1 / 37

Háló- (gráf-) algoritmusok

Háló- (gráf-) algoritmusok. Háló: G=(V,E), ahol V (vertex): csomópontok/csúcsok halmaza, E (edge): élek/ívek halmaza Élek egyediek, azaz Innen Oda csak egyetlen él vezethet Ritka háló: ha |E| sokkal kisebb, mint |V| 2 Hálók ábrázolási módjai: 1. Csúcsmátrixszal (sűrű hálókra)

elia
Download Presentation

Háló- (gráf-) algoritmusok

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Háló- (gráf-) algoritmusok • Háló: G=(V,E), ahol V (vertex): csomópontok/csúcsok halmaza, E (edge): élek/ívek halmaza • Élek egyediek, azaz InnenOda csak egyetlen él vezethet • Ritka háló: ha |E| sokkal kisebb, mint |V|2 • Hálók ábrázolási módjai: • 1. Csúcsmátrixszal (sűrű hálókra) • 2. Szomszédsági listával (ritka hálókra) • 3. Éllistával (nem lehetnek egyedülálló pontok) • Irányított/irányítatlan hálók (honnanhová  hováhonnan) • Súlyozott hálók: w:ER súlyfüggvény

  2. További fogalmak • Csomópont elődje: ahonnan él visz a csomópontba • Csomópont utódja: ahová a csomópontból él visz • Élek: csomópontok feletti relációk. Metarelációk: • Szimmetria: innenoda onnanide (irányítatlan) • Tranzitivitás: innenoda, onnanamodainnenamoda • Reflexivitás: innenide • Nyelő: csomópont, aminek nincsen utódja • Forrás: csomópont, aminek nincsen elődje • Fa: olyan gráf, csomópontjainak legfeljebb egyetlen elődje, és legfeljebb egyetlen forrása (gyökere van), és több nyelője (levele) is lehet. • Körmentes háló: innenide eljutni sem közvetlenül, sem közvetve nem lehetséges

  3. További fogalmak • Út a hálóban a-tól z-ig: ab,bc,…,yz élsorozat • Egyedülálló (szingli-szinguláris) csomópont, ha legfeljebb sajátmagával van összekötve • Egybefüggő a háló, ha minden két csomópontja között létezik összekötő út (figyelem!! Rossz definíció!!) • Széteső (disjoint) a háló, ha vannak csomópontok, amelyek között nincs összekötő út • Ritka a háló, ha |E|<<|V|2 Egyébként sűrű.

  4. 1 2 3 4 5 6 1-21-42-32-53-64-25-46-6 Példa 1 2 3 4 5 61 . * . * . .2 . . * . * .3 . . . . . *4 . * . . . .5 . . . * . .6 . . . . . * 1-2.42-3,53-64-25-46-6 Csúcsmátrix: inkább sűrű hálókra, de egyszerűbbek az algoritmusok- átlója az önmagából önmagába futó élek- irányítatlan gráf az átlóra szimmetrikus Szomszédsági listák: helytakarékos az ábrázolás, különösen ritka hálókra, viszont bonyolultabbak az algoritmusok Éllisták: csak egyedülálló pontok nélküli hálókra

  5. Alapvető hálóalgoritmusok • Adott csomópont elődeinek-utódainak-szomszédainak meghatározása • Gráf transzponáltja: minden él irányításának megfordítása (csúcsmátrix: tükrözés az átlóra) • Gráf komplementere: minden él az ellentettjére változik (csúcsmátrix: invertálás) • Szimmetrikus lezárás: egyesítés a transzponálttal • Tranzitív lezárás: minden innenoda, onnanamoda út esetében az innenamoda él felvétele

  6. Bejárási/keresési algoritmusokszéltében keresés (breadth first) • Egy adott kezdőpontból kiindulva bejárja a többi csúcsot • A kezdőcsúcsból vagy az adott rétegből egy lépésben elérhető csúcsok alkotják az első/a következő réteget • Rátalál minden elérhető csúcsra (eléri a sajtot) • Kiszámítja a legrövidebb (a legkevesebb élből álló) utat • Létrehoz egy ún. szélességi fát: amelynek a gyökere a kezdőcsúcs, ágai pedig a keresés lépései • A szélességi fát is rétegenként hozza létre

