1 / 53

Matice

Matice. Matic e typu n  m. m , n jsou p ř irozená č ísla a ij  R pro každ é i = 1, … , n a každ é j = 1, … , m ( a ij ) =. m   n obdélníkov á matic e typu n  m m = n čtvercov á matic e řádu n prvek a ij stojí v matici na místě ij. T otožn é matice.

egan
Download Presentation

Matice

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Matice

  2. Matice typu nm • m, n jsou přirozená čísla • aijR pro každéi = 1, …, n a každé j = 1, …, m (aij) =

  3. m nobdélníková matice typu nm • m = n čtvercová matice řádu n • prvek aij stojí v matici na místě ij

  4. Totožné matice říkáme, že se rovnají • mají stejný typ • jejich prvky na odpovídajících místech jsou stejné

  5. řádek matice a sloupec matice • termíny používáme vobvyklém smyslu • matice typu nm má tedy n řádků a m sloupců hlavní diagonála- prvky a11, a22, …, ann

  6. Součet dvou matic A = (aij) a B = (bij) obě matice jsou typu nm A + B = (aij + bij) • je typu nm • na místě ij má součet prvků stojícíchv maticích A a B na místě ij • matice sčítáme po složkách

  7. A = B = C = A + B = B + C, A + Cnení definováno Příklad

  8. Součin matic A, B (v tomto pořadí) • A = (ais) je matice typu nmB = (bsj) matice typu mk • AB = typu nk • na místě ijje skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B • řádky matice A mají stejný počet prvků jako sloupce matice B (m)

  9. A = AC = = C = Příklad

  10. C = CA není definováno A = Příklad

  11. Pro dané matice A, B může být definován součin AB a nemusí být definován součin BA. • Jsou‑li definovány oba součiny, jsou AB a BA čtvercové matice, které nemusí mít stejný řád. • Oba součiny existují a mají stejný řád právě tehdy, když jsou A a B čtvercové matice stejného řádu. • Pokud je potom AB = BA, mluvíme o tzv. komutujících maticích.

  12. Matice A a B mají definovaný součet právě tehdy, mají-li matice A a B stejný typ. Součet A + B má potom stejný typ jako matice A a B. • Součin AB matic A, B je definován jen tehdy, má-li matice A stejný počet sloupců jako matice B řádků; součin AB má pak stejný počet řádků jako matice A a stejný počet sloupců jako matice B.

  13. Pro sčítání a násobení matic platí: • A + B = B + A • A + (B + C) = (A + B) + C • AB  BA • A(BC) = (AB)C • A(B + C) = AB + AC(A + B)C = AC + BC

  14. Nulová maticetypu nm • maticeO = (aij), kde aij = 0 pro každé i = 1, …, n a j = 1, …, m • O =

  15. Opačná matice kmatici A = (aij) typu m n • matice–A = (–aij) stejného typu • –A =

  16. O je nulová matice typu nmA je matice typu nm • A + O = O + A = A • A + (–A) = (–A) + A = O

  17. Jednotková matice řádu n maticeE = (ij), kde • ij = 1 pro i, j = 1, …, n, i = j • ij = 0 pro i, j = 1, …, n, ij E =

  18. E je jednotková matice řádu nm je přirozené číslo • pro každou matici A typu nm EA = A • pro každou matici B typu mn BE = B • pro každou čtvercovou matici C řádu n CE = EC = C

  19. Násobení matic skaláry A = (aij) je matice typu nmc je reálné číslo cA = (c.aij) c-násobek matice A • cAje typu nm • na místě ij má c-násobek prvku, který v matici A stojí na místě ij

  20. Příklad A = –2A =

  21. A, B jsou matice, které je možno sečíst, resp. vynásobit; c, dR Potom platí: • c(A + B) = cA + cB • (c + d)A = cA + dA • (cd)A = c(dA) • c(AB) = (cA)B = A(cB)

  22. Transponovaná matice k matici A • A = (aij) je matice typu nm • AT = (bji) typu mn,kde pro každéi = 1, …, n a j = 1, …, m bji=aij

  23. Příklad A = AT =

  24. A, B jsou matice, které je možno sečíst, resp. vynásobit, cR Potom platí: • (A + B)T = AT + BT • (AB)T = BTAT • (cA)T = cAT • (AT)T = A

  25. Hodnost matice Elementární úpravy

  26. Diagonální matice • každá matice, která má mimo hlavní diagonálu samé nuly • Př.:

  27. odstupňovaná matice • každý nenulový řádek začíná větším počtem nul než řádek předcházející (pokud tento existuje) • druhý řádek (pokud existuje) začíná alespoň jednou nulou • třetí řádek začíná alespoň dvěmi nulami • i-tý řádek alespoň (i – 1) nulami

