消费者理论

1 消费者理论

第一章：消费理论 • 基本概念 • 偏好关系和效用函数 • 消费者的优化问题 • 间接效用函数和支出最小化 • 需求的特征

本章属于经典消费理论。其中大多数原理我们已经在中初级微观经济学中学习过。但是在那里，这些原理来自于生活经验的归纳，而没有严格的证明。本章属于经典消费理论。其中大多数原理我们已经在中初级微观经济学中学习过。但是在那里，这些原理来自于生活经验的归纳，而没有严格的证明。 • 本章的内容是严格的从消费者偏好开始通过数学推导出整个经典消费理论。由于生产者和消费者是一对对偶，在行为上非常相似，因此，有了严格建立在数学推导上的消费者理论和生产者理论就为整个微观经济学科学性有了保障。 • 本章的学习，重点在于理解现代微观经济学是如何从消费者偏好——效用函数——选择——需求建立起科学的消费者理论的。

1.1 基本概念 • 现代消费者理论----这个给经济学的诸多理论结构奠定根基的学说的基本特征. • 要思考消费者理论怎样被设想,被构造和被应用. • 任何有关消费者选择的模型里,存在四大构造区域,它们分别是消费集,可行集,偏好关系与行为假定. • NOTE:消费者理论本质上是丰富多彩富有弹性的选择理论.

微观经济学几个关键概念 • 需求与欲望:欲望是为所欲为;需求是在欲望的驱动下一种有条件的,可行的,又有最优选择使欲望达到的一种满足. • 偏好:指对物品的喜欢程度,或主观评价.经济学描述偏好的概念有两个:一个叫消费集(consumption set),又称选择集(choice set),即你究竟要什么?另一个是偏好关系(preference relation),即你对想要的物品组合次序(rank). • 价格:价格是对人们无穷欲望的限制.因为资源稀缺. • 收入:手中的钱财. • 价格与收入的组合,构成预算集(budget set),又称可行集. • 当选择集里的偏好关系与可行集或预算集有公切线时,就形成需求,需求是选择集与预算集在可分但又相切时的产物.

1.1基本概念 • 定义:消费集X代表一切备择物或整个消费计划的集合,即它们是消费者能够设想到的集合,不管其中的一些在实践中获得与否.消费集有时可称选择集. • 我们令x=(x1,…, xn)为一个向量,它包含n个不同数量的商品,并称x 为消费束或消费计划. 效用概念的演化:穆尔(Mill),埃奇沃斯(Edgeworth)的古典或新古典理论中,效用是主观的,如何测量是个问题. 帕累托(Pareto,1896)率先对效用可以测量表示怀疑; 斯拉茨基(Slusky,1915)第一次不用可测量的效用函数推导出需求理论. 希克斯(Hicks,1939)指出,边际效用递减律既不是必要也不充分. 德布鲁(Debreu,1959)完成了标准的消费理论的推导,其所用的效用概念只依赖于偏好关系.

消费集X的性质 • 消费集的最低条件是: • XRn+ • X是闭集; • X是凸集; • 0X. • 可行集B代表一切可以选择的消费计划(不仅想的到而且做得到); • BX:可行集是选择集的子集.

1选择集 2可行集 4行为假设 3偏好关系 1.2、偏好关系和效用函数 • 问题：1.无差异曲线为什么是我们常见的那种形状？ • 2.怎样用一个函数描述偏好关系？ • 1、偏好关系: • ①关系、两元关系： • ②两元关系的定义：定义在消费集上，反映消费集中任意两个点之间的关系：如果有，则对该消费者而言，“至少和一样好”，或者，“在和之间，消费者弱偏好”

1.2.1 偏好关系 • 消费者偏好是以公理化为特征的. • 消费者选择公理构建的目的在于:为消费者行为的基本方面及其对选择对象的态度给予正式的数理表达. • 定义:在消费集X上的二元关系≿代表消费者偏好.如果 x1≿x2,我们称对于这个消费者“x1与x2至少一样好”. • 公理1 完备性.对于所有属于X集的两个选择x1与x2,要么x1≿x2,要么x2≿x1. • 公理2 传递性.对于所有属于X集的任何三个元素x1,x2, x3,如果x1≿x2,x2≿ x3 ,则, x1≿x3. • 满足公理1,2形成所谓的“理性”.