  7. Az algoritmus működése • Csúcspontok gyűjtése: réteg, új réteg, már bejárt • Kezdetben egyetlen csúcs sem bejárt • Az első csúcsot bejárjuk, beillesztjük a rétegbe • Ciklus kezdete • Belső ciklus: Felépítjük az új réteget: a régi rétegből elérhető, de még nem bejárt elemeket betesszük az új rétegbe, és betesszük a már bejártak közé • Rétegváltás: az aktuális réteg  az új réteg • Ciklus vége: kilépünk, ha a réteg üres

  8. Pár szó az algoritmusról • Ha mindegyik csúcsra ráírjuk az elérési réteg(hullám) sorszámát, akkor megkapjuk a csúcsok távolságát a kezdőponttól • Egyszerűsítés: ha csak egy „réteg” változónk van. amely egy FIFO sor. Innen vesszük le az elemeket az elérhetőségi vizsgálathoz, és ennek a végére illesztjük az elérhetőket. • Keresés esetén: az elem megtalálásakor az algoritmus megáll

  9. r s t u r s t u v w x y v w x y r s t u r s t u v w x y v w x y r r s s t t u u v v w w x x y y Példa az algoritmus működésére

  10. Az algoritmus pszeudokódja Kezdőértékezés minden csúcsra • SzéltébenBejár(s)for minden uÎV-{s} csúcsra do bejárt[u]=False, táv[u]=végtelen, előd[u]=NILbejárt[s]=True, táv[s]=0előd[s]=NIL, réteg={s}while réteg<>NIL u=réteg.feje for minden vÎutód(u) do if not bejárt[v] then bejárt[v]=True, táv[v]=táv[u]+1 előd[v]=u, réteg.beszúr(v) réteg.kivesz A kiindulási csúcs kezdőértékezése Az előd feljegyzése állítja elő a szélességi fát

  11. 7 2 4 5 1 3 6 • Széltében/mélységben keresés a köv. hálón: • tombKezd = Array(1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5)tombVeg = Array(2, 3, 4, 4, 6, 5, 7, 5, 6)Call myGraph.bfSearch(1)Call myGraph.dfSearch(1) 7 2 4 5 1 3 6

  12. Elemzés • Futási idő: • Függ az adatok ábrázolásától. (Réteg, Újréteg, Már bejártak) • Minden csomópontot legfeljebb egyszer vizsgálunk meg Tehát a sorba betétel és kivétel ideje: O(V). • Minden ívet legfeljebb csak egyszer vizsgálunk meg (a szomszédok vizsgálatakor) ezek időszükséglete O(E). • Teljes időszükséglet: O(E+V)

  13. Széltében keresés - Legrövidebb utak • s-ből v-be vezető legrövidebb úthosszat jelöljük δ(s,v)-vel • Lemma: ha létezik uv él, akkor δ(s,v)<=δ(s,u)+1 • Biz: Ha u elérhető, akkor legrosszabb esetben az uv plusz lépéssel elérhető v is. Ha u nem elérhető, akkor δ(s,u)=végtelen • Lemma: A SzéltébenKeresés algoritmus táv[u] értékei minden vÎV csúcsra kielégíti a táv[v]>=δ(s,v) egyenlőtlenséget. • Biz: Teljes indukcióval a réteg-be beállítás szerint1. Kiindulás: amikor s-t beállítjuk a „réteg” sorba, akkor táv[s]=0, tehát táv[s]<=0<= δ(s,s) teljesül.2. Indukciós lépés: Tfh. Egy u csúcsra táv[u]>=δ(s,u) teljesül, és egy v csúcs az u utódjainak vizsgálata során még nem bejárt. Ekkor (program értékadás, előzőek miatt): táv[v]=táv[u]+1>= δ(s,u)+1>= δ(s,v) táv[v]>= δ(s,v)

