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MOTI DEI CORPI CELESTI Modelli Fisico-Matematici e loro validità

MOTI DEI CORPI CELESTI Modelli Fisico-Matematici e loro validità. Anna Nobili (nobili@dm.unipi.it ) , Università di Pisa Dipartimento di Matematica, Gruppo di Meccanica Spaziale Lezioni di orientamento preuniversitario, Pisa 6-13-20 Marzo 2001

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MOTI DEI CORPI CELESTI Modelli Fisico-Matematici e loro validità

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Presentation Transcript

  1. MOTIDEI CORPI CELESTIModelli Fisico-Matematicieloro validità Anna Nobili(nobili@dm.unipi.it ),Università di Pisa Dipartimento di Matematica, Gruppo di Meccanica Spaziale Lezioni di orientamento preuniversitario, Pisa 6-13-20 Marzo 2001 (Disponibili in rete formato html navigabile http://eotvos.dm.unipi.it/nobili/licei)

  2. Peculiarità della Matematica rispetto alle altre Scienze: • È possibile sviluppare teorie dotate di un criterio di verità al proprio interno Si inventano oggetti, proprietà e relazioni tra di essi, leggi ed assiomi cui devono soddisfare… e si procede con il solo vincolo di rispettare le regole date. Capita che teorie matematiche molto astratte trovino applicazioni importanti in altri campi della scienza….ma questo non è in generale l’obiettivo primo del matematico….

  3. Il libro della Natura è scritto nel linguaggio della Matematica….. (Galileo, Pisa 1564-Firenze 1642) ….senza la Matematica, è come avere tra le mani un libro scritto in una lingua che non conosciamo. Non possiamo fare altro che guardare le figure…

  4. Capire il cielo Il cielo e i corpi che lo popolano sono la pagina del libro della Natura che l’uomo ha cercato di ''leggere'' fin da epoche antichissime • Spettacolarità dei fenomeni celesti e preoccupazione per la loro inspiegabilità(e.g. eclissi di sole….) • Rilevanza delle stagioni per l’agricoltura, quindi la produzione di cibo e la sopravvivenza

  5. Impariamo a distinguere pochi puntini tra un’infinità di altri puntini luminosi… Se di notte osserviamo per un certo tempo le stelle di un settore del cielo e le riferiamo ad un sistema di punti fissi sull’orizzonte (e.g. un campanile..) notiamo che si spostano tutte uniformemente nello stesso senso del moto apparente del Sole, da levante verso ponente (1 giro in 23h 56m: il giorno sidereo) Ma sempre restando fisse le une rispetto alle altre in ''configurazioni'' immutabili (le costellazioni)

  6. Impariamo a distinguere pochi puntini tra un’infinità di altri puntini luminosi… Oltre al Sole e alla Luna, pochissimi puntini visibili ad occhio nudo (5, fino alla notte del 13 marzo 1781 quando fu scoperto Urano) si muovono rispetto a tutti gli altri, compiendo strani percorsi nel cielo, a volte addirittura muovendosi all’indietro rispetto ad essi (moti retrogradi)

  7. Le osservazioni non bastano… I movimenti delle 5 ''stelle erranti'' si ripetono sempre uguali a se stessi (moti periodici…o quasi) ….è proprio dal periodico sorgere, culminare e tramontare del Sole (giorno solare) che nasce il concetto stesso di tempo e di orologio(costruire un orologio richiede di disporre di un fenomeno che si ripete sempre uguale a se stesso: e.g. il sorgere del Sole, il movimento di un pendolo, le precise vibrazioni di materiali piezoelettrici come il quarzo usati oggi nei normali orologi da polso), quindi di misura del tempo

  8. Le osservazioni non bastano… I movimenti delle 5 stelle erranti si ripetono sempre uguali a se stessi (moti periodici…o quasi) La difficoltà non sono le osservazioni (che possono essere accurate proprio grazie alla periodicità)…ma includerle in un unico modello geometrico capace di avere valore predittivo…

  9. Le osservazioni non bastano… I movimenti delle 5 stelle erranti si ripetono sempre uguali a se stessi (moti periodici…o quasi) Non più quindi una teoria con criteri di verità al proprio interno, ma una teoria da cui emergono previsioni che possono essere confermate o smentite al di fuori di essa

  10. La visione di Platone (IVo secolo a.C.) ''Le stelle rappresentano oggetti eterni, divini ed immutabili, si muovono con velocità uniforme attorno alla terra –come noi possiamo constatare– e descrivono la più regolare e perfetta di tutte le traiettorie: quella della circonferenza senza fine. Ma alcuni oggetti celesti (il sole, la luna e i pianeti) vagano attraverso il cielo e seguono cammini complessi, con l’inclusione anche di moti retrogradi….

