第四章 不可压缩流体的有旋流 动和二维无旋流动

1. 第四章　不可压缩流体的有旋流 　　　　　　　　 动和二维无旋流动 第一节 流体微团运动分析 第二节 有旋流动和无旋流动 第三节 无旋流动的速度势函数 第四节 二维平面流动的流函数 第五节 基本的平面有势流动 第六节 平面势流的叠加流动

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3. 流体由于具有易变形的特性（易流动性），因此流体的运动要比工程力学中的刚体的运动复杂得多。在流体运动中，有旋流动和无旋流动是流体运动的两种类型。由流体微团运动分析可知，有旋流动是指流体微团旋转角速度 的流动，无旋流动是指 的流动。 实际上，黏性流体的流动大多数是有旋流动，而且有时是以明显的旋涡形式出现的，如桥墩背流面的旋涡区，船只运动时船尾后形成的旋涡，大气中形成的龙卷风等等。但在更多的情况下，流体运动的有旋性并不是一眼就能看得出来的，如当流体绕流物体时，在物体表面附近形成的速度梯度很大的薄层内，每一点都有旋涡，而这些旋涡肉眼却是观察不到的。至于工程中大量存在着的紊流运动，更是充满着尺度不同的大小旋涡。

4. 流体的无旋流动虽然在工程上出现得较少，但无旋流动比有旋流动在数学处理上简单 得多，因此，对二维平面势流在理论研究方面较成熟。对工程中的某些问题，在特定条件下对黏性较小的流体运动进行无旋处理，用势流理论去研究其运动规律，特别是绕流物体的流动规律，对工程实践具有指导意义和应用价值。因此，本章先阐述有旋流动的基本概念及基本性质，然后再介绍二维平面势流理论。

5. 第一节 流体微团运动分析 刚体的一般运动可以分解为移动和转动两部分。流体与刚体的主要不同在于它具有流 动性，极易变形。因此，任一流体微团在运动过程中不但与刚体一样可以移动和转动，而且还会发生变形运动。所以，在一般情况下流体微团的运动可以分解为移动、转动和变形运动三部分。

6. 一、表示流体微团运动特征的速度表达式

7. 图 4-1 分析流体微团运动用图

9. 剪切变形速率 、 、 、 、 、 ， 引入记号，并赋予运动特征名称： 线变形速率 、 、 ， （4-1） 、 、 ， （4-2）

10. 于是可得到表示流体微团运动特征的速度表达式为于是可得到表示流体微团运动特征的速度表达式为 旋转角速度 、 、 ， （4-3） （4-4）

12. 二、流体微团运动的分解 为进一步分析流体微团的分解运动及其几何特征，对式(4-4)有较深刻的理解，现在分别说明流体微团在运动过程中所呈现出的平移运动、线变形运动、角变形运动和旋转运动。 为简化分析，仅讨论在 平面上流体微团的运动。假设在时刻 ，流体微团ABCD为矩形，其上各点的速度分量如图4-2所示。由于微团上各点的速度不同，经过时间 ，势必发生不同的运动，微团的位置和形状都将发生变化，现分析如下。

13. 1．平移运动 a 图 4-2 分析流体微团平面运动用图

14. 2．线变形运动

15. b

16. 图4-3 流体微团平面运动的分解(a) 返回

17. 图4-3 流体微团平面运动的分解(b) 返回

18. 图4-3 流体微团平面运动的分解(c) 返回

19. 图4-3 流体微团平面运动的分解(d) 返回

20. 3．角变形运动 c

22. 4．旋转运动 d

25. 综上所述，在一般情况下，流体微团的运动总是可以分解成：整体平移运动、旋转运动、线变形运动及角变形运动，与此相对应的是平移速度、旋转角速度、线变形速率和剪切变形速率。综上所述，在一般情况下，流体微团的运动总是可以分解成：整体平移运动、旋转运动、线变形运动及角变形运动，与此相对应的是平移速度、旋转角速度、线变形速率和剪切变形速率。

26. 第二节 有旋流动和无旋流动 一、有旋流动和无旋流动的定义 二、速度环量和旋涡强度

27. 一、有旋流动和无旋流动的定义 流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动。如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。这里需要说明的是，判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关，在图4-4(a)中，虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动；在图4-4(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但是每个儿童始终是头向上，脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转。