  14. Széltében keresés - Legrövidebb utak • Lemma: Tfh. „réteg” a (v1,v2,…,vr) csúcsokat tartalmazza. Ekkor táv[vr]<=táv[v1]+1 és táv[vi]<=táv[vi+1] bármely 1<=i<=r-1 értékre • Biz: Sor műveletek szerinti teljes indukcióval1. Kiindulás: a „réteg” sor csak az s csúcsot tartalmazza, az állítás triviálisan teljesül2. Indukciós lépés: egy elem kivétele: Ha a sor üres lesz, akkor triviálisan teljesül. Ha nem lesz üres, akkor is teljesül.Egy elem betétele: az új, vr+1csúcs az éppen vizsgált v1 utódja. Ezért (algoritmus): táv[vr+1]=táv[v1]+1 Viszont: táv[vr]<=táv[v1]+1 (indukciós előfeltevés miatt), vagyis táv[vr]<=táv[vr+1].

  15. Széltében keresés - Legrövidebb utak • Tétel: táv[v]= δ(s,v) minden s-ből elérhető vÎV csúcsra. • Biz: A távolság szerinti indukcióval, csak az elérhető csúcsokra. Jelölje Vk az s-től k távolságra levő csúcsokat. Vk={vÎV: δ(s,v)=k}Alapeset: V0={s}, táv[s]=0= δ(s,v), ez a legrövidebb útIndukciós lépés: Tfh., hogy adott a Vk halmaz, vagyis amelyre δ(s,u)=k. Ekkor u utódjainak vizsgálata során a köv. lehetőségek vannak:- v már bejárt. (vÎVi valamely i<=k-ra). Ezt ilyenkor nem vesszük hozzá a Vk+1 halmazhoz.- v még nem járt be. Ilyenkor a δ(s,v)<=δ(s,u)+1 miatt δ(s,v) legfeljebb 1-gyel nő meg, ha v még nem bejárt, akkor éppen 1-gyel.

  16. Mélységi bejárás/keresés • Balfal tapogatás+Ariadné fonala • Szekvenciális (1 dalia) algoritmus • Minden elágazásnál a legbaloldalsóbbat választjuk ki először, azon haladunk tovább • Ha már tovább nem tudunk haladni, akkor visszalépünk, és az utolsó elágazási pontnál a következő alternatívát választjuk • Kiindulás: vagy egy indulási ponttól vagy ciklusban az el nem ért pontokból • A Prolog programozási nyelv alapmechanizmusa mélységi keresésen alapul

  17. r s t r s t v w x v w x r s t r s t v w x v w x r s t r s t v w x r s t v w x v w x Az első kiindulási pont Új kiindulási pont Példa az algoritmus működésére Az első kiindulási pontból elérhető elemeket elértük

  18. Az algoritmus pszeudokódja • MélységbenMindentBejárfor minden uÎV forrás csúcsra do MélységbenBejár(u) • MélységbenBejár(u) bejárt[u]=True, belépés[u]=most, most=most+1 for minden vÎutód(u) do if not bejárt[v] then előd[v]=u, MélységbenBejár(v) kilépés(u) = most, most=most+1

  19. Megjegyzések • Az algoritmus előállít egy mélységi erdőt. Ezt azonban nem rétegenként, hanem a legbaloldalibb ágon azonnal leás, majd vissszalép az utolsó nyitott csomópontig • Időelemzés: 1. A MélységbenBejár eljárás egyszer hívódik meg minden csomópontra (Θ(|V|)) 2. Az utód(U) függvény egyszer hívódik meg minden élre (Θ(|E|)) • Teljes időszükséglet: (Θ(|V|+|E|))

  20. További állítások • Zárójelezés tétele: mélységi keresés során bármely u,v csúcspárra igaz, az alábbiak közül pontosan egy:- belép-kilép[u], ill. belép-kilép[v] diszjunktak, u-v nem leszármazottjai egymásnak- belép-kilép[u] tartalmazza belép-kilép[v]-t, és u a v leszármazottja- u-v-re nézve fordítva • Biz: A mélységi fában/erdőben két csomópont- vagy egyik a másik leszármazottja- vagy nem (oldalági, vagy független)A mélységi keresés a fában a leszármazottak feldolgozását 1-gyel később kezdi, és 1-gyel hamarabb fejezi be, mint az adott elemét  bármely leszármazott feldolgozása részintervalluma az adott elemének.