  28. Odstupňované matice

  29. horní trojúhelníková • A = (aij) je čtvercová matice řádu n • pro každé i, j = 1, ..., n, i >j, je aij = 0 • Př.:

  30. dolní trojúhelníková • A = (aij) je čtvercová matice řádu n • pro každé i, j = 1, ..., n, i <j, je aij = 0 • Př.:

  31. Hodnost matice A • Maximální počet lineárně nezávislých řádků matice A • Značíme h(A)

  32. Hodnost matice AT h(A) = h(AT)Transponováním se hodnost matice nemění. • Maximální počet lineárně nezávislých řádků matice AT • Maximální počet lineárně nezávislých sloupců matice A

  33. Řádkové elementární úpravy matice • Výměna dvou řádků. • Vynásobení některého řádku nenulovým číslem. • Přičtení c-násobku jednoho řádku k jinému řádku (cR). Podobně definujeme sloupcové elementární úpravy.

  34. ekvivalentní matice A, B • jednu z nich lze převést v druhou konečným počtem elementárních úprav Označujeme: AB h(A) = h(B) • Provádění řádkových a sloupcových elementárních úprav nemění hodnost matice.

  35. Hodnost matice A typu nm h(A)  min(n, m)

  36. Regulární matice • čtvercová matice řádu n • h(A) = n

  37. Singulární matice • čtvercová matice řádu n • h(A) <n

  38. Praktický výpočet hodnosti matice: • Pomocí elementárních úprav převedeme danou matici na odstupňovaný tvar. • Vynecháme nulové řádky. • Počet nenulových řádků v této matici je roven její hodnosti (řádky v odstupňované matici jsou lineárně nezávislé).

  39. Praktický výpočet hodnosti matice: • Jestliže je hodnost h matice A stejná jako počet řádků matice n (h = n), jsou řádky matice A lineárně nezávislé. • Jestliže h < n, jsou řádky lineárně závislé a lze mezi nimi vybrat nejvýše h lineárně nezávislých řádků.

  40. Inverzní matice

  41. Pro dané matice A, B může být definován součin AB a nemusí být definován součin BA. • Jsou‑li definovány oba součiny, jsou AB a BA čtvercové matice, které nemusí mít stejný řád. • Oba součiny existují a mají stejný řád právě tehdy, když jsou A a Bčtvercové matice stejného řádu. • Pokud je potom AB = BA, mluvíme o tzv. komutujících maticích. • Je-li navíc AB = BA = E, říkáme, že matice B je inverzní k matici A a značíme ji A-1.

  42. Inverzní matice • Inverzní maticí k matici A budeme rozumět matici A-1, pro kterou je AA-1 = A-1A = E. • Matice A, ke které inverzní matice existuje, se nazývá invertibilní. • Inverzní matice k invertibilní matici A je maticí A určena jednoznačně.

  43. A = A-1 = B = B-1 = Invertibilní matice

  44. Invertibilní matice • čtvercová řádu n • regulárníh(A) = n Maticenení invertibilní: • obdélníková • singulární h(A) <n

  45. (AB)-1 = B-1A-1 • A, B jsou invertibilní matice řádu n. Potom rovněž matice AB je invertibilní a je (AB)-1 = B-1A-1 • Důkaz: (AB).(B-1A-1) = A(BB-1)A-1 = AEA-1 = AA-1 = E a podobně (B-1A-1).AB = E Matice AB a B-1A-1 jsou tedy navzájem inverzní.

  46. (AT)-1 = (A-1)T • Jestliže je A čtvercová invertibilní matice, potom je matice AT rovněž invertibilní a je (AT)-1 = (A-1)T

  47. Praktický výpočet inverzní matice: • Převedeme-li řádkovými elementárními úpravami matici A v jednotkovou matici E, pak tytéž elementární úpravy převedou jednotkovou matici E v matici inverzní A-1.

  48. Praktický výpočet inverzní matice: • Zapíšeme vedle sebe danou matici A a matici jednotkovou E. • Postupně provádíme takové řádkové elementární úpravy, které nám převedou matici A na jednotkovou matici E. Každou úpravu, kterou provedeme v matici A, provedeme také v matici E. • Nejprve postupujeme směrem shora dolů a snažíme se, abychom v matici A na hlavní diagonále dostali samé jedničky a pod hlavní diagonálou samé nuly. • Poté postupujeme zdola nahoru tak, aby i nad hlavní diagonálou byly samé nuly. • Takto získáme na místě matice A jednotkovou matici E. Na místě původní jednotkové matice E je potom hledaná inverzní matice A-1.

  49. K matici A najděte matici inverzní  

  50.  

More Related