  11. La visione di Platone (IVo secolo a.C.) …Tuttavia, essendo corpi celesti, anch’essi debbono sicuramente muoversi in maniera conforme al loro rango elevato: i loro moti devono perciò derivare da una qualche combinazione di cerchi perfetti, dal momento che non descrivono esattamente dei cerchi perfetti''

  12. Moti retrogradi dei pianeti nella concezione moderna…. Esempio di moto retrogrado di un pianeta superiore

  13. Claudio Tolomeo (150 d.C.) Quali sono le combinazioni di moti circolari, con velocità uniforme, che possono spiegare tali peculiari variazioni a partire da un insieme coerente di moti regolari nel cielo? ''Almagesto'', (in arabo: ''la più grande'', di C. Tolomeo

  14. Claudio Tolomeo (150 d.C.) Riesce a rispondere a questa domanda creando un modello (in 3-D) per il moto dei 7 corpi celesti ''non fissi'' dal quale è possibile predire la posizione dei pianeti nel cielo per molti anni con un errore < 2 !!!!! ''Almagesto'', (in arabo: ''la più grande'', di C. Tolomeo

  15. Il modello tolemaico: una versione semplificata

  16. Il modello tolemaico: una versione semplificata 1a parte - dalla terra fino al sole: terra, luna, mercurio, venere, sole

  17. Il modello tolemaico: una versione semplificata 2a parte - dal sole fino a saturno: terra, sole, marte, giove, saturno

  18. Esempi di moto epicicloidale tratti dalla vita di tutti i giorni….

  19. Il modello tolemaico: l’epiciclo e il deferente … ecco come possano generarsi dei moti retrogradi(Ci vogliono almeno 2 frequenze –velocità angolari– indipendenti !!)

  20. Il modello tolemaico: l’epiciclo e il deferente r1, 1 raggio e velocità angolare del deferente r2, 2 raggio e velocità angolare dell’epiciclo Il pianeta si muove a velocità angolarecostante sull’epiciclo, il cui centro a sua volta gira a velocità angolare costante sul deferente che è centrato sulla terra

  21. Il modello tolemaico: l’epiciclo e il deferente r1, 1 raggio e velocità angolare del deferente r2, 2 raggio e velocità angolare dell’epiciclo 1si misura a partire dall’asse X 2si misura a partire dalla direzione terra-centro del deferente (lungo r1) r2= r12+ r22 - 2r1 r2cos(- 2t) =r12+ r22+2 r1 r2cos(2t) r sin =r2 sin(2t)

  22. Il modello tolemaico: l’epiciclo e il deferente …. E basta giocare con 12r1 r2 per cominciare ad ottenere qualcosa che già assomiglia ai moti irregolari che si osservano nel cielo • anelli (i.e. moto retrogrado) con orbita chiusa (risonanza) • anelli con orbita aperta • orbita del sole con equinozi non equidistanti (velocità angolare variabile, eccentrici ed equanti … e volendo anche orbita ellittica..)

  23. Il modello tolemaico: orbita risonante • anelli (i.e. moto retrogrado) con orbita chiusa (risonanza): r2=0.4 r1 2=31 Nota: i programmi sono scritti in “Matlab” t=[0:0.01:8.5]; omega1=1; omega2=3*omega1; r1=1; r2=r1*(0.4); r=sqrt((r1.^2)+(r2.^2)-(2.*r1.*r2.*cos(pi-(omega2.*t)))); f=omega1.*t+ asin(((r2./r).*sin(pi-(omega2.*t)))); X=r.*cos(f); Y=r.*sin(f); figure; plot(X,Y); title('Esempio 1.a : omega2=3*omega1','FontSize',12); xlabel('Coordinata X','FontSize',12); ylabel('Coordinata Y ','FontSize',12); box on; grid on;