  21. visszamutató él y Példa z s t x w v u előre mutató él s t s t z v u z v u y w y w x x kereszt él (s (z (y (x x) y) (w w) z) s) (t (v v) (u u) t)

  22. Éltípusok a mélységi erdőben • Fa él: a mélységi erdő élei: u-v a fa éle, ha v-t először az u-ból kiindulva 1 lépésben értük el • Visszamutató él: u-v visszamutat, ha v megelőzője u-nak a mélységi fában • Előremutató él: u-v előre mutat, ha v leszármazottja u-nak a mélységi fában • Kereszt él: az összes többi él • Színezés/élosztályozás:- fehér: még be nem járt él- szürke: a mélységi fa gyökeréből vezető út- fekete: többi már bejárt csúcs

  23. A mélységi bejárás további tulajdonságai • A MélységbenBejár algoritmus élosztályozást célzó módosítása:- ha az utód még nem bejártfa él- ha az utód rajta van a gyökérből idevezető útonvisszamutató él- egyébként: előre mutató vagy kereszt él • Irányítatlan háló mélységi keresésekor a vizsgált él:- vagy fa él- vagy visszamutató él • Biz: tfh. az (u,v) él esetén v leszármazottja u-nak. Ekkor:- ha levél felé haladáskor vesszük figyelembefa él- ha a v élt más úton már elértük, akkor visszamutató él

  24. Topologikus rendezés • Topologikus rendezés irányított körmentes hálókra: a csúcsok sorbarendezése úgy, hogy ha létezik {x,y} él, akkor x előzze meg y-t. (Vagyis minden él egyirányba mutasson). • Használata: 1. pl. projektterv, csomópontjai: részfeladatok, élei:előfeltétel kapcsolatok. Topologikus rendezéslehetséges forgatókönyv (több topologikus rendezés is elképzelhető) • 2. Pl. egy szoftver modul eljárásainak rendezése, ha rekurzió nem megengedett…

  25. Topologikus rendezési algoritmus változat (párhuzamos-szerű) • a hálóról lépésenként leválasztjuk a forrás csomópontokat • ha ilyen nincs, akkor nincs topologikus rendezés  a háló nem körmentes • Házi feladat: körmentesség vizsgálata RDBMS környezetben. (Segítség:1. Jelképezzék FROM,TO INTEGER mezők a hálót 2. DELETE SQL utasítással ciklusban töröljük a forrás csomópontokat Példa:öltözködési terv zokni alsónadrág cipő nadrág ing öv nyakkendő zakó alsónadrág nadrág zokni cipő ing öv nyakkendő zakó

  26. Mélységi keresésen alapuló topologikus rendezési algoritmus • TopologikusRendezés:MélységbenMindentBejár hívása úgy, hogy a csomópontokat a feldolgozásukból kilépés időpontja szerint csökkenő listába gyűjtjük zokni (17/18) karóra (9/10) alsónadrág (11/16) Egyedülálló csomópont (2. fa gyökere) nadrág (12/15) cipő (13/14) ing (1/8) Harmadik fa gyökere nyakkendő (2/5) öv (6/7) Ennél a gyökérpontnál indul zakó (3/4) zokni alsónadrág nadrág cipő karóra ing öv nyakkendő zakó

  27. Topologikus rendezés helyessége • Tétel: a háló körmentes nincs a mélységi keresés során visszamutató él • Biz: tfh. Létezik (u,v) visszamutató él. Viszont v őse u-nak a mélységi fában. Vagyis uvu kört képezellentmondás: tfh. a háló mégis tartalmaz kört. Legyen v a c kör elsőnek elért eleme, és (u,v) a c kör v-t megelőző eleme. v-ből kiindulva elérjük u-t, ekkor azonban v már bejárt lesz, vagyis (u,v) vissza mutat

