1 / 36

Tételek, bizonyítások tanítása

Tételek, bizonyítások tanítása. Készítette: Harmath Zsolt Kovács Péter Norbert. Felfogások a bizonyításokkal kapcsolatban. A 80-as években megváltozott a matematikáról alkotott merev felfogás A matematikai tartalom kihangsúlyozása a formalizmus helyett

ellema
Download Presentation

Tételek, bizonyítások tanítása

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Tételek, bizonyításoktanítása Készítette: Harmath Zsolt Kovács Péter Norbert

  2. Felfogások a bizonyításokkal kapcsolatban • A 80-as években megváltozott a matematikáról alkotott merev felfogás • A matematikai tartalom kihangsúlyozása a formalizmus helyett • A matematikai nyelv jelentésaspektusa fontosabb a szimbolikus aspektusnál • A gondolkodási folyamatok legalább olyan fontosakká váltak, mint az eredmények • A bizonyítások elfogadása egy szociális folyamat

  3. Felfogások a bizonyításokkal kapcsolatban • Kalmár László (1986):„…az egzaktságnak nincs határa, nincs olyan precíz módon megfogalmazott definíció vagy tétel, amibe még precízebb álláspontról bele ne lehetne kötni.” • Halmos Pál (1976):„A matematika legjellemzőbb tulajdonságai: egyszerűség, összefüggések szervezése, és mindenekelőtt logikai gondolkodási eljárás…”

  4. Logikai alapkérdések • Kijelentés: egy tény, jelenség, kapcsolat gondolati visszatükröződése, ami igaz, vagy hamis lehet.Pl.: az ABC háromszög derékszögű • Predikátum (kijelentésforma): Olyan nyelvi képződmény, mely változót tartalmaz és a kijelentéshez hasonló formája van. Igazságértéke a változó behelyettesítésétől függően lehet igaz, vagy hamis.Pl.: 6x + 3 = 12

  5. Logikai alapkérdések • Műveletek kijelentések (A) és kijelentésformák között (A(x)): • Negáció • Konjunkció („és”) • Diszjunkció („vagy”) • Implikáció • Ekvivalencia • Kijelentések osztályozása: • Egyedi kijelentés (állítás) • Létezési kijelentés (létezik) • Általános kijelentés (minden)

  6. Logikai alapkérdések Következmény: Az A kijelentésformából következik a B kijelentésforma, ha minden olyan változóinterpretáció, amely A-t kielégíti, a B-t is kielégíti. Pl.: Pitagorasz tétele. Azaz a háromszög derékszögű voltából következik, hogy a befogók összege megegyezik az átfogó négyzetével.

  7. Argumentációk, indoklások, bizonyítások • Egy szélesebb értelemben vett bizonyítási fogalom • Winter (1978) a következőket sorolja az argumentációk közé: • Megállapodásokhoz való alkalmazkodás • Általános állítások konkrét példákon való kipróbálása • Indoklás, következtetés, bizonyítás • Indoklások érvényességének vizsgálata • Álbizonyítások felfedése • Matematikai megfontolások jelentőségének értékelése

  8. Pszichológiai kérdések • A bizonyítási tevékenység feltételezi a következtetési képességet és az absztrakt fogalmakkal való műveletek végzését a tanuló részéről • A formális szintig a gyermek gondolkodása fokozatosan „jut el”: • Műveletek előtti szakasz • Konkrét műveletek szakasza • Formális műveletek szakasza (ált. 12-13 éves korban, azaz 6-7. osztályban áll át a gyerek) • PREMATEMATIKAI bizonyítások (szemléletesség miatt)

  9. Prematematikai bizonyítások • Semadeni (1976) szerint egy prematematikai bizonyítás konkrét cselekvésekből áll: • Konkrét fizikai cselekvések • Tárgyakkal végzett cselekvések • Képek rajzolása • Ábra alapján történő okoskodás • Interiorizációs folyamat (a cselekvés belső elvégzése) • Általánosítás

  10. Prematematikai bizonyítások • Példák: • Az első n természetes szám összegeS = n(n+1)/2 (négyzetrácsos ábra) • Háromszögszámok1,3,6,10,… • Négyzetszámok1,4,9,16,… • Trapézszámok1,5,12,…T(n) = n^2 + n(n-1)/2n-ik négyzetszám fölé helyezzük az (n-1)-ik háromszögszámot

  11. Prematematikai bizonyítások • T(n) (a trapézszámok) ugyanazt a maradékot adják 3-mal való osztásnál, mint n • Szemléletes bizonyítás • Formális bizonyítás • A prematematikai bizonyításokat „példához kötött” bizonyításoknak is nevezik. • Konkrét példán keresztül mutatja meg az állítás helyességét

