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统计物理学习讲义

统计物理学习讲义. 中科院数学院复杂系统研究中心 复杂系统学习班 (CSSGBJ) 韩 靖 2003 年 10 月 27 日. 统计物理、自旋玻璃和复杂系统. 统计物理做什么？ 自旋玻璃 (Spin Glasses) 是什么？ 它们在复杂系统研究中有何应用？ 它们的局限性？ 探讨：对我们的研究有何启发？. 谁报名来主讲？. 学习提纲和计划 ( 欢迎补充修改 ). 基本概念介绍 Entropy, Boltzmann 分布 (partition function) Example: K-SAT 问题的相变 Dynamics and Landscapes

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  1. 统计物理学习讲义 中科院数学院复杂系统研究中心复杂系统学习班 (CSSGBJ) 韩 靖 2003年10月27日

  2. 统计物理、自旋玻璃和复杂系统 • 统计物理做什么？ • 自旋玻璃(Spin Glasses)是什么？ • 它们在复杂系统研究中有何应用？它们的局限性？ • 探讨：对我们的研究有何启发？

  3. 谁报名来主讲？ 学习提纲和计划 (欢迎补充修改) • 基本概念介绍 • Entropy, Boltzmann分布(partition function) • Example: K-SAT问题的相变 • Dynamics and Landscapes • 各态历尽, landscapes, Monte Carlo Simulation • Example: Simulated Annealing(模拟退火) • Meanfield, Replica Symmetry, Cavity Methods • Meanfield 用于网络动力学的例子 • Replica Symmetry 用于组合问题的例子 • Cavity Methods: Survey Propagation • Critical Phenomena & Power-law • 相变 • SOC, HOT/COLD理论

  4. 统计物理 Statistical physics is about systems composed of many parts.集体行为组合数学和概率理论 • Traditional examples: • 气体、液体、固体 - 原子或分子； • 金属、半导体 - 电子; • 量子场 - 量子，电磁场 - 光子等 • Complex systems examples: • 生态系统 - 物种 • 社会系统 - 人 • 计算机网络 - 计算机 • 市场 - 经纪人agent • 鱼群 - 鱼、鸟群 - 鸟、蚁群 - 蚂蚁 • 组合问题 – 变量 –研究复杂系统为什么要学习统计物理？

  5. Collective Behavior 群体行为 http://angel.elte.hu/~vicsek/ • 集体行为： • 系统由大量相似的个体组成 • 全局行为不依赖于个体的精确细节，而相互作用必须合理定义，并且不要太复杂； • 个体在单独存在的行为与在整体中的行为很不一样.(在整体中各个体行为变得相似)； • 相互作用的类型：吸引、抗拒、对齐… • 主要的集体现象：相变、模式形成、群组运动、同步… • 研究手段：统计物理、多主体计算机模拟 • “磁化”现象:go个体行为  邻居动作的平均方向 • 同步掌声 • 恐慌现象

  6. Ji(i+1) J(i-1)i si+1 si-1 si (-) (+) ? (+) 自旋玻璃(Spin Glasses) • 简单的理想模型，性质丰富，易于研究 • 个体:spin si; 系统:多个spin局部相互作用 • 以最简单的Ising模型为例： • si=1 或者 –1 • 在lattice上排列，相邻spin之间有相互作用 • 能量(Hamiltonian)：E = - J(i-1)isi-1si Jij>0, 偏好相邻同向；Jij<0, 偏好相邻不同向；Jij=0,无相互作用 考虑外部场 E = - Jijsisj - hisi • 性质：有序/无序、受挫、相变、对称破缺… • 现实中的例子：组合问题、恐慌人群、经济模型 E=- Jijsisj

  7. Spin Glass • Configuration r = {s1,s2,…,sn} • Hamiltonian (E, Cost function): E(r)J=HJ(r) = -∑Jiksisk • Quenched variable: J, random variable a probability distribution P(J)Different Spin model: different P(J) • Notation:<g>=∑PJ(s)g(s) • So-called ‘Disorder’: Structural parameter J is random and have large complexity