  28. Topologikus rendezés helyessége • Tétel: a mélységi keresésen alapuló algoritmus tényleg egy irányított körmentes háló topologikus rendezését állítja elő. Biz: Azt kell belátni, hogy u és v csúcsokra, ha v elérhető u-ból, akkor Kilépés[v]<Kilépés[u]. Amikor a MélységiKeresés során egy (u,v) élt megvizsgálunk, akkor v nem eshet a gyökérből az u-ba vivő útra, hiszen a gráf körmentes. Kétféle lehetőség állhat fenn:1. v-t már más ágon bejártuk: ekkor nyilvánvalóan Kilépés[v]<Kilépés[u],2. v új csúcs. Ekkor csak v feldolgozása után fejezzük be u feldolgozását, vagy Kilépés[v]<Kilépés[u]

  29. Erősen összefüggő komponensek • Def: G=(V,E) háló erősen összefüggő komponense a csúcsok egy olyan maximális U részhalmaza, hogy u,vÎV esetén uv és vu is fennáll. • Jelentősége: nagyméretű hálókat komponensekre lehet bontani, így az eredeti feladat részfeladatokra osztható. cd abe a b c d h fg e f g h

  30. Algoritmus • ErősenÖsszefüggő1. MélységbenMindentBejár hívása, Kilépés[u] kilépési időpontok kiszámításával2. Transzponált kiszámítása3. MélységbenMindentBejár hívása a transzponáltra, de a főciklusban a csúcsokat Kilépés[u] szerint csökkenően járjuk végig4. Az így kapott mélységi erdő fái adják az erősen összefüggő komponenseket

  31. Segédtételek • Lemma: Ha u és v ugyanazon erősen összefüggő komponens része, akkor a közöttük vezető utak nem vezetnek ki a komponensből. • Biz: tfh. w egy komponensen kívüli csúcs, az uv út része (uwv). w csak akkor lehet a komponensen kívül, ha u nem elérhető w-ből, ill. w nem elérhető v-ből. Viszont wvu és vuw mert egy komponensben vannak, és uw. Mivel az erősen összefüggő komponens maximális méretű, ezért w benne van. v w u

  32. Segédtételek • Tétel: Egy gráf mélységi erdejében egy v csúcs leszármazottja az u csúcsnak ha u elérésekor (a Belép(u) időpillanatban) v a gráfban elérhető az u-ból olyan úton, amelynek még egyetlen szakasza sem volt bejárva • Biz: tfh. v u leszármazottja. Ilyenkor Belép(u)<Belép(v), vagyis v-t az u elérésekor még nem járhattuk be. Indirekt: tfh. v elérhető u-ból a Belép(u) pillanatban még nem bejárt csúcsokon át, v mégsem lesz leszármazottja a mélységi fában. Tfh. v az első ilyen nem leszármazott csúcs. Legyen w a v csúcs közvetlen elődje a gráfban (esetleg w=u). Ekkor Belép(u)<= Belép(w)< Kilép(w)<=Kilép(u). Viszont Belép(u)<Belép(v), és Kilép(v)<=Kilép(w). Vagyis u be-kilépési intervalluma teljesen tartalmazza v-ét. Ezért (korábbi tétel) v u leszármazottja kell, hogy legyen. v w u Még be nem járt csúcsok

  33. r Segédtételek • Tétel: Mélységi keresés esetén egy erősen összefüggő komponens csúcsai ugyanabba a mélységi fába kerülnek • Biz: Legyen r az EÖK első olyan csúcsa, amelyet a mélységi fa elért. Ilyenkor- az EÖK összes csúcsába vezet az r-ből út- egyetlen ilyen út sem hagyja el az EÖK-t(a komponensből kilépve nem kanyarodik vissza)- az EÖK összes csúcsa r leszármazottja lesz a mélységi fában

