称教师比较

11. 不同学校的学生的比较

12. 二、数学学习的基本原理与策略 良好的认知结构在问题解决（迁移）中有重要的作用（迁移理论）； 结构化的知识应按照知识的主干有层次的推进(教学层次论) 典型例题是数学认知结构的重要成分（样例学习）； 同化和顺应是改变认知结构的基本途径（认知冲突与心理挣扎） 保持概念理解、技能训练、问题解决之间的平衡（四基） 在较大的信息单元上工作（聚焦认知根源/核心概念和思想方法） 多向思考与变式教学 双基的精熟有助于解决复杂问题，练习是技能精熟的必要条件（精致练习）； 不同的任务需要/引发不同的认知活动； 数学能力的发展需要合适的（分析）框架和任务（抓手）。

13. 建构 解释 理论与经验的互动 经验 理论 • 源于实践 • 实用 • 个人化 • 嵌于特定的情境之中 • 比较模糊，不易表征、把握和传授 • 难以跨领域的交流。 • 支持预测 • 为研究提供分析框架 • 具有解释的能力 • 能应用于广泛的现象 • 有助于对复杂现象的思考 • 作为资料分析的工具 • 提供一种深层次交流的语言

14. 1. 良好的认知结构在知识丰富领域的问题解决中有重要的作用（迁移理论） 数学思想方法 典型例题 数学双基

15. 2. 结构化的知识需要按照知识的主干有层次的推进 大学之法，禁于未发之谓豫，当其可之谓时，不陵节而施之谓孙，相观而善之谓摩。此四者，教之所由兴也。发然后禁，则捍格而不胜；时过然后学，则勤苦而难成；杂施而不孙，则坏乱而不修；独学而无友，则孤陋而寡闻；燕朋逆其师；燕辟废其学。此六者，教之所由废也。 君子既知教之所由兴，又知教之所由废，然后可以为人师也。故君子之教喻也，道而弗牵，强而弗抑，开而弗达。道而弗牵则和，强而弗抑则易，开而弗达则思；和易以思，可谓善喻矣。 ————《学记》

16. 中学数学课程发展的九条主线 (Z. Usiskin) 整数→有理数→实数→复数和向量 数的表示→代数表达式→作为关系的函数→作为对象的函数 个别图形的性质→某一类图形的一般性质 归纳推理→演绎推理（局部的演绎）→数学系统内的演绎（整体的演绎） 数的应用→运算的应用→建立函数模型 对一次测量的估计→一组数的统计；描述性统计→推断性统计 简单几何图形的全等与相似→所有图形全等与相似以及几何变换 计算器→图形计算器→计算机代数系统 把数学看作是对一堆事实的记忆→把数学看作是可以通过不同方式得到的一些相互关联的思想

17. 3. 典型例题是数学认知结构的重要成分 • 数学思维的特征之一：划归； • 平面几何中的基本图形分析法； • 样例学习（Learning by sample）

18. 化归 化归 变式2 推出 化归 变式1 推出 已知问题 推出 问题解决的变式化归 未知问题

19. 基本图形分析法 乌鲁木齐市第十三中学胡玉社

20. 4. 同化和顺应是改变认知结构的基本途径 • 认知冲突被视为心理学中认知改变理论的一个关键部分，例如，认知冲突的历程实际上就是皮亚杰图式理论中的内在自我调节系统由不平衡达到平衡的历程。 • 专家通常都是在能力的边缘上工作（潜能开发） • 在教学中如何有效地运用认知冲突是一个需要研究的问题。 • 长作业的运用 • 子曰：不愤不启，不悱不发，举一隅不以三隅反，则不复也（论语）

21. 5. 保持概念理解、技能训练、问题解决之间的平衡 • 三个馒头的故事 • 数学解题属于知识丰富领域的问题解决（匈菲尔德的研究） • 美国加州的数学课程标准：这三个要素都重要，任何一个都不能缺少或者被小觑；然而，所谓的均衡并不是把时间平均分配给这三要素。有时，学生可能在某些作业或任务中专注于某一要素；其它时候则专注于两个或三个全部。

22. 概念理解：多角度的理解（悟）

23. 技能训练：精致练习（做） 程序 特征 认知性技能 变式 活用

24. 一题多解 一题多变 一法多用 双 基——化归的基础 典型例题——化归的台阶 经验系统——化归的保证 形式化 推理与论证 数学内部的联系 问题解决：变式化归（用） 变异空间大 变式教学 题型训练 多步化归 背景简单 构建体系