  8. 自旋玻璃例子- K-SAT问题 • 经典NP-完全问题 • N个布尔变量: xi=True/False, si=1/-1 • M个clauses: M个含k个变量的逻辑表达式K=3, 3-SAT:c1:x1 or (not x3) or x8, c2:(not x2) or x3 or (not x4), c3:x3 or x7 or x9,… • 目标：满足所有M个clauses 的 N个布尔变量的一组赋值 • Spin glass 的能量 E =- a=1,M(Ca =T),Ground State E=-M 解状态 • 结果：当K=3, M/N ~4.25, 问题求解困难

  9. 恐慌现象 • 行人建模：期望移动速度、与他人的排斥力、与墙壁的作用力、个人速度的扰动 • 恐慌（由于火灾或者大众心理）： • 人们希望移动更快 • 人与人之间的物理冲突更厉害； • 出口处障碍、堵塞形成； • 危险压力出现； • 人群开始出现大众恐慌心理； • 看不到其它的出口； • 计算机模拟实验： (Go) • 单出口房间：无恐慌、恐慌、惊跑、带圆柱、火灾 • 走廊：直走廊、中间加宽的走廊 • 人群：个人主义、群体心理、两者综合

  10. Begin… • 统计物理能做什么？怎么做？ • 基本点： • 只关心状态的概率，并不关心演化的过程（假设各态历经） • 熵最大 • 核心： Boltzmann分布(partition function)

  11. 学习提纲和计划 • 基本概念介绍 • Entropy, Boltzmann分布(partition function) • Example: K-SAT问题的相变 • Dynamics and Landscapes • 各态历尽, landscapes, Monte Carlo Simulation • Example: Simulated Annealing(模拟退火) • Meanfield, Replica Symmetry, Cavity Methods • Meanfield 用于网络动力学的例子 • Replica Symmetry 用于组合问题的例子 • Cavity Methods: Survey Propagation • Critical Phenomena & Power-law • 相变 • SOC, HOT/COLD理论

  12. Entropy • Microstate r: a specific configuration of system • Macrostate R: an evaluation value • Ω(R): number of microstates related to a macrostate • Micro-canonical entropy: S(R)=k log Ω(R) More General forms: • A macrostate R: {pi} for system be found in a microstate i A distribution of microstates. • Gibbs Entropy: S(R) =-k ∑pi logpiMaximum  the most possible distribution of microstates Without constraint on pi, pi=1/N S is maximized Ω({ni})=M!/n1!n2!...nN!, pi=ni/M

  13. With Constraint on pi: Partition Function Z • Observable quantity E (Hamiltonian) • Ergodic Hypothesis (time average=ensemble average) • We know: • From experiments: <E’>, • Ei for all ri, and <E’>= <E>= ∑piEi, ∑pi=1. • We want to know the most probable distribution of microstates • Maximize S=-k∑pilogpi and we get: pi=e-βEi/Z, Z=∑ie-βEi (β=(kT)-1) • So, {pi} and β is decided by {Ei} and <E> • Knowing βor T and {Ei}, we can define the most possible distribution of microstates {pi} and Z • β  T  <E>  Zdistribution is less symmetrical

  14. Toy Example • Three microstates: E1=0, E2=2, E3=3 • We have p1E1+p2E2+p3E3=<E> e.g. 2p2+3p3=<E>, and p1+p2+p3=1 • 3 temperatures: decreasing order of T

  15. Important concepts • Partition function: Z(T,E)=∑re- E(r)/T Knowing this, we can do a lot of things!Variance of E, #sol, … • Free Energy: F = -k T lnZ (?) • Entropy S=- (F/ T)E=-k ∑pilnpi

  16. Z and #sol (ground state) • Z (T)=∑re-E(r)/T = ∑H={1,2,…}∑r|E(r)=H e-H/T • When T→0, system are most likely in the ground state. e-E(r)/T →0 except E(r)=0 • Z(0)= ∑ r|E(r)=0 e-0 =∑ r|E(r)=0 • So, number of ground states = Z(0). • In T>0, Z also counts other r that E(r)>0. But the lower T, the r with lower E(r) Z counts. Z is decreasing when T is decreasing. • The K-SAT result considers T=0.