  34. Segédtételek - Ősapa • Be fogjuk látni, hogy minden EÖK-ben van egy csúcs, amelyet először érünk el, és utoljára hagyunk elősapa… • Def: egy EÖK-beli csúcs ősapjának azt a φ(u) csúcsot nevezzük, amely u-ból elérhető, és utoljára hagyjuk el a mélységi keresésben. Vagyis u φ(u) és Kilép(φ(u)) maximális. • φ(u)=u előfordulhat, mert uu. Ezért Kilép(u)<=Kilép(φ(u)) • Belátjuk, hogy φ(φ(u))=φ(u), vagyis az ősapa (egy EÖK-ben) egyértelmű. Bármely u,vÎV csúcsra uv  Kilép(φ(v))<=Kilép(φ(u)), hiszen {w:uw}Í{w:vw}, és φ a legkésőbbi kilépési időpontú csomópontot adja. Mivel uφ(u), ezért Kilép(φ(φ(u)))<=Kilép(φ(u)). Viszont Kilép(φ(u))<=Kilép(φ(φ(u)))  Kilép(φ(φ(u)))=Kilép(φ(u)) 

  35. Segédtételek- Ősapa • Az ősapa az EÖK reprezentáns csúcsa, ezt érjük el először, és ezt hagyjuk el először. A transzponált keresése közben ez lesz a mélységi fa gyökere • Tétel: G=(V,E) irányított gráfban bármely uÎV csúcs φ(u) ősapja megelőzője lesz u-nak G bármelyik mélységi keresése során • Biz: Ha épp az ősapáról van szó (φ(u)=u), akkor a tétel nyilvánvalóan igaz. Ha (φ(u)<>u), akkor vizsgáljuk meg a csúcsokat a Belép(u) időpontban. Ha φ(u) már bejárt és el is hagyott, akkor Kilép(φ(u))<Kilép(u), ami ellentmond. Ha φ(u) megelőzője u-nak a mélységi fában, akkor a tétel igaz.Azt kell még belátnunk, hogy φ(u) nem lehet még nem bejárt:- Ha az u φ(u) út minden csúcspontja még nem bejárt lenne, akkor φ(u) az u leszármazottja kell hogy legyen. Ekkor viszont Kilép(φ(u))<Kilép(u), ami ellentmond a korábbi egyenlőtlenségnek.- Ha van már bejárt közbülső csúcs, akkor legyen t az u φ(u) út utolsó ilyen csúcsa. Ekkor t-nek a φ(u) megelőzőjének kell lennie a mélységi fában, mert a t-t követő összes csúcs még nem bejárt. Ha tehát φ(u) t leszármazottja, akkor Kilép(t)>Kilép(φ(u)), ami ellentmond az ősapa definíciónak.

  36. Segédtételek - Ősapa • Tétel: A G=(V,E) irányított gráfban azu,vÎV csúcsok ugyanahhoz az EÖK-höz tartoznakha G mélységi keresésekor ugyanaz az ősapjuk. • Biz: Ha u és v ugyanahhoz az EÖK-höz tartoznak, akkor minden u-ból elérhető csúcs elérhető v-ből is, tehát φ(u)= φ(v).Tfh. φ(u)=φ(v) ekkor u és φ(u) ugyanabba az EÖK-be tartozik, de ugyanez teljesül v-re és φ(v)-re is. Vagyis u és v is ugyanahhoz az EÖK-höz tartozik.

  37. Következmények • Egy EÖK egy olyan csúcshalmaz, amelyeknek ugyanaz az ősapjuk. • Az ősapa a mélységi keresés során az elsőnek elért és az utolsónak elhagyott csúcs. • A transzponált keresése során a legelső r csúcs (fordított elhagyási sorrend!) biztosan ősapja valamelyik EÖK-nak. Melyik ez az EÖK? Amelyeknek r ősapja, vagyis ahonnan r elérhető, vagyis amelyek r-ből elérhetők a transzponáltban. vagyis leválasztottuk az első EÖK-t.Ezután vesszük a következő legkésőbb elhagyott (és nem bejárt) r’ csúcsot, és újra végrehajtjuk az algoritmust.

More Related