1 / 11

MATEMATIKA

MATEMATIKA. Halmazok, műveletek halmazokkal. Halmazok, műveletek halmazokkal. 1. Halmazelmélet. Halmaz: alapfogalomnak tekintjük, más fogalmakkal nem definiáljuk! Valamilyen meghatározott tulajdonságok alapján szelektáljuk az elemeket

eli
Download Presentation

MATEMATIKA

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. MATEMATIKA Halmazok, műveletek halmazokkal Halmazok, műveletek halmazokkal 1

  2. Halmazelmélet Halmaz: alapfogalomnak tekintjük, más fogalmakkal nem definiáljuk! Valamilyen meghatározott tulajdonságok alapján szelektáljuk az elemeket Halmaz elemei: az adott halmazba tartozó elemek összessége Jelölések: halmaz -> (A,B,C) halmaza eleme -> (a,b,c) nem eleme a halmaznak Ábrázolása: Venn-diagramm segítségével Halmaz megadása: elemek felsorolásával: {1;2;3} halmaz elemeire jellemző tulajdonság definiálásával: Halmaz ekvivalencia: ha a halmazok elemei megegyeznek (pl.: A={1;1;2} és B={1;2}) Jelölése: A~B Üres halmaz: az a halmaz, melynek egyetlen eleme sincs Jelölése: vagy {} I A B C Halmazok, műveletek halmazokkal 2

  3. Halmazelmélet Véges halmaz: egy halmaz véges, ha véges sok eleme van. Véges halmaz számossága egyenlő az elemek számával. Halmazok számosságának jelölése: |A| Részhalmaz: Egy adott A halmaz a B halmaz részhalmaza, ha az A minden eleme a B halmaznak is eleme. Jelölés: Valódi részhalmaz: Egy adott A halmaz a B halmaz valódi részhalmaza, ha A részhalmaza B és B-nek van olyan eleme, mely nem eleme A-nak. Jelölés: Hatványhalmaz: adott halmaz összes részhalmazának halmaza Halmazok, műveletek halmazokkal 3

  4. Műveletek halmazokkal Az alábbi definíciók adott A és B nem üres halmazok esetére értendőek! A) Egyesítés (unió): azon elemek halmaza, melyek elemei vagy A-nak vagy B-nek. Jelölés: B) Metszet (közös rész): azon elemek halmaza, melyek mind A-nek mind B-nek elemei. Jelölés: C) Különbség: azon elemek halmaza, mely A-nak azon elemeiből áll, melyek nem elemei B-nek. Jelölés: A) B) C) Halmazok, műveletek halmazokkal 4

  5. Számhalmazok – Természetes Számok Természetes számok halmazának jelölése: N (nem negatív egész számok) Halmaza: a valós számok olyan részhalmaza, melyre: a) b) c ) ha és kielégíti a) és b) feltételeket, akkor , ahol N* pozitív egész számok halmaza Vagyis: ha egy természetes számokból álló halmaz tartalmazza a 0-t és 1-t, valamint minden k számhoz a rákövetkező számot, akkor tartalmazza az összes természetes számot. Összeadás: tag1+tag2=összeg a) kommutatív (felcserélhetőség) -> a+b+c=a+c+b=összeg b) asszociatív (csoportosíthatóság) -> (a+b)+c=a+(b+c)=összeg Kivonás: kisebbítendő-kivonandó=különbség Az N számok halmazán a kivonás csakkor végezhető el, ha a kisebbítendő≥kivonandó Halmazok, műveletek halmazokkal 5

  6. Számhalmazok – Egész Számok • Egész számok halmazának jelölése: Z • Ahol, az egész számok halmaza a valós számok halmazának részhalmaza, melyre: • Vagyis: az egész számok halmaza a természetes számok halmazának bővítése, ahol a kivonás mindig értelmezhető és elvégezhető. • Szorzás: tényező1*tényező2*tényező3 = szorzat (azonos előjelek száma meghatározza a szorzat előjelét) • a) kommutatív • b) asszociatív • c) Disztributív (széttagolható) -> a(b+c)=ab+ac=szorzat Osztás: osztandó:osztó=hányados -> abszolút értékük hányadosát egyenlő előjelű osztandó és osztó esetén +, különböző előjel esetén – előjellel látjuk el. Egész számok halmazán az osztás nem mindig végezhető el! (10+3=3 és maradt az 1) Nullával való osztást nem értelmezzük! Halmazok, műveletek halmazokkal 6

  7. Számhalmazok – Racionális Számok Racionális számok halmazának jelölése: Q Ahol, a racionális számok halmaza a valós számok halmazának részhalmaza, melyre: Vagyis: a racionális számok halmaza az egész és természetes számok halmazának olyan bővítése, mely esetén az osztás mint matematikai művelet minden elem esetén elvégezhető. Hatványozás: egyenlő számok, betűkifejezések szorzatának rövidített alakja. (an=a*a*a…*a) a: hatvány alap n: hatvány kitevő 0n=0 (n>0) és 1n=1 pozitív szám hatványa mindig pozitív negatív szám hatványa (ha páros a kitevő -> pozitív, ha páratlan a kitevő -> negatív) Halmazok, műveletek halmazokkal 7

  8. Számhalmazok – Racionális Számok Hatványozás alapszabályai Halmazok, műveletek halmazokkal 8

  9. Számhalmazok – Racionális Számok Gyökvonás: azon művelet, mely során az adott hatványhoz és hatványkitevőhöz keressük a hatványalapot. Az olyan nem negatív szám, melynek n-edik hatványa a és ahol n a gyökkitevő; a gyök alatti mennyiség. Gyökvonás alapszabályai Negatív számok gyökvonása nem értelmezett a racionális számok halmazán! Negatív számok gyökvonása a komplex számok halmazán értelmezett! Halmazok, műveletek halmazokkal 9

  10. Számhalmazok – Valós Számok Irracionális számok: a végtelen, nem szakaszos tizedes törteket irracionális számoknak nevezzük. Vagyis, ezen számok halmazának elemei nem írhatók fel két egész szám hányadosaként. Jelölése: Q* Valós számok halmaza: a racionális és irracionális számok halmazának unióját valós számoknak nevezzük. Jelölése:R N={Természetes számok halmaza.}Z={Egész számok halmaza.}Q={Racionális számok halmaza. }Q*={Irracionális számok halmaza.}T={Transzcendens számok halmaza.}R={Valós számok halmaza.} Halmazok, műveletek halmazokkal 10

  11. Summary – Mit „illik” tudni? Kivonás nem mindig végezhető el az egész számok halmazában. Az osztás nem mindig végezhető el az egész számok halmazában. A valós számok halmazában sem végezhető el mindig a gyökvonás, pl negatív számoknak a négyzetgyöke nem tartozik a valós számok halmazába. A valós számok halmazán mindig értelmezett műveletek, az összeadás, szorzás, osztás mint matematikai műveletek tulajdonságainak pontos ismerte és alkalmazása. Halmazok, műveletek halmazokkal 11

More Related