28. 有旋流动 无旋流动 图4-4 流体微团运动

29. 判断流体微团无旋流动的条件是：流体中每一个流体微团都满足判断流体微团无旋流动的条件是：流体中每一个流体微团都满足 根据式（4-3），则有 （4-8）

30. 二、速度环量和旋涡强度 1．速度环量 为了进一步了解流场的运动性质，引入流体力学中重要的基本概念之一——速度环量。 在流场中任取封闭曲线k，如图4-5所示。速度 沿该封闭曲线的线积分称为速度沿封闭曲线k的环量，简称速度环量，用 表示，即 式中 ——在封闭曲线上的速度矢量； ——速度与该点上切线之间的夹角。 速度环量是个标量，但具有正负号。 （4-9）

31. 速度 与该点上切线之间的夹角 在封闭曲线k上的速度矢量 图4-5 沿封闭曲线的速度环量

32. 速度环量的正负不仅与速度方向有关，而且与积分时所取的绕行方向有关。通常规定逆时针方向为K的正方向，即封闭曲线所包围的面积总在前进方向的左侧，如图4-5所示。当沿顺时针方向绕行时，式（4-9）应加一负号。实际上，速度环量所表征的是流体质点沿封闭曲线K运动的总的趋势的大小，或者说所反映的是流体的有旋性。速度环量的正负不仅与速度方向有关，而且与积分时所取的绕行方向有关。通常规定逆时针方向为K的正方向，即封闭曲线所包围的面积总在前进方向的左侧，如图4-5所示。当沿顺时针方向绕行时，式（4-9）应加一负号。实际上，速度环量所表征的是流体质点沿封闭曲线K运动的总的趋势的大小，或者说所反映的是流体的有旋性。 由于　　　　　　和　　　　　　，则 代入式（4-9），得 （4-10）

33. 2．旋涡强度 沿封闭曲线Ｋ的速度环量与有旋流动之间有一个重要的关系，现仅以平面流动为例找出这个关系。如图4-6所示，在平面　　上取一微元矩形封闭曲线，其面积　　　　，流体在A点的速度分量为　和　，则B、C和D点的速度分量分别为：

34. 图4-6 沿微元矩形的速度环量

35. 于是，沿封闭曲线反时针方向ABCDA的速度环量 将、 、 、 和 、 、 、 各值代入上式，略去高于一阶的无穷小各项，再将式（4-3）的第三式代入后，得 然后将式（4-11）对面积积分，得 （4-11） （4-12）

36. 于是得到速度环量与旋转角速度之间关系的斯托克斯定理：沿封闭曲线的速度环量等于该封闭周线内所有的旋转角速度的面积积分的二倍，称之为旋涡强度I，即于是得到速度环量与旋转角速度之间关系的斯托克斯定理：沿封闭曲线的速度环量等于该封闭周线内所有的旋转角速度的面积积分的二倍，称之为旋涡强度I，即 和 式中 —— 在微元面积 的外法线 上的分量。 （4-13）

37. 由式（4-11）可导出另一个表示有旋流动的量，称为涡量，以 表示之。它定义为单位面积上的速度环量，是一个矢量。它在Z轴方向的分量为 对于流体的空间流动，同样可求得X和Y轴方向涡量的分量 和 。于是得 即 （4-14） （4-15）

38. 也就是说，在有旋流动中，流体运动速度 的旋度称为涡量。 由此可见，在流体流动中，如果涡量的三个分量中有一个不等于零，即为有旋流动。如果在一个流动区域内各处的涡量或它的分量都等于零，也就是沿任何封闭曲线的速度环量都等于零，则在这个区域内的流动一定是无旋流动。 下面举两个简单的例子来说明速度环量和旋涡强度的物理意义，以及有旋流动和无旋流动的区别。

39. 【例4-1】 一个以角速度 按反时针方向作像刚体一样的旋转的流动，如图4-7所示。试求在这个流场中沿封闭曲线的速度环量，并证明它是有旋流动 . (解) 【例4-2】 一个流体绕O点作同心圆的平面流动，流场中各点的圆周速度的大小与该 点半径成反比，即 ，其中C为常数，如图4-8所示。试求在流场中沿封闭曲线的速度环量，并分析它的流动情况。(解)