定义1.1 偏好关系 如果消费者X上的二元关系≿满足公理1与公理2,那么,此关系被称为一种偏好关系. 定义1.2 严格偏好关系消费集X上的二元关系≻被定义如下: x1≻x2,当且仅当x1≿x2且x2≵x1 关系≻被成为由≿引出的严格偏好关系. “x1≻x2”被称为“x1可被严格偏好于x2” 定义1.3 无差异关系消费集X上的二元关系∼被定义如下: x1∼x2,当且仅当x1≿x2,且x2≿x1 关系∼被称为由≿引出的无差异关系.

定义1.4 由偏好关系引出的X中的集合 • 设x0是消费集X中的任意一点,相对于这样任意一点,我们将定义X的如下子集: • 上优集:≿(x0){xxX,x≿x0} • 下劣集:≾(x0){xxX,x≾x0} • 严格上优集:≻(x0){xxX,x≻x0} • 严格下劣集:<(x0){xxX,x<x0} • 无差异集:∼(x0){xxX,x∼x0}

x2 xx0 x0 x ≿ x0, x≠x0, x0≿ x, x≠x0, x2

x2 ≻(x0) x0 < (x0) x1 图1:满足公理1与2的假说性偏好公理3：连续性公理： • 对于所有的xRn+,上优集≿(x),与下劣集≾(x),都是闭于Rn+,(定理A1.4)。 • 连续性公理保证偏好逆转不会突然出现. • 等价的理解:{yn}至少与x一样好(可以不比x好),当yn收敛于y,那么,y也至少同x一样好(可以不比x好). • 排除了偏好图上的间断点。

公理4：局部非饱和性公理： x2 • 对于所有的x0Rn+，对于所有的ε﹥0，始终存在着某个xBε(x0)∩Rn+,有x≿ x0。 • 任意一点的邻域必有一点优于此点。这是单调性的一般化。而单调性的意义在于：任意一点的东北方向之点必优于此点。 • 局部非饱和性是说效用函数在三维图象中没有极值点和平台。或者说不存在“无差异区域”. ≻(x0) x1ε x0 <(x0) x1 图1.2:满足公理1,2与3的假说性偏好

x2 ≻(x0) x0 < (x0) 图1.3:满足公理1,2,3与4的假说性偏好 x1

公理4:严格单调性. • 对于所有x0, x1Rn+，如果x0≥x1,那么, x0 ≿x1;另一方面,如果x0>>x1 ,那么, x0 ≻x1. NOTES:公理4表明, 1.如果一个消费束所包含的每种商品的数量至少同另一个消费束的一样多,那么,这个消费束至少同另一个消费束的一样好. 2.如果一个消费束所包含的每种商品的数量多于另一个消费束,那么,这个消费束一定好于另一个消费束. 3.公理4说明数量上的比较可以是偏好上的比较. 4.公理4蕴涵公理4.故如果偏好满足公理4,自然满足公理4.

x2 x1 x0 x2 x1 图1.4:满足公理1,2,3与4的假说性偏好 x2 x1 ≻(x0) xt x2 x0 (x0) x1 NOTES 5.公理4消除了无差异曲线斜率为正的可能性. 6.公理4要求上优集应处在无差异曲线上方,而下劣集位于无差异曲线下方. 7.图1.4x0东北部分和西南部分的点肯定不与x0同在无差异集. 上优的在无差异集的上方,下劣集在无差异集的下方.见图1.5. 图1.5:满足公理1,2,3与4的假说性偏好

凸性及消费者偏好凸性解释 公理5凸性.如果对所有x1≿ x0,那么,对所有 t[0,1],tx1 +(1-t)x0≿ x0 更强的结论公理5严格凸性.如果x1≠ x0,并且x1≿ x0,那么,对所有 t(0,1),tx1 +(1-t)x0≻x0 NOTES: 1.公理5或公理5连同公理1,2,3,4将会排除无差异集中凹向原点的部分,如图1.5西北部分.说明:如果无差异集两个不同点x1, x2,由于x1, x2并且x0无差异,显然有x1≿ x2,那么, xt将处在<(x0)集合内,与公理5或者公理5矛盾. 2.发展消费理论附加公理5与5不会丧失消费理论的一般价值. 3.公理5是闭区间,而公理5是开区间.

