Erwartungswert

1. Erwartungswert Aufgabe 7.1. Präsentation von Bastian Obst und Franz Zeh

2. Gliederung • Aufgabenstellung , Lösungswege und Definition • Kritische Analyse unter (fach-)didaktischen Gesichtspunkten • Neue Aufgabe und Lösung • Definition Erwartungswert • Modell- und Beobachtungsebene • Quellen

3. Aufgabenstellung

4. 1. Lösungsweg

5. 2. Lösungsweg

6. Kritische Analyse unter (fach)- didaktischen Gesichtspunkten Einordnung im Rahmenplan • Erwartungswert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung: Thema Oberstufe 11,12, Leistungskursniveau (II Anwendung, Vertiefung und Systematisierung) • Zufallsgrößen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilung ( Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung), s. S 36f. Rahmenlehrplan für die gymnasiale Oberstufe

7. Kritische Analyse unter (fach)- didaktischen Gesichtspunkten • Welche allgemeinen Kompetenzen nach Rahmenplan werden angesprochen? • Sachkompetenz: Inhalte (Lösungen 1 und 2) verstehen, Ordnungen und Strukturen (Tabelle 1,2 und 3) erkennen • Methodenkompetenz: Umgang mit Medien (Buch), Begründung und Überprüfung von Annahmen ( der Lösungen 1 und 2)

8. Kritische Analyse unter (fach)- didaktischen Gesichtspunkten • Soziale Kompetenz: Eingehen auf (Buch-)Argumente • Personale Kompetenz: Entscheidungen fällen und begründen (Lohnt sich das Spielen von Glücksautomaten? Kann ich damit mein Taschengeld aufstocken?)

9. Kritische Analyse unter (fach)- didaktischen Gesichtspunkten • Welche prozessbezogenen mathematischen Kompetenzbereiche werden angesprochen? • Schöpferisch tätig sein, kreativ sein, Problem lösen: Zusammenhänge (Lösung 1 und Lösung 2) erkennen, nutzen und (später) auf ähnliche Situationen übertragen (Analogie bilden) • Argumentieren: Aussagen (Lösung 1 und Lösung 2) hinterfragen und überprüfen, Zusammenhänge erkennen (Erwartungswert) und Netzwerke bilden ( Wie berechne ich Erwartungswert E(x)?), Begründungen (Lösungen 1 und 2) suchen und nachvollziehen

10. Kritische Analyse unter (fach)- didaktischen Gesichtspunkten • Mathematisieren/ Modellieren: Sachtexten, Darstellungen (Tabellen in Lösung 1 und 2) etc. relevante Informationen entnehmen (filtern) • Formalisieren: Darstellungen (Lösungen 1 und 2 bzw. Tabelle 1 und 2) miteinander vergleichen und bewerten • Kommunizieren: Lösungswege andere verstehen und gemeinsam darüber reflektieren

11. Kritische Analyse unter (fach)- didaktischen Gesichtspunkten Mögliche Lernziele der Unterrichtsstunde • SuS lernen Erwartungswert kennen • SuS können mit Erwartungswert argumentieren • SuS können Erwartungswert anwenden • (SuS können Erwartungswert auch bei Variation anwenden)

12. Kritische Analyse unter (fach)- didaktischen Gesichtspunkten • Intelligenzentwicklung nach Piaget • Das viere Stadium der formalen Operationen wird angesprochen (kein Bild oder Automat vorhanden), Beginn des hypothetisch-deduktiven, formal abstrakten Denkens (nur Text und Tabellen vorhanden)

13. Kritische Analyse unter (fach)- didaktischen Gesichtspunkten • Operative Prinzipien (Zech) • Prinzip der Stufengemäßheit: Denkentwicklung verläuft von mehr konkret handelnden zu formal abstraktem Denken (hier nur Text und formal abstrakte Denken per Vorstellung der Lösungswege 1 und 2 vorhanden)

