FUNCIONES CONTINUAS CONTINUIDAD EN UN PUNTO CONTINUIDAD EN UN INTERVALO

1. FUNCIONES CONTINUAS CONTINUIDAD EN UN PUNTOCONTINUIDAD EN UN INTERVALO Kevin Pinilla-Daniela Nieto-Alexandra Peña-Melissa Peña – Laura Silva

2. Funciones Continuas ES CONTINUA UNA FUNCION CUANDO A PEQUEÑAS VARIACIONES DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE CORRESPONDEN PEQUEÑAS VARIACIONES DE LA VARIABLE DEPENDIENTE

3. Entonces … • Si f(x) y g (x) son funciones continuas se da: • f(x) ± g(x) son continuas • f(x) * g(x) son continuas • f(x) /g(x) son continuas • sabiendo que g (x)≠0

4. Si f de x y g de x son continuas entonces la composición g[f(x)] es continua. • Las funciones polinómicas son continuas en todo conjunto de los reales. • Las funciones trigométricas son continuas en sus respectivos dominios de definición. • Las funciones exponenciales son continuas en todo conjunto de los reales.

5. Las funciones logarítmicas son continuas si siempre que x sea positivo. • Las funciones con radicales de índice par en los valores que hacen el radicando positivo son continuas • Las funciones con radicales de índice par en todo conjunto de los reales es continua.

6. Una función de valor absoluto es continua para todo numero real c • Una función polinomial es continua para todo numero real c

7. Continuidad en un punto Decimos que f es continua en c si un intervalo abierto en torno a c esta contenido en el dominio y.

8. CONDICIONES La función f debe estar definida en c (de modo que f(c )exista) 2. Debe existir el límite de f(x) cuando x tiende a c 3. Los números de las condiciones 1 y 2 deben ser iguales  SI LA FUNCION FALLA EN ALGUNA DE ESTAS CONDICIONES F ES DESCONTINUA DE C

9. Aquí se muestra un ejemplo de función continua:

10. Aquella que no puede dibujarse de un solo trazo. Es decir, existen puntos donde de una pequeña variación de la variable independiente produce un salto en los valores de la variable dependiente. Estos puntos reciben el nombre de puntos de discontinuidad de la función. A continuación se muestra una gráfica de discontinuidad :

12. Ejemplo Determinar si la función es continua en

13. 1. Comprobamos que f(1) existe remplazando F(x)=x+1 si x=1 Entonces f(1) existe 2. Analizamos los limites laterales en x=1 así: Como entonces no existe.

14. Entonces como no existe no cumpliría la ultima condición. • En la siguiente grafica vemos la discontinuidad de la función f(x) en x=1

15. Videos • https://www.youtube.com/watch?v=P-FdknxQcSI

16. Pruebe que es continua para todo numero real. sea y Ambas son funciones continuas para todo numero real, así que también lo será su composición.

17. Discontinuidad • Una función f presenta discontinuidad evitable en x=a si ocurre alguna de las siguientes condiciones: • f(a) no existe y el limite de f(x) cuando tiende a A existe • f (a) y el limite de f(x) cuando tiene a A; existen pero no son iguales • Una función discontinua es posible redefinirla con el objetivo de eliminar la discontinuidad.

18. Ejercicios Determinar la discontinuidad en x= 3 de f(x) es evitable si es así, redefinirla para que sea continua. Entonces Como

19. Redefinimos la función de tal forma que se cumpla: . Así: