§ 8 系统频域分析法

1. 用正弦稳态分析的方法求正弦稳态传输函数H(jn)。其定义为： 式中， 为响应y(t)中第n次谐波(=n) 的复数振幅（即相量）。 §8系统频域分析法 一、周期信号激励下的稳态响应 • 求响应y(t)中第 n 次谐波(=n) 的复数振幅(即相量) ，即 • 写出响应y(t)的指数形式或三角函数形式的傅里叶级数，即

2. 系统传输函数 即： 例 1 如图所示，周期矩形信号x(t)作用于RL电路，求响应y(t)的傅里叶级数(只计算前四个频率分量)。 所以 解：x(t)的傅里叶系数为(周期T=2, 基频1=2/T=）

3. 频域分析： 零输入响应的求法与时域一样。 二、非周期信号激励下的零状态响应 • 基本思想 全响应＝零输入响应＋零状态响应 零状态响应的求法如下： 其中：H(j)=F[h(t)] 称频域系统函数。则h(t)=F -1[H(j)]

4. 式中 为h(t)的傅里叶变换，即有h(t)H(j) 频域系统函数 • 定义 • 设系统激励e(t)的傅里叶变换为E(j)，系统零状态响应rzs(t) 的傅里叶变换为Rzs(j), • 则定义频域系统函数为： • 物理意义 • 设激励 e(t)=ejt, 则系统零状态响应为 可见，系统的零状态响应rzs(t)是等于激励ejt乘以加权函数H(j)，此加权函数H(j)即为频域系统函数，亦即为h(t)的傅里叶变换。

5. 频域系统函数 • 求法： • 从系统的传输算子H(p)求，即H(j)＝H(p) | p=j； • 从系统的单位冲激响应h(t)求，即H(j)＝F [h(t)] ； • 根据正弦稳态分析方法从频域电路模型按H(j)的定义式求。 • 用实验方法求。 • H(j)可实现的条件： • 在时域中必须满足当t<0时，h(t)＝0，即系统必须是因果系统。 • 在频域中，其必要条件是|H(j)|≠0，即必须满足佩利－维纳准则。

6. 傅里叶变换方法 • 求激励e(t)的傅里叶变换E(j)。 • 求频域系统函数H(j)。 • 求零状态响应 rzs(t) 的傅里叶变换 Rzs(j)， 即 Rzs(j)= H(j) E(j)。 • 求零状态响应的时域解，即 rzs(t)=F -1[Rzs(j)] • 系统的零输入响应 rzi(t) 按时域方法求解。 • 系统的全响应 r(t) = 零输入响应rzi(t) + 零状态响应rzs(t)。

7. |H(j)| () 2   0 -2 2 -  2 -2 0 例 2 某线性非时变系统的幅频响应|H(j)|和相频响应()如图所示。若激励 , 求该系统的响应y(t)。 解： 该信号通过系统后，其响应的频谱为： 傅里叶反变换即可得：

8. e(t) h(t) h(t) r(t) 例 3 在如图所示系统中，e(t)为已知激励， 。求零状态响应 r(t)。 解：设 e(t)E(j) 即有：H(j)=F [h(t)]=-jsgn() 故得：R(j)=H(j) H(j)E(j)= [-jsgn()][-jsgn()]E(j) =-sgn()sgn()E(j)=-E(j) 所以：r(t)= -e(t) 可见此系统为一反相器。

9. cos4t Y(j) y(t)  f(t) F(j) Y1(j) H(j) 1 |X(j)| 1 Y2(j) sin4t 1 ½  -6 0 4 6 -4 ½  -2   2 -2 0 -2 2 0 2 2 6 -6 -2 0  0 6 -6 -½ -1 例 4 如图所示系统，已知f (t)的傅里叶变换F(j)如图所示，子系统的H(j)=jsgn()。求零状态响应 y(t)。 解： 根据频域卷积定理：