消费者偏好凸性解释 x2 x1 xt x2 x0 x2 x1 图1.6:满足公理1,2,3,4与 5或5的假说性偏好 4.从几何上理解,看图1.6,凸向原点,曲线的切线斜率为负 5.凸性起到消除极端的作用.假设x1x2.把x1中的x1 x2与x2.中的x1 x2比较, x1中x1 x2比x2.中x1 x2比较“极端”比如多, 但x1中x1 x2凸组合xt,会消除这种极端,还是无差异. 6.描述消费者偏好凸性的含义的另一方法是更关注无差异曲线的“曲率”.当X=Rn+时，无差异曲线斜率（的绝对值）被称为边际替代率．在任何一点，此斜率度量了消费者希望放弃x2以换取x１的比率，以便在交换以后效用仍旧的无差异的． 7.公理5或者5表明,当消费者拥有更多x1与更少x2时,他不愿意放弃x2,而换取x1 ,即是消费理论中的边际替代率递减原理.

消费者公理评估 • 完备性与传递性公理描述了这样一个消费者，即他能在被择物中作出一致的比较． • 连续性公理旨在保证在拓扑学上精致得“至少一样好”与“比其劣”的集合的存在性，并且其主要目的是数理性的考虑． • 其他所有公理则用于刻画消费者在所选择的物品上的偏好的特征．包括凸性所展现的非饱和形式以及平衡性问题．

1.2.2 效用函数 • 在现代理论中,效用函数只是一个精确地总结包含在消费者偏好关系中的信息----既不多也不少的方便工具.有时,偏好关系及其相关集易于进行恰当分析. • 而其它时间,特别是当人们愿意利用微积分方法时,采用效用函数更便于分析.在现代理论中,偏好关系被当作偏好的最基本的特征,效用函数只”代表”或总结由偏好关系所传递的信息. • 效用函数是将偏好分析转化成函数分析. • 偏好关系—集合论;效用函数—函数论—最优化

边际效用（两物品）边际替代率 物品i的边际效用物品i替代物品j的边际替代率, 注意取的是绝对值当u(x)在Rn++上可微,并且是严格单调时,u(x)/ xi>0,(i=-1,……n), 当偏好严格为凸时,边际i替代率总是严格递减的. 更为一般,对于任何拟凹效用函数,二阶偏导的海赛矩阵H(X)满足 yH(X)y≤0,对于所有y,使得u(x)y=0

消费者最优解的性质

定义1.5 代表偏好关系≿的效用函数 • 如果对于所有x0,x1ℝn+,u(x0) u(x1)  x0≿x1,那么,实值函数u:ℝn+→ℝ被称为代表偏好关系的一个效用函数. • 用效用函数代替偏好关系进行研究时,对消费理论中的许多问题的分析将会被大大简化. • 可以证明任何一个具备完备性,传递性与连续性的二元关系才能被用一个连续实值函数来表达.

x2 u(x) u(x)e 1 450 x1 u(x) 1 定理1.1 代表偏好关系的实值函数的存在性 • 如果二元关系≿ 是完备的,可传递的,连续性的及严格单调的,那么,必存在一个连续的实值函数u: ℝn+→ℝ,它一定代表≿ . • 可以把定理1.1理解为桥梁定理;从偏好关系到效用函数的桥梁;或者说,从集合论到函数论转化的桥梁;是工具的转化. • 此定理是一个存在性定理. 图1.7构造影射u:ℝn+ ℝ+

ℝn+  R X  u(x) u(x)e 向量函数 向量与X无差异证明： • 假设≿是完备的、可传递的、连续和严格递增的。设e ≡ (1,……,1)R+是一个单位向量。并考虑映射(一个连续的实值函数)u:ℝn+→ℝ,使 • u(x)ex 引入单位向量的目的是使实数值与消费组合对应起来如果这样一个u(x)存在，并且如果能证明它是连续的，那么，我们就找到了一个实值函数它可以描述偏好关系。 1.u(x)存在：考虑的上优集和下劣集 A={t≥0|te≿x}, B={t≥0|te≾x}, • 证明两点:是否存在这个u,这个u是否唯一? 函数单调,或者偏序关系,对所有的t>t,tA,蕴涵,tA可以看出A必定是 [t, ∞] 形式的闭区间,同样B=[0, t̃],也是R+内的闭区间.

R+= A∪B= =[0, t̃]∪ [t, ∞],t̃≤t A∩B≠ 那么,存在一个t* A∩B，使得,t*ex，这样，令u(x)=t*就是我们要寻找的实值函数。我们已经证明：由于A,B都是闭的，显然这样一个t*存在（参见书p14） • 唯一性是为了保证效用函数定义良好如果不是唯一的，那么就可能有许多效用函数了。 • 假设t不为一，存在t1、t2 • 因为t1ex, t2ex • 所以, t1e t2e 所以, t1=t2 • 这样，我们就给效用函数u(x)赋了值，它给每个消费组合X分派了一个数字， • 2.u(x)=t唯一

现在，我们要证明： • 3.效用函数u(x)代表了偏好关系 • 设u(x1) t1ex1, ， u(x2) t1ex2, x1≿ x2, (P.2)  u(x1)ex1≿x2u(x2)e, (P.3)  u(x1)e≿u(x2)e (P.4)  u(x1)≥u(x2) (P.5) (P.2)(P.3)由u的定义推出, (P.3)(P.4)由偏好关系≿和等价关系的传递性及u的定义推出, (P.4)(P.5)由偏好关系的严格单调性。

4、效用函数是连续的 • (根据定理A1.6:连续性与其逆象的关系定理) • 设D是ℝn的一个子集，如下条件是等价的： • 1、f:D→ℝn是连续的 • 2、对于ℝn内的每个开球，f-1(B)内也是开的。 • 定理表明，对于连续函数，值域内的开球在定义域内的逆象也是开球。 • 对于效用函数U(x)(a,b)，其逆象

本章第一次课到此结束 根据偏好关系的连续性，≾(ae)和≽(be)在X=R+是闭的,所以 (ae)和 (be)是补集,所以在X=R+是开的效用函数u(x)是连续的。

定理1.2 效用函数对正单调转换的不变性 • 令≿是ℝn+上的一个偏好关系,并设u(x) 是一个代表此偏好关系的效用函数.对于每个x,当且仅当v(x)=f(u(x))----这里f: ℝ→ℝ,在由u所确定的值集上是严格递增的,那么v(x)也代表偏好关系≿. 问题的提出:定理1.1在偏好关系与连续函数关系之间建立了桥梁. 但是,u可以表达,v=u+3,或者, V=u2也可以表达,表达并不唯一; 关键是连续函数能保持偏序关系的排序,这是本质的问题.

效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数：为什么？效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数：为什么？定理1.3：效用函数的正向单调变换不变性定理： • 设≿是u: ℝn+上的偏好关系，u(x)是反映此偏好关系的效用函数，对于每一个x，当且仅当，v(x)=f(u(x)),其中，f: ℝ→ℝ,在定义域上严格递增时，函数v(x)也反映该偏好关系。定理1.4：偏好关系和效用函数的特征：设u: ℝn+→ℝ,反映偏好关系，有 U(x)严格递增≿严格单调 U(x)拟凹≿为凸集 U(x) 严格拟凹≿为严格凸集 • 有了效用函数后我们就可以用微积分而不是集合论来分析问题了。

x2 x1 1.3消费者选择 • 消费者选择能够支付得起的最优商品组合。 • “支付得起”——预算集，“最优”——偏好关系 • 消费者偏好：偏好是完备的、可传递的、连续的、严格单调和严格凸的。这种偏好关系可以用一个是值函数u表示，该函数是连续的、严格递增的和严格拟凹的。 • 消费者偏好用无差异图表示：图1.8 满足假设1.2的偏好的无差异图

预算集： y/p2 p2/p1 B y/p1 x1 x2 • 预算集B是x的可行消费品与价格及收入的集合, • 预算集图形及斜率： • 消费者问题： • 消费者从预算集中选择最偏好的商品组合（点）x*： • X*B，且对于所有的， X*B,有x* ≿ x。图1.9 两种商品情形中预算集

