第 6 章線性轉換

第 6 章線性轉換 線性代數

本章內容 • 6.1 線性轉換 • 6.2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形 • 6.3 核空間與值域 • 6.4 線性轉換與線性方程式系統 • 6.5 座標向量 • 6.6 線性轉換之矩陣形式

6.1 線性轉換 • 轉換(transformations) • 令U, V均為向量空間，T為一個由U至V的轉換(或稱為映射(mapping))，註記為T: U →V • U稱為T之論域(domain) • V則稱為T之對應論域(codomain) • u與v之關係可以寫成T(u) = v • v稱為向量u在T之映射下的像(image) • 所有的「像」所組成的集合則稱為T的值域(range)

6.1 線性轉換 • 線性(linear) • 令u, v為Rn之向量、c為純量，，若 • T(u + v) = T(u) + T(v) • T(cu) = cT(u) 則稱T: Rn → Rm為線性

6.1 線性轉換 • 例題1: 證明下列轉換T: R2 → R2為線性。 T(x, y) = (x – y, 3x) • 解:

6.1 線性轉換 • 例題2: 試證明下列轉換T: R3 → R2不是線性。 T(x, y, z) = (xy, z) • 解:

6.1 線性轉換 • 例題3:試證明下列轉換T：P2 →P1為線性 T(ax2 + bx + c) = (a + b) x + c • 解:

6.1 線性轉換 • 例題4:令D為微分運算（即D = ，於此為較簡易之符號），D可以被視為將Pn映射至其本身的轉換,試證下式為線性轉換 • 解:

6.1 線性轉換 • 矩陣轉換(matrix transformation) • 令A為m × n之矩陣，x為以行向量表示之Rn元素，則定義如T(x) = Ax之轉換T: Rn → Rm為線性。這樣的線性轉換稱為矩陣轉換。

6.1 線性轉換 • 例題5: 試求任意向量經T映射之像，並利用所得結果求取向量x之像。 • 解:

6.1 線性轉換 • 線性轉換之合成 • T(u)=T2(T1(u)) 記為 • 例題6:試求轉換T1(x, y) = (3x, x + y)及T2(x, y) = (2x, –y)之合成轉換，並求解(2, –3)之像 • 解:

6.1 線性轉換 • 例題7:令T1(x) = A1x及T2(x) = A2x為由下列矩陣A1及A2定義之矩陣轉換，且 T = T2。T1，試求向量x經T映射之像。 • 解:

6.2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形 • 標準矩陣(standard matrix) • 線性轉換T可以由下列矩陣定義 A = [T(e1) ∙∙∙ T(en)] 稱矩陣A為T之標準矩陣

6.2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形 • 例題1:試推導線性轉換之標準矩陣 • 解:

6.2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形 • 放大與縮小轉換 • 若r >1，則T將已知點推離原點，此時r稱為放大係數(dilation of factor) • 若0 < r <1，則T將已知點拉近原點，此時r稱為收縮係數(contraction of factor) • 線對稱轉換

6.2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形 • 例題2: 若有連續轉換描述如下：執行一個對x軸的線對稱轉換，接著執行一個角度π/2的旋轉轉換，最後再執行一個三倍的放大轉換，試求解此連續轉換之標準矩陣。並請求解點經此連續轉換後之像 • 解:

6.2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形 • 例題3: T: Rn → Rn, T(u) = Au，試決定一單位正方形經過此轉換後之像 • 解: 轉換後的像為平行四邊形

u, v間之夾角 = T(u), T(v)間之夾角 d(P, Q) = d(R, S) 6.2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形 • 正交轉換 • T(u) = Au 定義之T: Rn→Rn轉換，其中矩陣A為一正交矩陣。 • 正交轉換保守範數、角度及距離，所以保守剛體的形狀，稱為剛體運動(rigid motions)。

6.2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形 • 例題4:令T為由下列正交矩陣A定義之正交轉換，試證明V對向量u, v保守範數、角度及距離 • 解:

6.2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形 • 平移(translation) • T(u) = u + v • 仿射轉換(affine transformation) • T(u) = Au + v • 同質座標(homogeneous coordinates)

xRRe 點旋轉線對稱 D T 膨脹/收縮平移 6.2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形

6.2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形 • 例題5: 求y = 2x + 3經過平移轉換後之像。 • 解:

6.2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形 • 例題6: (1)求以點P(h, k)為中心,旋轉q角之轉換矩陣。 (2)求以點P(5, 4)為中心,旋轉角度π/2之轉換矩陣。 (3)求頂點分為A(1, 2), B(2, 8)及C(3, 2)的三角形經此轉換後之像為何？ • 解: • (1)以P為中心之旋轉可以由順序執行下列三個轉換達成： • 一個平面上的平移T1，將P點移至原點O • 一個平面上以原點為中心旋轉 q 角的旋轉R • 一個平面上的平移T2，將原點O移回P點

T1RT2 6.2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形

6.2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形 • (2) • (3)

6.3 核空間與值域 • 線性轉換將一零向量映射至另一零向量 • T：U →V為一線性轉換，而與分別為U, V之零向量，則T(0U) = 0V • 核空間(kernel) • 所有在向量空間U中，且其映射至V之像為零向量的向量所組成的集合，稱為T的核空間，註記為 ker(T)。 • 值域(range) • 所有在向量空間V中，且恰為U中向量之像(image)的向量所組成的集合，稱為T的值域，註記為 range(T)。

6.3 核空間與值域 • 例題 1:試求下列線性運算元之核空間及值域 T(x, y, z) = (x, y, 0) • 解: T(x, y, z) = (x, y, 0)=(0,0,0) x=0,y=0,z不限所以 ker(T) = {(0, 0, z)} range(T) = {(x, y, 0)}

6.3 核空間與值域 • 值域求法 • 令T為Rn→Rm之線性轉換，且定義為T(u) = Au，則T之值域由A之行向量所生成。 • 證明: T(u) = v u = a1e1 + … + anen v = T(a1e1 + … + anen) = a1T(e1) + … + anT(en)

6.3 核空間與值域 • 例題2: 試求下列矩陣所定義之線性轉換的核空間及值域 • 解:

6.3 核空間與值域

6.3 核空間與值域 • T：U →V為一線性轉換，則核空間之維度 + 值域之維度 = 論域之維度 dim(ker(T)) + dim(range(T) )= dim(domain(T)) • 例題3: 試求下列矩陣所定義之線性轉換T的核空間及值域之維度 • 解: 可看出rank(A) = 2, 所以range(A)=2 ker(A)=3-2=1

6.3 核空間與值域 • 一對一(one-to-one)轉換 • 若線性轉換T之值域中的每一個向量均僅由其論域中之某單一向量對應轉換而成，則稱T為一對一(one-to-one)轉換 • 一線性轉換T為一對一轉換，若且唯若其核空間僅包含零向量。 • 令T為定義如T(x) = Ax的RnRn線性轉換，則T為一對一轉換，若且唯若A不是奇異矩陣。

6.3 核空間與值域 • 例題4: 試測試下列矩陣所定義之線性轉換TA與TB是否為一對一轉換 • 解: (a)dim(kerT)=dim(domainT)-dim(rangeT)=4-3=1 所以非1對1 (b)dim(kerT)=3-3=0 所以是1對1

6.4 轉換與線性方程式系統 • 解集合子空間 • 一個具有m個方程式、n個未知數的線性齊次系統Ax = 0之解集合，為Rn之子空間。 • 例題1:求解下列線性齊次系統，說明此系統之解集合為一子空間 • 解:

6.4 轉換與線性方程式系統 • 令Ax = y為一具有m個方程式、n個未知數的線性非齊次系統，x1為一特定解，而其他所有解均可寫成x = z + x1之形式，其中z為由矩陣A定義之線性轉換T的核空間之向量