40. 【解】 在流场中对应于任意两个半径 和 的圆周速度各为 和 ，沿图中画斜线扇形部分的周界ABCDA的速度环量 可见，在这个区域内是有旋流动。又由于扇形面积 于是 上式正是斯托克斯定理的一个例证。 以上结论可推广适用于圆内任意区域内。 返回例题

41. 图4-7 有旋流动中速度环量的计算 图4-8 无旋流动中速度环量的计算 返回例题

42. 【解】 沿扇形面积周界的速度环量 可见，在这区域内是无旋流动。这结论可推广适用于任何不包围圆心O的区域内，例如 。若包有圆心( )，该处速度等于无限大，应作例外来处理。现在求沿半径 的圆周封闭曲线的速度环量 上式说明，绕任何一个圆周的流场中，速度环量都不等于零，并保持一个常数，所以是有 旋流动。但凡是绕不包括圆心在内的任何圆周的速度环量必等于零，故在圆心O点处必有旋涡存在，圆心是一个孤立涡点，称为奇点。 返回例题

43. 第三节 无旋流动的速度势函数 如前所述，在流场中流体微团的旋转角速度 在任意时刻处处为零，即满足 的流动为无旋流动，无旋流动也称为有势流动。 一、速度势函数引入 二、速度势函数的性质

44. 一、速度势函数引入 由数学分析可知， 是 成为某一标量函数 全微分的充分必要条件。则函数 称为速度势函数。因此，也可以说，存在速度势函数 的流动为有势流动，简称势流。根据全微分理论，势函数 的全微分可写成 于是得 （4-16）

45. （4-17） 按矢量分析 对于圆柱坐标系，则有 于是 从以上分析可知，不论是可压缩流体还是不可压缩流体，也不论是定常流动还是非定常流动，只要满足无旋流动条件，必然存在速度势函数。 （4-18）

46. 二、速度势函数的性质 （1）不可压缩流体的有势流动中，势函数 满足拉普拉斯方程，势函数 是调和函数。 将式（4-16）代入到不可压缩流体的连续性方程（3-28）中，则有 式中 为拉普拉斯算子，式（4-19）称为拉普拉 斯方程，所以在不可压流体的有势流动中，速度势必定满足拉普拉斯方程，而凡是满足拉普拉斯方程的函数，在数学分析中称为调和函数，所以速度势函数是一个调和函数。 (4-19)

47. 从上可见，在不可压流体的有势流动中，拉普拉斯方程实质是连续方程的一种特殊形 式，这样把求解无旋流动的问题，就变为求解满足一定边界条件下的拉普拉斯方程的问题。

48. （2）任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数 值之差。而与曲线的形状无关。 根据速度环量的定义，沿任意曲线AB的线积分 这样，将求环量问题，变为求速度势函数值之差的问题。对于任意封闭曲线，若A点和B点重合，速度势函数是单值且连续的，则流场中沿任一条封闭曲线的速度环量等于零，即 。

49. 第四节 二维平面流动的流函数 一、流函数的引入 对于流体的平面流动，其流线的微分方程为 ,将其改写成下列形式 （4-20） 在不可压缩流体的平面流动中，速度场必须满足不可压缩流体的连续性方程，即 或 （4-21） 由数学分析可知，式（4-21）是（ ）成为某函数全微分的充分必要条件，以 表示该函数，则有 （4-22） 函数称为流场的流函数。由式（4-22）可得 （4-23）

50. 由式(4-22)，令 ，即 常数，可得流线微分方程式(4-20)。由此可见, 常数的曲线即为流线，若给定一组常数值，就可得到流线簇。或者说，只要给定流场中某一固定点的坐标（ ）代入流函数 ，便可得到一条过该点的确定的流线。因此，借助流函数可以形象地描述不可压缩平面流场。 对于极坐标系，可写成 （4-24） （4-25） 在已知速度分布的情况下，流函数的求法与速度势函数一样，可由曲线积分得出。 至此可看到，在不可压缩平面流动中，只要求出了流函数 ，由式（4-23）或式（4-24）就可求出速度分布。反之，只要流动满足不可压缩流体的连续性方程，不论流场是否有旋，流动是否定常，流体是理想流体还是黏性流体，必然存在流函数 。 这里需说明，等流函数线与流线等同，仅在平面流动时成立。对于三维流动，不存在流函数，也就不存在等流函数线，但流线还是存在的。