Fourierovy řady

1. Fourierovy řady

2. Nekonečná řada Pod pojmem nekonečná řada rozumíme označení pro posloupnost resp. pro symbol Posloupnost , pro kterou platí se nazývá posloupnost částečných součtů této nekonečné řady.

3. Konvergence Nekonečné řady Pokud má posloupnost částečných součtů konečnou limitu, tedy pak se tato řada označuje jako konvergentní (resp. bodově konvergentní, pokud jde o řadu funkční) se součtem s. Jestliže tato limita neexistuje (posloupnost částečných součtů osciluje) nebo je nevlastní, tzn. s = ±∞, pak se tato řada označuje jako divergentní.

4. Konvergence Nekonečné řady Jestliže řada konverguje (nebo diverguje), pak také konverguje (resp. diverguje) řada, která je vytvořena přidáním či odebráním konečného počtu členů. Nutná podmínka konvergence: Pokud řada konverguje, pak platí Tato podmínka rozhodně neplatí opačně. Tzn. přestože je pro nekonečnou řadu splněna podmínka lim an = 0, nemusí být tato řada nutně konvergentní.

5. Periodická funkce Je-li funkce f(x) periodická s periodou T, pak pro každé x z definičního oboru funkce f platí f(x + T) = f(x). Jestliže se v množině čísel, kterou tvoří pouze periody periodické funkce f, nachází nejmenší kladné číslo, je označováno jako nejmenší perioda funkce f. Nejběžnějšími periodickými funkcemi jsou trigonometrické funkce sinus a kosinus, jejichž perioda je 2π.

6. Libovolný ortogonální systém funkcí {φn(x)} Nechť jsou funkce f,g integrovatelné na intervalu [a,b], pak je skalární součin těchto dvou funkcí na daném intervalu Je-li skalární součin funkcí f,g roven nule, pak jsou tyto funkce označovány jako ortogonální (na intervalu [a,b]). Pro skalární součin dvou funkcí f,g platí: • (f,g) = (g,f) • (c · f,g) = c · (f,g) • (f + h,g) = (f,g) + (h,g) • (f,f) ≥ 0

7. Libovolný ortogonální systém funkcí {φn(x)} Mějme integrovatelnou funkci f na intervalu [a,b]. Normou funkce f se rozumí vzdálenost této funkce od funkce nulové a označuje se číslem Je-li ||f || = 1, pak se funkce f nazývá normovaná. Pro normu funkce platí tyto vlastnosti: • ||f || > 0, přičemž pro nulovou funkci platí ||f || = 0 • ||c · f || = |c|·||f ||, kde c je konstanta • ||f + h||≤||f || + ||h||- trojúhelníkové pravidlo.

8. Libovolný ortogonální systém funkcí {φn(x)} Mějme konečný nebo spočetný systém integrovatelných funkcí na intervalu [a,b], který budeme značit {φn}. Pokud pro každou dvojici funkcí φp, φq platí, že • p ≠ q, • skalární součin těchto funkcí je roven nule • a každá z nich má kladnou normu, pak se tento systém funkcí nazývá ortogonální. Je-li ještě navíc každá funkce φn normovaná, pak se systém {φn} nazývá ortonormální (ortonormovaný).

9. Libovolný ortogonální systém funkcí {φn(x)} Každé reálné číslo cn, které lze vyjádřit vztahem je nazýváno Fourierovým koeficientem funkce f vzhledem kortogonálnímu systému (či posloupnosti){φn}. Řada obsahující tyto koeficienty a jejíž tvar je se nazývá Fourierova řada funkce f vzhledemk ortogonálnímu systému{φn}.

10. Fourierovy řady vzhledem k systému {cos nx, sin nx} Systémem trigonometrických funkcí {cos nx, sin nx} rozumíme posloupnost {1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, …, cos nx, sin nx, …}. Každá funkce tohoto trigonometrického systému je 2π- periodická, tudíž se stačí omezit na interval délky 2π. V našem případě nejčastěji na interval [- π , π]. Nechť je funkce f periodická s periodou 2π. Tato funkce je po částech spojitá právě tehdy, když je po částech spojitá na intervalu[0, 2π].

11. Fourierovy řady vzhledem k systému {cos nx, sin nx} Trigonometrický systém {cos nx, sin nx; n N0} je ortogonální na jakémkoliv intervalu [c,c+2π], který je délky 2π. Je-li navíc trigonometrický systém ortonormální na intervalu délky 2π, pak je jeho podoba následující:

12. Fourierovy řady vzhledem k systému {cos nx, sin nx} Nechť je f po částech spojitá funkce integrovatelná na intervalu [π, π]. Trigonometrickou Fourierovou řadou funkce f vzhledem k systému {cos nx, sin nx} rozumíme řadu kde čísly an, bn pak rozumíme trigonometrické Fourierovy koeficienty funkce f, pro něž platí

13. Fourierovy řady vzhledem k systému {cos nx, sin nx} Jestliže je funkce f sudá (tedy f(-x)=f(x)), pak pro Fourierovy koeficienty platí pro n z N0. Fourierova řada tak dostává podobu Protože tato řada obsahuje pouze členy sfunkcí kosinus, bývá často označována jako kosinová řada.

14. Fourierovy řady vzhledem k systému {cos nx, sin nx} Pokud je funkce f lichá (tedy f(x) = -f(-x)), pak jsou vzorce Fourierových koeficientů ve tvaru pro n z N. V tomto případě vypadá Fourierova řada následovně: Jelikož obsahuje tato řada výhradně sinové členy, nazýváme ji řadou sinovou.

15. Fourierovy řady vzhledem k systému {cos nx, sin nx} Použitím Eulerova vzorce eix = cos x + i sin x, kde x je z R, lze Fourierovu řadu funkce f vyjádřit v komplexním tvaru Fourierovy koeficienty cn lze zapsat prostřednictvím koeficientů an, bn takto

16. Fourierovy řady vzhledem k systému {cos nx, sin nx} Koeficienty cn lze také vyjádřit jako Výhodou komplexního tvaru Fourierovy řady je, že substitucí t = eix získáme mocninnou (potenční) řadu

17. Příklady • Najděte Fourierovu řadu funkce f(x) = x na intervalu [-π, π]. • Najděte Fourierovu řadu funkce f(x) = π2 - x2 na intervalu [-π, π].

18. Využití Fourierových řad • Řešení diferenciálních rovnic • Teorie šíření tepla (1804 – 1807) • Harmonické kmitání • Pohyby nebeských těles • Ustálený pohyb pístu ve válci spalovacího motoru • …