消费者从预算集中选择最大化效用函数的点x*：消费者从预算集中选择最大化效用函数的点x*： (P1.5) 消费者的问题：此最大化问题是否有解：是否有唯一解：

y/p2 X* X2* y/p1 x1 X1* 图1.10消费者的效用最大化问题的解定理A1.10 (威尔斯拉斯)极值的存在性设.f:S→R是连续实值映射—这里S是Rn的一个非空的紧子集,那么,存在一个向量x*S与xS,使得: f(x)≤f(x)≤f(x*) 对所有xS.

Y Y I减少 PX下降 I增加 0 0 X X X商品价格变动对预算线的影响收入变动对预算线的影响马歇尔需求函数定义 • 效用函数u(x)称为直接效用函数,即效用是消费计划x=(x1,…,xn)的函数,给定价格向量p(p1,…,pn)与y,消费者可以解出最优消费量x*=(x1*,…,xn*).在二维空间里, x1*=x1(p,y)和x2*=x2(p,y). • 问题是,如果p1,p2的相对关系发生了变化,收入水平y发生变化,那么,最优消费量也会跟着发生变化.

马歇尔需求函数. • 解向量x*依存于消费者问题的参数.因为它对于即定的p与y的值是唯一的.我们可以把(1.5)的解视为一个由价格与收入集到数量集X=Rn+的一个函数.因此,我们可以把x*写成xi*= xi(p,y),i=1,…,n;或者采用向量x*= x(p,y); • 当x*被看成p与y的函数时,效用最大化问题的解就是所谓的普通或者马歇尔需求函数.

预算线的斜率： 无差异曲线的斜率： y/p2 X* X2* y/p1 x1 • （注意这个条件） X1* 图1.10消费者的效用最大化问题的解 • 解得马歇尔需求函数x*=x(p,y) 两维空间：预算线和无差异曲线之间的关系相交→ 相切→不相交预算线与无差异曲线相切：

图1.11消费者问题与消费者需求行为 x2 X* x1 x2 (a) x1 (a) NOTES 1.消费者问题与消费者需求行为之间的关系图1.11： 2.收入不变,商品1的价格发生变化,对商品1和2变化的替代关系; 3.(b)图表达从消费者均衡中的价格变化引致的消费函数.

(1.6) 构造拉格朗日函数： L(X,λ)=u(x)+ λ(y-Px) 一阶条件：加边海赛矩阵为负半定二阶条件：马歇尔需求函数x*=x(p,y) 解: 拉格朗日方法求消费者问题的解：假设效用函数u(x)连续可导，可以用拉格朗日方法求消费者问题的解：（1）根据偏好关系的严格单调性定理，约束条件必然为px=y

(2）不等约束条件下的极值Kuhn－Tucker定理： 构造拉格朗日函数：一阶条件：加边海赛矩阵为负半定二阶条件：解: 得马歇尔需求函数x*=x(p,y)

定理1.4消费者一阶条件的充分性 • 设u(x)在Rn+上是连续且拟凹的,并且(p,y)>>0是(1.10)的解,那么,在价格为p和收入为y的条件下,x*是消费者效用最大化问题的解.

例题1：消费者的效用函数为， 求马歇尔需求函数。解：设商品1和商品2的价格分别为p1,p2>0，消费者收入为y>0。消费者的决策为：构造拉格朗日函数：

解得马歇尔需求函数： • 最优解(x1,x2,λ)满足一阶条件：

消费者的最大效用为： • 间接效用函数为：

(E.1) (E.2) (E.3) (E.4)

(E.5) (E.6) (E.7) (E.8) (E.9)

x2 (E.10) (E.11) 方程(E.8)与(E.9)为消费者问题(E.1)的解,他们是消费者的马歇尔需求函数.如果定义参数r=p/(p-1).则方程(E.8)与(E.9)可以改写为: x1 NOTES: 1.消费者问题的解只依存其参数p1,p2,与y.不同的价格与收入,通过(E.10)与(E.11),将赋予每种物品不同的需求量. x2 p1 x1

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