  24. Il modello tolemaico: orbita risonante Notare: i conti di Tolomeo sono sempre fatti rispetto alla Terra, che quindi si trova sempre nell’origine delle coordinate • anelli (i.e. moto retrogrado) con orbita chiusa (risonanza): r2=0.4 r1 2=31

  25. Il modello tolemaico: orbita aperta • anelli (i.e. moto retrogrado) con orbita aperta r2=0.4 r1 2=3.21 t=[0:0.01:8.5]; omega2=3.2*omega1; r=sqrt((r1.^2)+(r2.^2)-(2.*r1.*r2.*cos(pi-(omega2.*t)))); f=omega1.*t+ asin(((r2./r).*sin(pi-(omega2.*t)))); X=r.*cos(f); Y=r.*sin(f); figure; plot(X,Y); title('Esempio 1.b : omega2=3.2*omega1','FontSize',12); xlabel('Coordinata X','FontSize',12); ylabel('Coordinata Y ','FontSize',12); box on; grid on;

  26. Il modello tolemaico: orbita aperta • anelli (i.e. moto retrogardo) con orbita aperta ..frequenze non in risonanza (i.e. non in rapporti interi tra loro) r2=0.4 r1 2=3.21

  27. Tolomeo: un modello semplice per spiegare il moto del Sole caso: r2<<r1 2=-1 t=[0:0.01:8.5]; omega1=1; omega2=-omega1; r1=1; r2=r1.*(3./50); r=sqrt((r1.^2)+(r2.^2)-(2.*r1.*r2.*cos(pi-(omega2.*t)))); f=omega1.*t+ asin(((r2./r).*sin(pi-(omega2.*t)))); X=r.*cos(f); Y=r.*sin(f); figure; plot(X,Y); title('Esempio 2.a : Traiettoria del Sole','FontSize',12); xlabel('Coordinata X','FontSize',12); ylabel('Coordinata Y ','FontSize',12); box on; grid on;

  28. Tolomeo: un modello semplice per spiegare il moto del Sole L’epiciclo e il deferente:casor2<<r1 2=-1 Si spiega così la non equidistanza temporale tra i due equinozi (il tempo per andare dall’equinozio di primavera a quello autunnale è diverso da quello per andare dall’equinozio d’autunno a quello di primavera…)

  29. Tolomeo: si puo’ ottenere anche un’orbita ellittica • orbita ellittica: caso r2<<r1 2=-21 t=[0:0.01:8.5]; omega1=1; omega2=-2*omega1; r1=1; r2=r1.*(3./50); r=sqrt((r1.^2)+(r2.^2)-(2.*r1.*r2.*cos(pi-(omega2.*t)))); f=omega1.*t+ asin(((r2./r).*sin(pi-(omega2.*t)))); X=r.*cos(f); Y=r.*sin(f); figure; plot(X,Y); title('Esempio 2.b : Traiettoria ellittica','FontSize',12); xlabel('Coordinata X','FontSize',12); ylabel('Coordinata Y ','FontSize',12); box on; grid on;

  30. Tolomeo: si puo’ ottenere anche un’orbita ellittica l’epiciclo e il deferente: Con r2<<r1 ,2=-21 si puo’ ottenere anche un’orbita ellittica

  31. Ora facciamo un modello un pò più complicato: 1 deferente e 2 epicicli t=[0:0.01:8.5]; omega1=1; omega2=3.2.*omega1; r1=1; r2=r1.*0.4; r=sqrt((r1.^2)+(r2.^2)-(2.*r1.*r2.*cos(pi-(omega2.*t)))); f=omega1.*t+asin(((r2./r).*sin(pi-(omega2.*t)))); r3=0.1; omega3=-1.17; rho=sqrt(abs((r.^2)+(r3.^2)-(2.*r.*r3.*cos(pi-(omega3.*t)-(omega2.*t- (asin(((r2./r).*sin(pi-(omega2.*t)))))))))); fi=f+asin((r3./rho).*sin(omega2.*t-asin((r2./r).*sin(pi(omega2.*t)))))); [Z,T]=pol2cart(fi,rho); figure; plot(Z,T); title('Esempio 3: Modello con 2 epicicli e un deferente','FontSize',12); xlabel('Coordinata X','FontSize',12); ylabel('Coordinata Y ','FontSize',12); box on; grid on;