  12. Prematematikai bizonyítások • Párhuzamos szelők tétele + bizonyítása • Tétel: Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor az egyik száron keletkezett szakaszok aránya megegyezik a másik száron keletkezett megfelelő szakaszok arányával. • Bizonyítás (tetszőleges racionális arányra): • Egyenlő szakaszoknak egyenlő szakaszok felelnek meg • Egyik szakaszon az arány 1:2. A nagyobbik szakasz felezőpontján át az eredeti párhuzamos egyenesekkel párhuzamost húzok, így visszavezethető az előző pontban megfogalmazottakra • 3:4-es arány esetében 3:4 részre osztjuk a szakaszt… • p:q arány esetében p:q részre osztjuk a szakaszt…

  13. Matematikai bizonyítási koncepciók • „Korrekt lépések sorozat”-ának meghatározása • Stein (1986): • Matematikai-logikai elmélet szintjeAz elmélet minden részletében rögzített, a matematikai világ a legkisebb részletekig meg van adva • Matematikai elmélet szintjeAz elmélet legfontosabbnak tartott részletei egyértelműen rögzítettek, ez a szint felel meg az egyetemi-főiskolai szintnek • Lokálisan rendezett elmélet szintje • Mindennapi okoskodások szintje

  14. Matematikai bizonyítási koncepciókLokálisan rendezett elmélet • Egy bizonyítás vagy néhány bizonyítás láncolata áll előtérben • Nyelve egy alapnak tekintett matematikai elmélet nyelvére támaszkodik • Az állítások anyanyelven vannak megfogalmazva • Axiómák • Explicite nem adunk meg • Implicite nézve minden olyan állítás axióma, melyet egy bizonyítás során felhasználunk, mivel tartalmilag nyilvánvalóak • Definíciók • Csak a feltétlenül szükséges fogalmakat definiáljuk • Esetenként nem dönthető el, hogy egy szövegrész axióma-e, vagy tétel

  15. Matematikai bizonyítási koncepciókLokálisan rendezett elmélet • Következtetési szabályok • A logikailag korrekt következtetési szabályok mellett esetenként heurisztikus következtetési lépések is előfordulnak • Néhány konkrét példa alapján egy nagyobb együttesre következtetünk (induktív következtetés) • Bizonyítás • Nincs konkrétan rögzítve • Gyakran használ fel nem bizonyított segédtételeket • Csak a lényeges lépéseket tartalmazza pontos formában

  16. Példa egy lokálisan rendezett elméletre

  17. Matematikai bizonyítási koncepciókMindennapi okoskodások elmélete • Az elmélet részletei nincsenek egyértelműen rögzítve, ezeket a kontextusból kell levonni (pl.: játékok) • Nyelv: anyanyelv + kapcsolatos releváns fogalmak • Axióma: csak hallgatólagos alapszabályok léteznek • Definíciók lényegében nem fordulnak elő, a felhasznált fogalmak jelentését az alkalmazásból tudjuk kikövetkeztetni • Következtetési szabályok: logikai és heurisztikus egyaránt • Bizonyítás: nyelvi argumentációs láncok, melyek megfelelnek a probléma feltételeinek. Nem megengedettek azok, melyek a probléma feltételeit megszegik, illetve hamis feltételeket használnak fel. (pl.: sakk, dominó)

  18. Bizonyítások tanítási fázisai • Tételek megsejtése • Bizonyítási ötletek megtalálása, bizonyítási módszerek, stratégiák alkalmazása • Bizonyítás rögzítése, leírása, reflexió

  19. Tételek megsejtését szolgáló eljárások • Tételek megfordítása • Analógia • Általánosítás • Indukció • Számítási feladat megoldása, elemzése • Szerkesztési feladat megoldása, elemzése • Egy geometriai konfiguráció elemzése • Algebrai tételek megsejtése és bizonyítása geometriai szemléltetés alapján

  20. Tételek megfordítása • „Ha A, akkor B” megfordítása a „ha B, akkor A” • Pl.: „ha egy négyszög átlói felezik egymást, akkor paralelogramma” • Megfordítva: „Ha egy négyszög paralelogramma, akkor átlói felezik egymást”

  21. Tételek megfordításaLogikai négyszög TételA → B Tétel megfordításaB → A Tétel megfordításának kontrapozíciója┐A → ┐B Tétel kontrapozíciója ┐B → ┐A

  22. Tételek megfordításaTöbbfeltételes tételek megfordítása • Ha egy természetes szám osztója egy összeg mindkét tagjának, akkor a természetes szám osztója az összegnek is(a|b és a|c) → a|(b+c) • A tétel szerkezete: (F1 ^ F2) → K • Három megfordítás: • K → (F1 ^ F2) • (F1 ^ K) → F2 • (K ^ F2) → F1 • Hamis, Igaz, Igaz • Geometriai példa: egy kör átmérőjéhez tartozó minden kerületi szög derékszög

  23. Analógia, analógiás következtetések • Olyan gondolkodási művelet, amely alkalmazásakor két vagy több jelenségnek, dolognak bizonyos tulajdonságokban, viszonyokban, struktúrában való megegyezése alapján más tulajdonságban, viszonyban, struktúrában való megegyezésüket is sejtjük • Példa: Téglalap – téglatest • Téglalap minden oldala párhuzamos pontosan egy másik oldallal és merőleges a többi oldalra • Téglatest minden lapja párhuzamos pontosan egy másik lappal és merőleges a többi lapra • Háromszög – tetraéder

  24. Analógia, analógiás következtetések • Elvezethet igaz állításhoz, de esetenként hamis állításhoz is • Háromszög – tetraéder súlyvonal (2:1, 3:1) igaz • Háromszög – tetraéder magasságvonalai egyaránt egy pontban metszik egymást. Hamis • ab = ba → a^b = b^a • ab / cb = a/c → (a + b) / (c + b) = a / c • Didaktikai megjegyzés: térben is használható síkgeometriai eljárások alkalmazása • Egyenlő szárú háromszög alapjának tetszőleges pontjából merőlegeseket bocsátunk a szárakra. Ezen szakaszok összege állandó… Gúlára alkalmazni!