14. Kritische Analyse unter (fach)- didaktischen Gesichtspunkten • Prinzip der Verinnerlichung und Verzahnung der Darstellungsebenen: Auf jede (praktische) Handlung folgt eine Phase der Reflexion zu konkreter, formaler und symbolischer Ebene (enaktive Ebene ist nicht geboten, ikonische Ebene sind Tabellen, Kasten der Definition, Reflexion der Lösungswege 1 und 2, symbolische Ebene: Inhalt der Definition)

15. Kritische Analyse unter (fach)- didaktischen Gesichtspunkten • Prinzip der Variation des Unwesentlichen: Vermeidung falscher Vorstellungen • Variation der Veranschaulichungsmittel (Text und Tabellen) • Mathematische Variation auf ikonischen Ebene: (nur Tabellen vorhanden) • Variation der Anwendungsgebiete (nicht vorhanden da Einführung) • Prinzip des operativen Durcharbeitens: • Systematische Variation der Ausgangssituation: (Nicht vorhanden) • Variation des Lösungsweges: (Ja, zwei Lösungen) • Variation der gesuchten Größe: (nein, aber auch für Einführung des Themas zu früh)

16. Kritische Analyse unter (fach)- didaktischen Gesichtspunkten • Motivation • Eingangsmotivation: SuS sehen die Notwendigkeit, Zweckmäßigkeit oder Sinn in der Beschäftigung mit einem Gegenstand? (Ja, ist vorhanden. Der Spielautomat gehört zu der Erfahrungswelt der SuS. SuS kennen Automaten, haben vielleicht schon gespielt. Wie Automat aus stochastischer Sicht aufgebaut ist, kann SuS motivieren, sie können entscheiden, ob sich das Spielen mit dem Automaten lohnt oder nicht.)

17. Kritische Analyse unter (fach)- didaktischen Gesichtspunkten • Bedingungen für Eingangsmotivation nach Zach: • Es handelt sich um ein echtes Problem ( Ja, es fand keine offensichtliche didaktische Reduktion statt) • Leichtes Problem, dass nicht zu komplex ist (Ja, Lösung 1 macht dies vorbildlich) • Kurzer Weg zur Lösung (Nach Aufgabenstellung Ist die Lösung sofort vorhanden) • Mit Vorwissen gar nicht oder umständlich zu lösen: (Davon ist auszugehen) • Einfach und klar formuliert: (Dies gilt für die Aufgabenstellung und die erste Lösung, dagegen ist Lösung zwei komplizierter formuliert)

18. Kritische Analyse unter (fach)- didaktischen Gesichtspunkten • Verlaufsmotivation: SuS sollten sehen, das jeder Schritt notwendig, zweckmäßig oder sinnvoll ist (Ja, Aufgabenstellung ist so angefertigt: „Welchen Gewinn kann man im Mittel pro Spiel erwarten? Bestimme zunächst den Mittelwert des Gewinns in 100 Spielen.“ Dies ist die Überführung zur Lösung 1. Allerdings ist keine Überführung von Lösung 1 zur Lösung 2 vorhanden, so dass diese alternative Lösung „vom Himmel fällt“. Schade, da diese Lösung, die auf bisheriges Wissen aufbaut „Analog zur Mittelwertbildung…“ dann auch zur Definition verwendet wird. Zwischen Lösung 2 und Definition wird per Reflexion nochmals auf das Ergebnis der oberen Aufgabe hingewiesen, bevor die Definition folgt. Nach der Definition kommt ein noch ein Ratschlag „Die Berechnung des Erwartungswertes einer Wahrscheinlichkeitverteilung erfolgt am zweckmäßigsten mithilfe einer Tabelle“) • Isomorphie- und Permanenzprinzip: Bekanntes soll erhalten bleiben (Ja, wird auch hier verwendet, da auf die Analogie zur Mittelwertbildung hingewiesen wird, und um Neues erweitert wird.)