6.4 轉換與線性方程式系統 • 例題2:求解下列線性非齊次系統，並繪製其解集合 • 解:

6.5 座標向量 • 座標向量 • U是基底為B = {u1,…,un}之向量空間, u為U之任意向量，存在有唯一的純量組a1,…,an，使得u = a1u1 + … + anun 行向量 ,稱為u相對於該組基底之座標向量

6.5 座標向量 • 例題1:試求解向量u =(4, 5) 相對於下列R2空間兩組基底B及B’座標向量 (a)標準基底 B ={(1, 0), (0, 1)} (b) B’ = {(2, 1), (-1, 1)} • 解: (a) (4, 5) = 4(1, 0)+5(0, 1) (b) (4,5)=3(2,1)+2(-1,1)

6.5 座標向量 • 例題2:試求向量u = 5x2 + x 3 相對於下列P2空間兩組基底B及B’之座標向量 (a) 標準基底 B = {x2, x, 1} (b) B’ = {x2 – x + 5, 3x2 – 1, 2x2 + 4x – 2} • 解: (a) (5,1,-3)=5(1,0,0)+1(0,1,0)-3(0,0,1) (b) (5,1,-3)=2(1,-1,1)-(3,0,-1)+3(2,1,-2)

6.5 座標向量 • 單範正交基底 • B = {u1,…,un}為向量空間U中之一組單範正交基底，則U中任意向量v可表示成單範正交基底之座標向量可表示成 (可想像是V在各基底的投影)

6.5 座標向量 • 例題3:試求向量v = (2, 5, 10)相對於下列單範正交基底B之座標向量 • 解:

6.5 座標向量 • 基底變換 • 令 B = {u1, …, un} 與 B’ = {u1’, …, un’}為向量空間U之兩組基底，若u為U中向量，且相對於B與B’之座標向量分為 uB及uB’則 uB’ = PuB 其中P為自基底B至基底 B’之轉移矩陣： P = {(u1)B’ … (uB)B’}

6.5 座標向量 • 例題4:考量R2之基底B = {(1, 2), (3, 1)} 及，若u為使得之向量，試求 • 解:

6.5 座標向量 • 轉移矩陣 • 令B與 B’為向量空間U之兩組基底，而P為自B至 B’之轉移矩陣，則P為可逆，且 P-1為自 B’至 B之轉移矩陣。

6.5 座標向量 • 例題2: R2之基底，試求自B至 B’之轉移矩陣，若，試求 • 解: 使用標準基底s={(1,0),(0,1)}做中間基底

6.5 座標向量 • 同構 (isomorphism) • 若T為自U一對一且映成映射至W之線性轉換，則稱T為同構 (isomorphism)，而U與W則是互為同構的向量空間。

6.6 線性轉換之矩陣形式 • 例題1:考量由如下基底向量所定義之線性轉換 T: R3 → R2，試求 T(1, -2, 3). 解:

6.6 線性轉換之矩陣形式 • 例題2:令T：U V 為一線性轉換，而T 相對於U, V之基底 B = {u1, u2, u3} 及 B’ = {v1, v2}之定義如下試求T 相對於這些基底之矩陣形式，並利用此矩陣求解向量u = 3u1 + 2u2u3之像。 • 解:

6.6 線性轉換之矩陣形式 • 例題3:線性轉換T：R3R2，T(x, y, z) = (x + y, 2z) (a) 求T相對於R3, R2之基底之矩陣形式，其中 (b)利用該矩陣求向量u = (2, 3, 5)之像 • 解:

6.6 線性轉換之矩陣形式 • 例題4:線性轉換T：P2 P1, T(ax2 + bx + c) = (a + b)x  c,求T相對於P2, P1之基底之矩陣形式,並利用該矩陣求解向量u = 3x2 + 2x – 1之像。 • 解:

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