  32. Ora facciamo un modello un pò più complicato: 1 deferente e 2 epicicli r2=0.4r1 r3=0.1r1 2=3.213=-1.171

  33. Tolomeo…un modello realistico per Mercurio Con una eccentricita’ del 20% l’orbita di Mercurio poneva seri problemi… • Epiciclo ( 1) • Centro dell’epiciclo (2 ) • Deferente con centro mobile (3) • Moto dul deferente uniforme rispetto al punto di equante

  34. Tolomeo…un modello realistico per Mercurio

  35. Tolomeo…un modello realistico per Mercurio % Questo programma vuol dare un modello per l'orbita di Mercurio % secondo quanto proposto nell'Almagesto di Tolomeo. t=[0:0.01:2000]; r1=0.37083; r2=1; r3=1./24; omega1=(2.*pi)./119; omega2=(2.*pi)./365; omega3=-omega2;

  36. %Cerco ora le coordinate X,Y del pianeta x3=r3.*cos(omega3.*t); DCZ=0.5.*(omega3.*t); DZ=r3; ZC=r3; DC=sqrt((DZ.^2)+(ZC.^2)-(2.*DZ.*ZC.*cos(pi-(omega3.*t)))); DG=r2; DCG=(omega2.*t)+(DCZ); DGC=asin((sin(DCG).*DC)./DG); CDG=pi-(DCG+DGC); CG=(DG.*sin(CDG))./(sin(DCG)); x2=CG.*sin(omega2.*t); CDZ=DCZ; ZDG=CDG-CDZ; K=pi-(CDG+DCZ); x1=r1.*sin(K+(omega1.*t)); X=x1+x2; y1=r1.*cos(K+(omega1.*t)); CT=1./20; y2=(CG.*cos(omega2.*t))+CT; y3=r3.*sin(omega3.*t); Y=y2+y1; figure(2) h=plot(X,Y); set(h,'color','blue')

  37. %Considero adesso l'orbita del Sole sempre secondo Tolomeo, in modo da %poter comparare i due moti r4=0.03; r=sqrt((r2.^2)+(r4.^2)-(2.*r4.*r2.*cos(pi-(omega3.*t)))); f=(omega2.*t)- (asin(((r4./r).*sin(pi-(omega3.*t))))); K=r.*cos(f); W=r.*sin(f); hold on figure(2) xlim([-1.5,1.5]); ylim([-1.5,1.5]); axis square; grid on; title('Traiettoria di Mercurio(blu) e del Sole(magenta)','FontSize',12); xlabel('Coordinata X','FontSize',12); ylabel('Coordinata Y ','FontSize',12); p=plot(W,K); set(p,'color','magenta')

  38. Tolomeo…un modello realistico per Mercurio

  39. Copernico 1473-1543 • Nota che nel modello tolemaico il moto di ogni pianeta contiene sempre la velocità angolare del Sole (2/1 anno) •   • Conviene prendere lo stesso deferente (quello del Sole) per tutti i pianeti • Siccome tutte le osservazioni sono misure di angoli, conviene prendere il raggio del deferente del Sole = 1 ed esprimere i raggi di tutte le altre circonferenze (deferenti, epicicli etc..) in unità del raggio del deferente del Sole Nota: il deferente del Sole è essenzialmente l’orbita del Sole attorno alla Terra, cioè in effetti l’orbita della Terra attorno al Sole (nota come “eclittica”, quindi il suo raggio medio è la distanza media Terra-Sole (unità astronomica  150 milioni di km)

  40. Copernico 1473-1543 1543:De revolutionibus orbium coelestium libri VI Copernico acconsente alla pubblicazione solo nel 1540; Dal 1510 circola un compendio “Commentariolus” Il modello copernicano, in cui il moto di ogni pianeta viene calcolato rispetto al Sole equivale, matematicamente, a tenere fermo il Sole e a porre l’origine del sistema di coordinate nel suo centro anziché nel centro della Terra. Nota: Copernico, nato in Polonia, studia in Italia (BO e PD) dal 1497 al 1503

  41. Copernico 1473-1543 Il modello di Copernico è senz’altro esteticamente più elegante di quello di Tolomeo …anche se non tanto meno complicato visto che usa sempre moti circolari uniformi per descrivere orbite in realtà ellittiche e percorse a velocità angolare non uniforme….. Copernico non dispone di osservazioni più sistematiche e accurate di quelle di Tolomeo, e la precisione delle previsioni basate sul suo modello non è migliore di quelle basate sul modello Tolemaico!