19. Kritische Analyse unter (fach)- didaktischen Gesichtspunkten • Begriff (nach Vollrath) • Es handelt sich bei der Definition des Erwartungswertes gemäß Vollrath um einen Begriff, der in 5 Stufen erlernt werden kann. • Man kann eine Definition angeben (Ja, siehe Definition Buch) • Man kann Begriff identifizieren (Im vorliegenden Ausschnitt nicht vorhanden) • Selbst Beispiel angeben (Für die Einführung noch zu früh) • Kennt Eigenschaften des Begriffs (s.o.) • Begriff anwenden (s. o.)

20. Aufgabe: • Der Trainer einer Schützenmannschaft steht vor der Wahl, von 2 guten Schützen A und B einen für einen internationalen Wettkampf zu nominieren. • Daher vergleicht er die letzen Schießleistungen der beiden Schützen. • Unter Verwendung von 10 Ring-Scheiben (10 im Zentrum) erbrachten die letzten 100 Schüsse der beiden Schützen die folgenden Ergebnisse:

21. Aufgabe Schütze A: 33 mal die 10, 37 mal die 9, 28 mal die 8, 2 mal die 7 Schütze B: 30 mal die 10, 44 mal die 9, 26 mal die 8, keine 7 Wie soll der Trainer auswählen?

23. Lösung: Erklärung: Zufallsgröße X ordnet den Ringen von außen nach innen die Zahlen 1,2,…,10 zu. Folglich wird Mittelwert berechnet, um den besseren Schützen zu ermitteln.

24. Lösung: • Ersichtlich, dass Schütze B im arithmetischen Mittel höhere Trefferquote hat • Trainer erwartet, dass Schütze B auch in Zukunft besser als Schütze A • Trainer benutzt Mittelwerte als zukünftige Prognosen

25. Definition Erwartungswert Bekannt ist: • Relative Häufigkeiten bei häufiger Durchführung eines Experimentes verwendbar, um Wahrscheinlichkeiten weiterer Experimente zu schätzen • Hier benutzt man den Mittelwert einer Häufigkeitsverteilung zur Prognose des Wertes, den man bei jeder Durchführung des Experimentes erwarten kann

26. Definition Erwartungswert • Diesen Wert nennt man Erwartungswert • Der Trainer nimmt 9,01 und 9,04 als Erwartungswerte aller zukünftigen Schüsse der Schützen an • Der Trainer definiert die Zahlen, die für die rel. Häufigkeiten benötigt wurden, als Wahrscheinlichkeiten für die Ringzahlen bei weiteren Versuchen

27. Definition Erwartungswert • Der Erwartungswert ist der Wert, der im Mittel als Wert der Zufallsgröße bei jeder weitern Durchführung des Experimentes zu erwarten ist. • Der Erwartungswert kann zum Schätzen des Mittelwertes einer noch durchzuführenden Messreihe genutzt werden • Der Erwartungswert hat Bedeutung eines im Idealfall auftretenden Mittelwertes

28. Definition Erwartungswert • Daher analoge Berechnung zum Mittelwert, wobei rel. Häufigkeiten durch Wahrscheinlichkeiten ersetzt werden

29. Definition Erwartungswert

30. Definition Erwartungswert Mögliche Definition durch Schüler: „Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsgröße X ist der Wert, der beim mehrfachen Durchführen des Zufallsexperimentes im Durchschnitt zu erwarten ist. Der Erwartungswert wird berechnet, indem man die einzelnen Werte der Zufallsgröße mit ihren Wahrscheinlichkeiten multipliziert und die Ergebnisse addiert“

31. Definition Erwartungswert Mögliche theoretischere Definition:

32. Definition Erwartungswert Wichtig: • Algebraisch besteht kein Unterschied zwischen Erwartungswert und Mittelwert, aber stochastisch! • Mittelwert macht Aussage über gesammelte Daten • Erwartungswert macht Aussage über in Zukunft zu erwartende Daten

33. Beobachtungs- und Modellebene

34. Quellen: • Einführung in die Mathematik, Stochastik Grundkurs (Kittler, Schröder, Wölz, Diesterweg Verlag, 1985)