25. 6. 在较大的信息单元上工作 有利于提高工作记忆的效能； 大的信息单元的激活水平也比较高，容易产生联想； 国际象棋大师头脑中的5万张棋谱。

26. 提高工作记忆的效能 • 工作记忆（working memory）是一种对信息进行暂时性的加工和贮存的能量有限的记忆系统。大量研究表明，工作记忆对于语言理解、学习、推理、思维等认知任务的完成起关键作用。 • 在十分之一秒的时间内，大脑可接收一千个信息单元 • 工作记忆的容量有限，一般为7 ± 2个信息单元。为扩大短时记忆的容量，可采用组块的方法，即将小的记忆单位组合成大的单位来记忆，这时较大的记忆单位就叫做块。 • 工作记忆系统中的信息加工可分为三个环节： • 信息贮存（storage）过程，其中的信息一般很容易消退； • 信息维持或复述（rehearsal）过程，能重新激活贮存器中正在消退的信息，即不断地重复所贮存的信息； • 执行（executive)加工过程，负责工作记忆系统中信息的控制与协调。

27. 增加信息的激活水平 ACT-R理论：基本的信息加工步骤是触发（firing）一系列用于提取某些陈述性知识并解决问题的产生式规则。提取过程的成败与速度取决于被提取的信息块的激活水平和进行提取的产生式的强度，这影响到操作的流畅性。 三种记忆的生理过程理论： (1) 信息乃物理性地被纪录在神经元中。 (2) 信息以电子信号方式被传导与储存。 (3) 信息改变了神经元的结构。

28. 7. 多向思考与变式教学 数学中的多元表征； 变式教学； 解题三部曲。

29. 多元表征

30. 标准变式 概念变式 概念性变式 非标准变式 非概念变式 精致练习 铺垫教学 过程性变式 解题三部曲 问题解决的变式化归 数学教学中的各种变式

31. 一法多用 将解法应用于多种情形 用多种方法解决同一个问题 一题多解 一题多变 通过改变条件或结论得到多种变式问题 变式三部曲 原始问题

32. 8. 精致练习 • ACT-R对教学的建议，那就是练习、练习、再练习。大量的研究都表明，高层次的能力只能通过高强度的练习。特别地，研究表明，学生花在数学上的时间与他们的数学能力有很高的相关性。 • 但是，并不是练习的次数越多越好，研究表明有一个临界值，应该在达到这个临界值时“见好就收” • Ericsson等人的研究表明，不同的练习的效果是不一样的，而只有所谓的“精致的练习”（deliberate practice）才能导致真正的学习。他们把“精致的练习”界定为具有良好的动机、接受有意义的反馈、及仔细的不断的指导与监督。

33. 9. 不同的任务需要/引发不同的认知活动 • 影响学生数学认知水平的教学因素主要有两个： • 学生所从事的数学任务，不同的数学任务需要不同的数学认知活动； • 针对高认知层次数学任务的教学策略(Quasar)。 • 保持高认知水平的七个教学要素： • ①给思维和推理搭“脚手架”； • ②为学生提供元认知方法； • ③示范高水平的操作行为； • ④维持对证明、解释或意义的强调； • ⑤任务建立在已有知识基础上； • ⑥在概念间建立联系； • ⑦适当的探索时间。

34. 10.数学能力的分析框架

35. 中小学生数学能力结构 • 1. 获得数学信息 • A. 对于数学材料形式化感知的能力；对问题形式结构的掌握能力。 • 2. 数学信息加工 • 在数量和空间关系，数字和字母符号方面的逻辑思维能力；对数学符号进行思维的能力。 • B. 迅速而广泛地概括数学对象、关系和运算的能力。 • C. 缩短数学推理过程和相应的运算系统的能力；以简短的结构进行思维的能力。 • D. 在数学活动中心理过程的灵活性。 • E. 力求解答的清晰、简明、经济与合理。 • F. 迅速而自如地重建心理过程的方向、从一个思路转向另一个相反思路的能力（数学推理中心理过程的可逆性）。 • 3. 数学信息保持 • A. 数学的记忆（关于数学关系，类型特征，论据和证明的图式，解题方法及探讨原则的概括性记忆）。 • 4. 一般综合性组成成分 • A. 数学气质。

36. 美国2061计划：五种核心数学能力 • 概念理解：理解数学概念、运算及关系 • 流畅的运算能力：灵活地、准确地、有效地及适当地实施数学程序 • 选择策略的能力：能形成、表征及解决数学问题 • 适当的推理能力：逻辑思维、反思、解释及辩证的能力 • 数学的鉴赏力：相信数学是合理的、有用的和有价值的

37. PISA数学素养（2012） 內容領域 改變與關係：函數、代數、方程式 空間與形狀：座標系統、幾何測量 數量：數與單位、四則計算、百分比 不確定性：抽樣、機率、資料變異性 情境 个人：购物、饮食 职业：预算表使用 社会：选举、经济 科学：医学、天气 交流 建模 工具 使用 探究 策略 符号 演算 表征 推理

38. F2 1 分析 运用 领会 概念 计算 F1 0 1 青浦实验的目标分类

39. 数学核心能力的七个成分 数学地解决问题 数学交流 经验材料的数学组织 数学材料的逻辑组织 数学理论的应用 从数学角度提出问题 数学表征 数学符号变换 数学推理与论证 数学建模

40. 谢 谢 ！