  42. Copernico 1473-1543 …Ma se non viene interpretato in senso puramente matematico, il modello di Copernico costringe a cambiare radicalmente la visione dell’universo, a cominciare dalle sue dimensioni. Se davvero il Sole è fermo nell’origine e la Terra gli gira intorno, allora come è possibile che le stelle, viste dalla Terra, occupino sempre le stesse posizioni nel cielo? …dovrebbero invece mostrare un moto periodico con il periodo del moto della Terra attorno al Sole (1 anno) • fenomeno della parallasse: in questo caso, parallasse annua

  43. Copernico 1473-1543 Copernico risponde nell’unico modo possibile: le stelle sono molto più distanti da noi di quanto noi distiamo dal Sole (1 AU=150 milioni di km), e quindi il loro moto periodico dovuto allo spostamento delle Terra nel suo moto intorno al Sole (“parallasse annua”) è di fatto impercettibile Bisogna accettare l’idea di un Universo molto più grande di quanto non si fosse creduto fino ad allora. In Inghilterra il pensiero di Copernico è accettato con entusiasmo e si pensa addirittura ad un Universo infinito….

  44. L’ osservatorio di Ulug Beg, costruito a Samarcanda 1424-1429, distrutto nel 1449 Come doveva essere…..

  45. L’ osservatorio di Ulug Beg, costruito a Samarcanda 1424-1429, distrutto nel 1449 È il più grande quadrante (in realtà sestante…) murale mai costruito, profondamente ancorato nella roccia per ridurre gli effetti delle vibrazioni sismiche e migliorare la precisione delle osservazione dei corpi celesti.

  46. L’ osservatorio di Ulug Beg, costruito a Samarcanda 1424-1429, distrutto nel 1449 Le osservazioni di Ulug Beg sono le più precise dopo quelle di Hipparcos (129 A.C.) e di Tolomeo (140 D.C.) Ulug Beg usa l’osservatorio fino alla sua morte nel 1449 (avvenuta per mano del figlio…) compilando un catalogo stellare che arrivò e fu pubblicato in Europa dopo quello di Tycho Brahe

  47. Tycho Brahe 1546-1603 1576: Osservatorio di URANIBORG (= i castelli del cielo) In Europa è il primo osservatorio astronomico in senso moderno (antecedente la scoperta del telescopio) in quanto è interamente supportato dallo stato (Federico II di Danimarca) e dedicato ad una raccolta sistematica di osservazioni astronomiche incluso un catalogo stellare di circa 1000 oggetti…. Gli strumenti includono quadranti, misuratori di parallasse, sfere armillari, astrolabi, tutti costruiti con grande accuratezza (prima aveva avuto solo un suo piccolo osservatorio amatoriale) …rilevanza della tecnologia!

  48. Tycho Brahe 1546-1603 Le fortune di Tycho presso Federico II derivano dalla fama acquisita per la scoperta di una “nova” nella costellazione di Cassiopea (1572): minava completamente la convinzione della immutabilitàdei corpi celesti (si trattava di una supernova…) Tycho dimostra anche che la cometa del 1577 è più lontana della Luna e quindi non può essere un fenomeno dell’atmosfera terrestre….come invece si credeva 1576: costruzione di Uraniborg 1588: morte di Federico II 1599: Tycho si stabilisce a Praga. I suoi dati passano all’allievo Johannes Kepler

  49. Tycho Brahe 1546-1603 URANIBORG: Osservazioni sistematiche con l’accuratezza di 2’…. Queste osservazioni mettono in crisi sia Tolomeo che Copernico! …dall’analisi dei dati di Tycho da parte di Keplero (1571-1630) emerge una discrepanza di 8’ nella longitudine di Marte (e=0.09), poi ridotta a 2’ con l’introduzione di orbite ellittiche)

  50. Keplero 1571-1630 …dall’analisi dei dati di Tycho da parte di Keplero (1571-1630) emerge una discrepanza di 8’ nella longitudine di Marte (e=0.09), poi ridotta a 2’ con l’introduzione di orbite ellittiche) Perplessità di Keplero sugli epicicli: come può un centro vuoto esercitare forze? ….ci si incomincia a chiedere quali siano le cause del moto 1609: Pubblicazione di “Astronomia Nova”

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