  25. Általánosítás • Olyan művelet, mely egy szűkebb osztály elemeire vonatkozó összefüggést analógiás következtetés segítségével átvisz egy ezen osztályt tartalmazó tágabb osztály elemeire • Pl.: • Pitagorasz-tétel → Cosinus tétel • Thalész-tétel → Kerületi és középponti szögek tétele • Rolle tétele → Differenciálszámítás középértéktétele • 9-cel való oszthatóság → a alapú számrendszerben (a-1)-gyel való oszthatóság • Nem mindig igaz! Abból, hogy a másod-, harmad- és negyedfokú egyenleteknek van megoldóképlet még nem következik, hogy tetszőleges n-ed fokú egyenlethez is létezik

  26. Indukció • Az adott osztály megvizsgált elemei alapján szerzett ismereteket kiterjesztjük a szóban forgó osztály még meg nem vizsgált elemeinek mindegyikére • Pl.: 1 / 1*2 + 1 / 2*3 +…+1 / n*(n-1) = ? • Sejtés: = n-1 / n

  27. Tételek és bizonyítási ötletek megsejtése egy számolási példa alapján • Két fázis: • I.: a konkrét számolási feladat elvégzése • II.: általános összefüggés megsejtése a konkrét számok változókkal való felcserélése révén • Példák: • Cosinus tétel • Thalész tétel • Kerületi és középponti szögek tétele • Másodfokú egyenlet megoldóképletének levezetése

  28. Tételek megsejtése és bizonyítási ötlet megtalálása egy szerkesztési feladat megoldása, elemzése révén • I. fázis: a tanulók egy szerkesztési feladatot oldanak meg és indokolják a szerkesztés helyességét • II. fázis: egy kiegészítő szerkesztés segítségével megsejtik a tételt és belátják a tétel érvényességét • Példa: • a háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást • Súlyvonaltétel • Befogótétel

  29. Tétel megsejtése és bizonyítási ötlet megtalálása egy adott geometriai konfiguráció elemzése alapján • I. fázis: a tanulók segítséggel (tanár, könyv…) megrajzolnak (nem szerkesztenek) egy geometriai ábrát • II: fázis: Az ábra elemzése alapján a tanulók felfedezik a kívánt tételt ls annak bizonyítását • Példa: • Húrnégyszögtétel • Húrtétel

  30. Algebrai tételek és bizonyítási ötletek megsejtése geometriai szemléltetés segítségével • A geometriai modell izomorf legyen az eredeti szituációval • Példák megfeleltetésekre: • Pozitív valós számok → adott hosszúságú szakaszok • Pozitív egész számok → megfelelő számú rácsnégyzet • Két valós pozitív szám (a és b) szorzata → a ill. b oldalú téglalap területe • Példák: • Kéttagú összeg négyzete • Két pozitív szám számtani és mértani közepe közötti összefüggés

  31. Bizonyítási stratégiák • Szintézis • Célirányos okoskodás • Analízis • Fordított irányú okoskodás • Nem teljes analízis

  32. Bizonyítási módszerek • Az iskolai gyakorlatban előforduló módszerek: • Direkt bizonyítások • Teljes indukciós bizonyítások • Indirekt bizonyítások • Teljes indukció • A teljes indukció elvének bevezetése (dominó-elv) • A teljes indukció elvének alkalmazása • Indirekt argumentációk, indoklások, bizonyítások

  33. Bizonyítási módszerek • I.: Indirekt argumentációk, indoklások, bizonyítások csoportosítása: • Direkt kipróbálás • Létezési állítások igazságának megmutatása • Általános állítás hamisságának megmutatása egy ellenpélda segítségével • Általános állítás igazságának, létezési állítás hamisságának igazolása logikai következtetések segítségével

  34. Bizonyítási módszerek • II.: Reductio ad absurdum • Ellentmondás az indirekt feltevésnek • Következtetés egy állításra és annak tagadására • Ellentmondás a tétel feltételének • Ellentmondás egy ismert tételnek, definíciónak, axiómának • III.: Elimináció módszere

  35. Bizonyítási módszerek • Tanulói problémák az indirekt bizonyításokkal kapcsolatban • Javaslatok az indirekt bizonyítások tanításával kapcsolatban • Feladattípusok a bizonyítások tanításával kapcsolatban

  36. Köszönjük a figyelmet!

More Related