  17. 学习提纲和计划 • 基本概念介绍 • Entropy, Boltzmann分布(partition function) • Example: K-SAT问题的相变 • Dynamics and Landscapes • 各态历尽, landscapes, Monte Carlo Simulation • Example: Simulated Annealing(模拟退火) • Meanfield, Replica Symmetry, Cavity Methods • Meanfield 用于网络动力学的例子 • Replica Symmetry 用于组合问题的例子 • Cavity Methods: Survey Propagation • Critical Phenomena & Power-law • 相变 • SOC, HOT/COLD理论

  18. 各态历尽 • 对任意2个系统状态r1和r2, r1可以经过有限部变换到r2. 00 01 10 11

  19. 熵最大分布的三个条件 • Rij=probability of ri changes to rj • 方程的平衡状态是熵最大分布,必须要满足： • p=R·p, R 有唯一的主特征向量(特征值为1) • 各态历经 • 细致平衡：平衡态时，pi·Rij=pj·Rji

  20. Ergodicity breaking and Landscape • Mapping of microstates onto energies barrier Very high, unlikely to cross, when system size is large,T is low: pi/pj=e-(Ei-Ej)/T r1 r2 r3 rn …

  21. Monte Carlo Simulation • 设定状态转换矩阵，使得系统演化服从我们希望的状态分布 P。 • 如果各态历尽和细致平衡，有 • 把P代入就可以得到Rij

  22. Simulated Annealing • 目标P是Boltzmann分布：pie-Ei/T。 • Rij/Rji=e-(Ej-Ei)/T Rij= 1 if EjEi e-(Ej-Ei)/T if Ej>Ei • Simulated Annealing: • We want to minimize E • T=0, ergodicity breaking, favors minimal E • T>0, barriers can be crossed, favors more states • Most problems have many metastable states (local optima), various scales of barriers heights

  23. 学习提纲和计划 • 基本概念介绍 • Entropy, Boltzmann分布(partition function) • Example: K-SAT问题的相变 • Dynamics and Landscapes • 各态历尽, landscapes, Monte Carlo Simulation • Example: Simulated Annealing(模拟退火) • Meanfield, Replica Symmetry, Cavity Methods • Meanfield 用于网络动力学的例子 • Replica Symmetry 用于组合问题的例子 • Cavity Methods: Survey Propagation • Critical Phenomena & Power-law • 相变 • SOC, HOT/COLD理论

  24. Replica Approach and P(J) • For a given J, free energy density:fJ=-1/(βN) ln ZJ • For a P(J), we want to know: <f>=∑P(J)fJ • For n replicas: Zn=∑JP(J)(ZJ)n≡<(ZJ)n> • (ZJ)n=∑{s1}∑{s2}…∑{sn} exp{-∑a=1nβHJ(sa)}si is the i th replica. • fn=-1/(βnN) ln Zn, ln Z= Lim n→0 (Zn-1/n) • We get: <f>=Lim n→0fn≡f0

  25. 参考教材 http://groups.yahoo.com/group/CSSGBJ/ • Mark Newman 2001 复杂系统暑期学校教材 http://www.santafe.edu/~mark/budapest01/ • K-SAT相变: Nature, Vol 400, July 1999, p133-137 • Survey Propagation: Science, Vol 297, Aug. 2002, p812-815, p784-785. • SOC: 《大自然如何工作》, Per Bak. • HOT/COLD: • HOT: Highly Optimized Tolerance: A Mechanism for Power Laws in Designed Systems. J. M. Carlson, John Doyle. (April 27, 1999) • COLD: Optimal design, robustness, and risk aversion. M. E. J. Newman, Michelle Girvan and J. Doyne Farmer

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